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1、第 1 页 共 23 页经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CD AB，EFAB，EGCO求证： CD GF （初二）2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PAD PDA 150求证：PBC 是正三角形（初二）A P C D B A F G C E B O D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 23 页3、如图，已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正
2、方形， A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中， AD BC，M 、N 分别是 AB、CD 的中点， AD 、BC的延长线交MN 于 E、F求证：DEN FD2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A N F E C D M B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 23
3、页经典难题（二）1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点）， O 为外心，且OM BC 于 M （ 1）求证： AH 2OM ；（ 2）若BAC 600，求证： AH AO （初二）2、设 MN 是圆 O 外一直线，过O 作 OA MN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于B、C及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q求证： APAQ （初二）A D H E M C B O G A O D B E C Q P N M 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
4、 - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 23 页P C G F B Q A D E 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN于 P、Q求证： APAQ （初二）4、 如图， 分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG，点 P 是 EF的中点求证：点P 到边 AB 的距离等于AB 的一半（初二）经典难题（三）O Q P B D E C N M A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
5、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 23 页1、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证： CECF （初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC，且 CECA ，直线 EC 交 DA 延长线于F求证： AEAF （初二）A F D E C B E D A C B F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师
6、精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 23 页3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PFAP，CF 平分DCE求证： PAPF （初二）4、如图， PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线， AE、AF 与直线 PO 相交于B、D求证： ABDC，BCAD （初三）经典难题（四）D F E P C B A O D B F A E C P 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
7、- - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 7 页 共 23 页1、已知：ABC 是正三角形， P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求：APB 的度数（初二）2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且 PBAPDA 求证： PABPCB （初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB CDAD BCAC BD （初三）A P C B P A D C B C B D A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共
8、 23 页 - - - - - - - - - 第 8 页 共 23 页4、平行四边形ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证： DPA DPC （初二）经典难题（五）F P D E C B A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 23 页1 、 设P是 边 长 为1的 正 ABC内 任 一 点 ， L PA PB PC ， 求 证 ：L2
9、2、已知： P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求PAPBPC 的最小值APCBACBPD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 10 页 共 23 页3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长4、如图，ABC 中，ABC ACB800，D、E 分别是 AB、AC 上的点， DCA 300，EBA200，求BED 的度数经典难题（一）1.如下图做GH AB,连接
10、EO。由于 GOFE 四点共圆，所以 GFHOEG, 即GHF OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又 CO=EO ，所以 CD=GF 得证。ACBPDEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 11 页 共 23 页2. 如下图做 DGC 使与ADP 全等，可得 PDG 为等边，从而可得 DGC APD CGP,得出 PC=AD=DC,和DCG= PCG150 所以DCP=300 ，从而得出 PBC
11、 是正三角形3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点，连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点，连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点，由 A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 ，EB2=12AB=12BC=FC1 ，又GFQ+ Q=900和GEB2+Q=900,所以GEB2= GFQ 又B2FC2= A2EB2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - -
12、 - 第 12 页 共 23 页可得B2FC2 A2EB2，所以 A2B2=B2C2，又GFQ+ HB2F=900和GFQ= EB2A2 , 从而可得 A2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM ， 所以可得 QMF= F， QNM=DEN 和QMN=QNM ，从而得出 DEN F。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - -
13、- - - 第 13 页 共 23 页经典难题（二）1.(1) 延长 AD 到 F 连 BF，做 OGAF, 又F= ACB= BHD ，可得 BH=BF, 从而可得 HD=DF ，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB，OC,既得BOC=1200，从而可得 BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。3.作 OFCD，OGBE，连接 OP ，OA ，OF，AF，OG ，AG ，OQ 。由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG=，由此可得 ADF ABG ，从而可得 AFC= AGE。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共
14、圆，可得 AFC= AOP 和AGE= AOQ ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 14 页 共 23 页AOP= AOQ ，从而可得AP=AQ 。4.过 E,C,F点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ=2EGFH+。由EGA AIC，可得 EG=AI ，由BFH CBI，可得 FH=BI 。从而可得PQ=2AIBI+= 2AB，从而得证。经典难题（三）1.顺时针旋转 ADE ，到AB
15、G，连接 CG. 由于ABG= ADE=900+450=1350名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 15 页 共 23 页从而可得B，G，D 在一条直线上，可得 AGB CGB。推出 AE=AG=AC=GC，可得AGC 为等边三角形。AGB=300，既得EAC=300，从而可得 A EC=750。又EFC= DFA=450+300=750. 可证： CE=CF。2.连接 BD 作 CHDE，可得四边形CGDH
16、 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH，可得CEH=300，所以CAE= CEA= AED=150，又FAE=900+450+150=1500，从而可知道 F=150，从而得出AE=AF 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 16 页 共 23 页3.作 FGCD，FEBE，可以得出GFEC 为正方形。令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。tan BAP=tan EPF=XY=Z
17、YXZ-+，可得 YZ=XY-X2+XZ ，即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出ABP PEF ，得到 PA PF ，得证。经典难题（四）1. 顺时针旋转 ABP 600，连接 PQ ，则PBQ 是正三角形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 17 页 共 23 页可得 PQC 是直角三角形。所以APB=1500。2.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点E，使 AE DC，BE PC.
18、 可以得出ABP= ADP= AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等）。可得BAP= BEP= BCP，得证。3.在 BD 取一点 E，使BCE= ACD ，既得BEC ADC ，可得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 18 页 共 23 页BEBC=ADAC，即 AD ?BC=BE ?AC，又ACB= DCE，可得ABC DEC，既得ABAC=DEDC，即 AB?CD=DE ?AC，由 + 可得
19、: AB?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= AC BD ，得证。4.过 D 作 AQAE ，AG CF ，由ADESV=2ABCDSY=DFCSV，可得：2AE PQg=2AE PQg，由 AE=FC 。可得 DQ=DG ，可得DPA DPC （角平分线逆定理） 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 19 页 共 23 页经典难题（五）1.（1）顺时针旋转 BPC 600，可得PBE 为等边三角形。既
20、得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L=；（2）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F。由于APD ATP= ADP ，推出 ADAP 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 20 页 共 23 页又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF 由可得：最大L 2 ；由（ 1）和（ 2）既得：L2 。2.顺时针旋转 BPC 6
21、00，可得PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 21 页 共 23 页既得 AF=213(1)42+= 23+= 42 32+= 2( 31)2+= 2( 31)2+= 622+。3.顺时针旋转 ABP 900，可得如下图：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
22、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 22 页 共 23 页既得正方形边长L = 2222(2)()22a+g= 52 2 a+g。4.在 AB 上找一点 F，使BCF=600，连接 EF，DG ，既得BGC 为等边三角形，可得DCF=100 , FCE=200 ,推出ABE ACF ，得到 BE=CF ， FG=GE 。推出： FGE 为等边三角形，可得AFE=800，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 23 页 - - - - - - - - - 第 23 页 共 23 页既得：DFG=400又 BD=BC=BG ，既得BGD=800，既得DGF=400推得： DF=DG , 得到：DFE DGE ，从而推得： FED= BED=300。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 23 页 - - - - - - - - -