《2022年初二数学最短路径问题知识归纳+练习 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初二数学最短路径问题知识归纳+练习 2.pdf（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、- 1 - 初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径【问题原型】“将军饮马” ， “造桥选址” ， “费马点” 【涉及知识】“两点之间线段最短”， “垂线段最短” ， “三角形三边关系” ， “轴对称” ， “平移”【出题背景】
2、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题 1】作法图形原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小连 AB，与 l 交点即为P两点之间线段最短PA+PB 最小值为AB【问题 2】 “将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小作 B 关于 l 的对称点B连 A B ，与 l 交点即为P两点之间线段最短PA+PB 最小值为A B 【问题 3】作法图形原理在直线1l 、2l上分别求点M、N，使 PMN 的周长最小分别作点P 关于两直线的对称点 P和 P
3、， 连 PP ，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短PM +MN+PN 的最小值为线段 P P 的长【问题 4】作法图形原理在直线1l 、2l上分别求点M 、N，使四边形PQMN的周长最小分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l的对称点Q和 P连 Q P ，与两直线交点即为 M， N两点之间线段最短四边形 PQMN 周长的最小值为线段P P 的长【问题 5】 “造桥选址”作法图形原理lABlPBAlBAlPBABl1l2Pl1l2NMPPPl1l2NMPQQPl1l2PQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页- 2 -
4、直线 m n ，在 m 、 n ，上分别求点M、N，使 MN m ，且 AM+MN+BN 的值最小将点 A 向下平移MN 的长度单位得A ，连 A B， 交 n于点 N， 过 N 作 NM m 于M两点之间线段最短AM +MN+BN 的最小值为A B+MN【问题 6】作法图形原理在直线l上求两点 M、 N （M在左），使aMN，并使AM+MN+NB 的值最小将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A ， 作 A 关于l的对称点 A ， 连 A B， 交直线l于点 N，将 N 点向左平移 a 个单位得M两点之间线段最短AM +MN+BN 的最小值为A B+MN【问题 7】作法图形原理在1l上求点A
5、，在2l上求点 B，使 PA+AB 值最小作点P 关于1l的对称点P ，作 P B 2l于 B，交2l于 A点到直线，垂线段最短PA+AB 的最小值为线段PB的长【问题 8】作法图形原理A为1l上一定点， B 为2l上一定点，在2l上求点 M，在1l上 求 点N ， 使AM+MN+NB 的值最小作点A 关于2l的对称点A ，作点 B 关于1l的对称点 B ，连 A B交2l于 M，交1l于 N两点之间线段最短AM +MN+NB 的最小值为线段 AB的长【问题 9】作法图形原理在直线l 上求一点P，使PBPA的值 最小 连 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为P垂直平分上的点到线段两端
6、点的距离相等PBPA0【问题 10】作法图形原理mnMNABAlaABMNmnABMNlAABAMNl1l2ABPPl1l2Pl2l1ABNMl2l1MNABABlBAlPBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页- 3 - 在直线l 上求一点P，使PBPA的值 最大 作直线 AB，与直线l 的交点即为 P三角形任意两边之差小于第三边PBPAABPBPA的最大值 AB【问题 11】作法图形原理在直线l 上求一点P，使PBPA的值 最大 作 B 关于 l 的对称点B作直线 A B ，与 l 交点即为 P三角形任意两边之差小
7、于第三边PBPAAB PBPA最大值 AB 【问题 12】 “费马点”作法图形原理ABC 中每一内角都小于120，在 ABC 内求一点P，使 PA+PB+PC 值最小所求点为“费马点” ，即满足 APB BPCAPC120以 AB、AC为边向外作等边ABD 、ACE，连 CD、BE 相交于 P，点 P 即为所求两点之间线段最短PA+PB+PC 最小值 CD【精品练习 】1如图所示，正方形ABCD 的面积为12， ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（）A2 3B2 6C3 D62如图，在边长为2 的菱形ABCD
8、中， ABC60 ，若将 ACD 绕点 A 旋转，当AC 、AD 分别与 BC、CD交于点 E、F，则 CEF 的周长的最小值为（）A 2 B32C32D4 lBAlPABlABlBPABABCPEDCBAA D E P B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页- 4 - 3四边形ABCD 中， B D90 ， C 70 ，在 BC、CD 上分别找一点M、 N，使 AMN 的周长最小时， AMN+ANM 的度数为（）A120B130C110D1404如图，在锐角ABC 中， AB42 ， BAC 45 ， BAC
9、的平分线交BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB上的动点，则BM +MN 的最小值是5如图， RtABC 中， C90 ， B30 ，AB6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点B、C 重合），且 ED AE，则线段AE 的取值范围是6如图， AOB30 ，点 M、N 分别在边OA、OB 上，且 OM 1，ON3，点 P、Q 分别在边OB、OA 上，则 MP PQQN 的最小值是 _ （注“勾股定理” ：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 RtABC 中， C 90，则有222ABBCAC）7如图，三角形ABC 中， OAB AOB15 ，点 B 在 x
10、轴的正半轴，坐标为B(36，0)OC 平分 AOB，点 M 在 OC 的延长线上，点N 为边 OA 上的点，则MA MN 的最小值是 _DEABCDABCMNCADBMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页- 5 - 8已知 A（ 2，4） 、B（4，2） C 在y轴上， D 在 x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时C、D 两点的坐标分别为9已知 A（ 1，1） 、B（4，2） （1）P 为 x 轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为 x 轴上一动点，求PBPA的值最大时P 点的
11、坐标；（3）CD 为 x 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且CD1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时C 点的坐标；10点 C 为 AOB 内一点（1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使 CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（ 1）的条件下，若AOB30， OC10，求 CDE 周长的最小值和此时DCE 的度数yxBOACDyxBOAyxBOACOBAyxBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页- 6 - 11 （1）如图，ABD 和 ACE 均为等边三角形，BE、CE 交于 F，连 AF，求证： AF+BF+CFCD；（2）在 ABC 中， ABC30 ，AB6，BC8， A， C 均小于 120 ，求作一点P，使 PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由12荆州护城河在CC处直角转弯，河宽相等，从A 处到达 B 处，需经过两座桥DD 、EE ，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使A 到 B 点路径最短？图ACB图FEDBAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页