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1、信号与系统基础知识要点第一章信号与系统1、周期信号的判断(1)连续信号思路:两个周期信号( )x t和( )y t的周期分别为1T和2T,如果1122TNTN为有理数(不可约) ,则所其和信号( )( )x ty t为周期信号,且周期为1T和2T的最小公倍数,即2 112TN TN T。(2)离散信号思路:离散余弦信号0cosn(或0sinn)不一定是周期的,当02为整数时,周期02N;1022NN为有理数(不可约)时,周期1NN;02为无理数时,为非周期序列注意:和信号周期的判断同连续信号的情况。2、能量信号与功率信号的判断(1)定义连续信号离散信号信号能量:2|( ) |kEf k信号功率
2、:def2221lim( ) dTTTPf ttT/22/21lim|( ) |NNkNPf kN(2)判断方法能量信号:P=0E,功率信号:PE=,(3)一般规律一般周期信号为功率信号;时限信号 ( 仅在有限时间区间不为零的非周期信号) 为能量信号;还有一些非周期信号,也是非能量信号。ttfEd)(2def精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页例如:(t) 是功率信号;t (t)为非功率非能量信号 ; 3、典型信号 指数信号:( )atf tKe,aR 正弦信号:( )sin()f tKt抽样信号:sin( )tSa
3、 tt欧拉公式:-cos+ sincos- sin1cos()21sin()2j tj tj tj tj tj tet jtet jtteeteej4、信号的基本运算1)两信号的相加和相乘2)信号的时间变化a)反转: ( )()f tftb)平移: 0( )()f tf ttc)尺度变换 : ( )()f tf at3)信号的微分和积分注意:带跳变点的分段信号的导数,必含有冲激函数,其跳变幅度就是冲激函数的强度。正跳变对应着正冲激;负跳变对应着负冲激。5、阶跃函数和冲激函数(1)单位阶跃信号0 ftt00K 0OttfKT22ttSa123O精选学习资料 - - - - - - - - - 名
4、师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页00( )10tu tt0t是( )u t的跳变点。(2)单位冲激信号定义:性质:1)取样性11( ) ( )(0)() ( )( )f tt dtfttf t dtf t( ) ( )(0) ( )f ttft000( ) ()( ) ()f tttf ttt2)偶函数( )()tt3)尺度变换1()atta4)微积分性质d ( )( )du ttt( )d( )tu t(3)冲激偶( ) t性质:( )( )(0)( )(0)( )f ttftft( )( )d(0)f tttf( ) d( )tttt()( )tt( )d0t
5、t(4)斜升函数( )( )( )dtr ttt(5)门函数( )()()22G ttt6、系统的特性(重点:线性和时不变性的判断)(1)线性1)定义:若同时满足叠加性与均匀性,则称满足线性性质。当激励为1122( )( )C ftC ft时,系统的响应为1122( )( )C y tC yt。2)线性系统分解特性:)()()(tytytyzszi零输入线性零状态线性(2)时不变性 : 当激励为0()f tt时,响应为0()y tt。(3)因果性(4)稳定性(5)微、积分特性。( )1( )00t dttt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
6、-第 3 页,共 15 页第二章连续系统的时域分析1、时域分析法;强迫响应自由响应全响应)()()(tytytyph;零状态响应零输入响应全响应)()()(tytytyzszi(一般都可以通过复频域分析法求)零状态响应)()()(thtftyzs2、冲激响应与阶跃响应(1)定义:冲激响应:由单位冲激函数(t) 所引起的零状态响应,记为h(t) 。阶跃响应:由单位阶跃函数( t ) 所引起的零状态响应,记为g(t) 。(2)关系:,tdg th tg thddt3、卷积积分(1)定义1212*ftftfftd( 两个因果信号的卷积,其积分限是从0 到t )( 2)计 算: 一 般 计 算 用 拉
7、 普 拉斯 变 换 ; 如 果 要 计 算 某一 个值 ,比 如设12*f tftft ,计算3f,用图示法。图示法可分解为四步:1)换元: t 换为得f1( ) , f2() 2)反转平移:由 f2( ) 反转 f2(-) 右移 t f2(t- ) 3)乘积:f1() f2(t- ) 4)积分:从-到对乘积项积分。(3)性质:a)代数律(交换律;结合律、分配律)b)*f ttf t00*f tttf tt)()(*)(2121tttfttttf( )*( )( )tttt( )*( )( )dtf ttfc)卷积的微分与积分:设12*f tftft ,则12*ijijftftftd)卷积结果
8、函数定义域的确定设1ft 的定义域为:12ttt,2ft 的定义域为:34ttt,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页那么12*f tftft 的定义域为:1324ttttt第三章离散系统的时域分析1、时域分析法全响应 y(k)= 自由响应 yh(k)+ 强迫响应 yp(k) 全响应 y(k)= 零输入响应 yzi(k)+ 零状态响应 yzs(k) (一般都可以通过Z 域分析法求)零状态响应*zsykfkh k2、序列 ( k)和(k) (1) 单位( 样值) 序列(k) 定义:取样性质:(2)单位阶跃序列 (k)
9、(3)( k) 与(k)的关系3、单位序列响应与阶跃响应(1)定义冲激响应:由单位冲激函数(k) 所引起的零状态响应,记为h(k) 。阶跃响应:由单位阶跃函数( k) 所引起的零状态响应,记为g(k) 。(2)关系0( )( )()kijg kh ih kj( )( )(1)h kg kg k(3)两个常用的求和公式12211211111kkkjjkaaaaakka212121()(1)2kjkkkkkj (k2k1 ) def1,0( )0,0kkk( ) ( )(0)kf kkf( ) ( )(0) ( )f kkfk000( ) ()() ()f kkkf kkkdef1,0( )0,0
10、kkk0( )( )()ijkikj( )( )(1)kkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页3、卷积和(1)定义1212( )*( )( )()ifkfkf i fki(2)计算:竖乘法、图解法和z 变换法。有限长序列的卷积和用竖乘法;其他情 况 下 一 般 用z 变 换 法 计 算 , 但 如 果 只 计 算 某 一 个 值 , 比 如 设12*f kfkfk ,计算3f,用图示法。图示法可分解为四步:1)换元: k 换为 i 得 f1( i )、 f2( i )2)反转平移:由 f2( i )反转 f2(-
11、i ) 平移 k f2(k -i ) 3)乘积:f1(i) f2(k -i) 4)求和:i 从-到对乘积项求和。(3)性质a)代数律(交换律;结合律、分配律)b)f(k)* (k) = f(k) ,f(k)* (k k0) = f(k k0) f(k)*(k) =( )kif if1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k)c)卷积和序列定义域的确定设1fn 的定义域为:12nn n,2fn 的定义域为:34nnn,那么12*f nfnfn 的定义域为:1324nnnnnd) 卷积结果函数元素个数的确定若11( )f kk的元素个数为:,22( )fkk的元素个
12、数为:,那么12*fkfkfk 的元素个数为:121kk第四章傅里叶变换和系统的频域分析1、周期信号的傅里叶级数任一满足狄里赫利条件的周期信号( )f t(1T为其周期)可展开为傅里叶级数。(1)三角函数形式的傅里叶级数0111( )cos()sin()nnnf taantbnt式中112T,n为正整数。傅里叶系数:直流分量010011( )tTtaf t dtT余弦分量的幅度010112( ) cos()tTntaf tnt dtT精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页正弦分量的幅度010112( )sin()tTn
13、tbf tnt dtT三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为011( )cos()nnnf taAnt(2)指数形式的傅里叶级数1( )jntnnf tF e式中,n为从到的整数。傅里叶系数:011011( )tTjntntFf t edtT(3)对称性利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算。从而可知周期信号所包含的频率成分。有些周期信号的对称性是隐藏的,删除直流分量后就可以显示其对称性。实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项,只可能包含直流项和余弦项。( )()f tft ,纵轴对称(偶函数)00240( )cosTtnntbaf tntdtT,实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流
14、项,只可能包含正弦项。( )()f tft ,原点对称(奇函数)00240( )sinTtnntabf tntdtT,实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项,而不包含偶次谐波项。( )()2Tf tf t,半周镜像(奇谐函数)无偶次谐波,只有奇次谐波分量( )()2Tf tf t,半周重叠(偶谐函数)无奇次谐波,只有直流和偶次谐波2、周期信号的频谱(1)会画单边幅度谱、相位谱和双边幅度谱、相位谱(2)从对周期矩形脉冲信号的分析可知:1) 信号的持续时间与频带宽度成反比; 2) 周期 T 越大,谱线越密,离散频谱将变成连续频谱;3) 周期信号频谱的三大特点:离散性、谐波性
15、、收敛性。(3)周期信号的功率2222021211( )()22TTnnnnaPft dtAFT3、傅里叶变换(1)定义正变换:()( )( )jtFff tf t edt反变换:11( )( )( )2j tf tfFFed精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页说明:频谱密度函数()F一般是复函数,可以写作()( )( )jFFe。其中()F是()F的模, 它代表信号中个频谱分量的相对大小,是的偶函数。()是()F的相位函数,它表示信号中各频率分量之间的相位关系,是的奇函数。(2)常用变换对1tetj( 0)222t
16、e2gtSa2sgn tj1t121tj000cost000sintj2( )()()()TnnttnTnT4、傅里叶变换的性质1)线性1212( )( )()()aftbftaFjbFj2)奇偶虚实性若()()()FRjX,则若( )f t是实偶函数,则()()FR,即()F为的实偶函数;若( )f t是实奇函数,则()()FjX,即()F为的虚奇函数。3)对称性()2()Fjtf4)尺度变换1()()f atFjaa5)时移特性0-jt0()()f ttFje6)频移特性0j0( ) ()tf teF j精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
17、 -第 8 页,共 15 页7)时域卷积1212( )( )()()f tftFjFj频域卷积12121( )( )()()2f tftFjFj8)时域微分()()nnnd fjFjdt时域积分1( )()(0) ()tfdFjFj其中9)频域微分()( )nnnndFjt f tjd频域积分1(0) ( )( )()ftf tFdjt其中1(0)()d2fF j5、帕斯瓦尔定理(能量等式)221( )()2Ef tdtF jd6、周期信号的傅里叶变换( )2()nnFf tFn或0( )() ()nFf tFjnn7、频域分析(1)对于 LTI 系统,若输入为非周期信号,系统的零状态响可用傅
18、里叶变换求得。其方法为:1) 求激励 f (t ) 的傅里叶变换 F(j)。2) 求频域系统函数 H(j) 。3) 求零状态响应 yzs( t )的傅里叶变换 Yzs(j) ,即 Yzs(j)= H(j) F(j) 。4) 求零状态响应的时域解,即yzs( t )= F-1 Yzs(j) (2)无失真传输在时域中,无失真传输的条件是)()(0ttfKty在频域中,无失真传输系统的特性为0)(tjeKjH(3)理想滤波器理想滤波器是指可使通带之内的输入信号的所有频率分量以相同的增益和延时完全通过, 且完全阻止通带之外的输入信号的所有频率分量的滤波器。理想滤波器是非因果性的,物理上不可实现的。其频
19、率响应为(0)( )dFf tt1|H(jw)|? (w)0C- CK|H(jw)|? (w)0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页,()0,djtcceHjc称为截止角频率即c0 在的低频段内,传输信号无失真。8、时域取样定理(1)为恢复原信号,必须满足两个条件:1)f (t) 必须是带限信号;2)取样频率不能太低,必须f s2f m ,或者说,取样间隔不能太大,必须Ts1/(2 f m);否则将发生混叠。(2)通常把最低允许的取样频率f s=2f m称为奈奎斯特( Nyquist) 频率;把最大允许的取样间隔Ts
20、=1/(2 f m)称为奈奎斯特间隔。第五章连续系统的s 域分析1、拉氏变换(1)定义(单边)0)()(dtetfsFts(2)收敛域使得拉氏变换存在的S平面上的取值范围称为拉氏变换的收敛域。1))(tf是有限长时,收敛域为整个S平面;2))(tf是右边信号时,收敛域为0的右边区域;3))(tf是左边信号时,收敛域为0的左边区域;4))(tf是双边信号时,收敛域为S平面上一条带状区域。说明:我们讨论单边拉氏变换,只要取得足够大总是满足绝对可积条件,因此一般不写收敛域。(3)常用变换对1ate U tsa ( a为任意常数 ) 1t1ts21tts0220cosstts00220sintts1(
21、 )1eTsTt2、拉普拉斯变换的性质线性 : 11221122( )( )( )( )a f ta fta F sa Fs尺度变换 : 1()()sf atFaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页时移 : 000() ()( )stf ttttF s e频移 : 00( )()s tf t eF ss时域微分 : 12(1)( )( )(0 )(0 )(0 )nnnnnnd f ts F ssfsffdt时域积分 : 111( )( )(0 )tfdF sfss卷积定理:1212( )( )( )( )f tf
22、tF s Fs12121( )( )( )( )2f tftFsFsjs 域微、积分 : ( )( )dF stf tds1( )( )sf tF s dst初、终值定理初值定理:设函数 f ( t )不含 (t ) 及其各阶导数(即 F(s) 为真分式,若 F(s) 为假分式化为真分式)0(0 )lim( )lim( )tsff tsF s终值定理:若 f ( t )当 t 时存在,并且( )( )f tF s , Res0, 00,则0()lim( )sfsF s说明: (1)一般规律:有 t 相乘时,用频域微分性质;有实指数te相乘时,用频移性质;分段直线组成的波形,用时域微分性质;周期
23、信号,只要求出第一周期的拉氏变换1( )Fs,1( )( )1sTF sF se(2)由于拉氏变换均指单边拉氏变换,对于非因果信号,在求其拉氏变换时应当作因果信号处理。3、拉普拉斯逆变换(部分分式展开法)(1)单实根1212( )nnKKKF sspspsp()( )iiispKsp F s(2)共轭单根1112jjKKFsss(系数求法同上)若,则j1111j| eKABK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页或11( )|() ( )( )2ecossin tf tKttf tAtBtat2ecos(3) 重根(
24、重点:二重)1(1)11112121111( )()()()kkkkKKKKF sspspspsp111111d( )1,2,3,(1)! diiispKF sikis4、s 域分析(1)微分方程的拉普拉斯变换分析当线性时不变系统用线性常系数微分方程描述时,可对方程两边取拉氏变换,并代入初始条件,从而将时域方程转化为S域代数方程,求出响应的象函数,再对其求逆变换得到系统的响应。(2)系统的零状态响应)()()(sFsHsYzs其中,)()(sHth,)(sH是冲激响应的象函数,称为系统函数。系统函数定义为:)()()(sFsYsHzs(3)系统的 S域框图(4)动态电路的 S域模型:由时域电路
25、模型能正确画出S域电路模型, 是用拉普拉斯变换分析电路的基础。引入复频域阻抗后,电路定律的复频域形式与其相量形式相似。第六章离散系统的z 域分析1、z 变换(1)定义( )( )nnF zf n z称为序列 f (k) 的双边 z 变换0( )( )nnF zf n z称为序列f(k) 的单边 z 变换Ci(t)uC(t)I(s)UC(s)CuC(0-)或sC1suC)0(sC1I(s)UC(s)Lu(t)iL(t)U (s)sLIL(s)LiL(0-)IL(s)sLiL(0-)/sU (s)或i(t)u(t)RI(s)U(s)R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
26、- - - - - - -第 12 页,共 15 页(2)收敛域序列的收敛域大致有一下几种情况:1)对于有限长的序列,其双边z 变换在整个平面;2)对因果序列,其z 变换的收敛域为某个圆外区域;3)对反因果序列,其z 变换的收敛域为某个圆内区域;4)对双边序列,其z 变换的收敛域为环状区域;(3)常用变换对,kzakzaza(a 为任意常数)1k,全 z 平面,11zkzz2,11zkkzz1,kzakzaza(a 为任意常数)2、z 变换的性质(1)线性:11221122( )( )( )( )a f ka fka Fza Fz(2)移序:双边()( )nf knz F z()( )nf k
27、nzF z单边10()( )( )nnnkkf knz F zzf k z() ()( )nf knknzF z(3)z 域尺度变换:( )( )kza f kFa(4)卷积定理:1212( )( )( )( )f kfkFz Fz(5)z域微分特性:( )( )nndk f kzF zdz(6)z域微分特性:1( )( )mmzf kFzdkm(7)k 域反转 :( 仅适用双边 z 变换)1()()fkF z精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页(8)部分和:( )( )1kizf iF zz(9)初、终值定理:
28、(适用于右边序列 ) (0)lim( )zfF z1()lim(1) ( )zfzF z5逆 Z 变换(部分分式法 ) ( )F zzz先把展成部分分式,然后再乘以。系数求法同拉普拉斯逆变换。6 Z 域分析1)差分方程的变换解2)系统函数( )( )( )zsYzH zF z( )( )h nH z3)系统的 z 域框图第七章系统函数1、系统函数的零、极点分布图2、系统函数 H ( ) 与时域响应 h() (1)连续因果系统 H(s) 在左半平面的极点,它们对应的时域函数都是按指数规律衰减的。 H(s) 在虚轴上的一阶极点对应的时域函数是幅度不随时间变化的阶跃函数或正弦函数。 H(s) 在虚轴
29、上的高阶极点或右半平面上的极点,其所对应的响应函数都是递增的。(2)离散因果系统 H(z) 在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即当k时,响应均趋于 0。 H(z) 在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。 H(z) 在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点,其所对应的响应序列都是递增的。即当k时,响应均趋于。3、系统函数与频率响应若系统函数 H(s) 的极点均在左半平面,则它在虚轴上(s=j )也收敛,有H(j )=H(s)|s= j4、系统的因果性(判定)(1)连续系统精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15
30、 页冲激响应 h(t)=0,t 0(2)离散系统单位响应 h(k)=0, k 05、系统的稳定性(判定)(1)连续系统:收敛域包含虚轴(2)离散系统:收敛域包含单位圆(3)连续因果系统:极点均在左半开平面(4)离散因果系统:极点均在单位圆内6、信号流图梅森公式:1kkkHg, ,1jmnpqrjm np q rLL LL L L称为信号流图的特征行列式jjL为所有不同回路的增益之和;,mnm nL L 为所有两两不接触回路的增益乘积之和;, ,pqrp q rL L L 为所有三三不接触回路的增益乘积之和;i 表示由源点到汇点的第i 条前向通路的标号Pi 是由源点到汇点的第i 条前向通路增益;i 称为第 i 条前向通路特征行列式的余因子,它是与第 i 条前向通路不相接触的子图的特征行列式。7、系统的结构:直接型、级联型和并联型(重点:直接型)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页