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1、优秀学习资料欢迎下载全国中学生物理竞赛集锦力学第 21 届预赛（ 2004.9.5 ）二、 （15分）质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角30 的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的磨擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示。第一次，m1悬空，m2放在斜面上，用t表示m2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间。第二次，将m1和m2位置互换，使m2悬空，m1放在斜面上，发现m1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为t/3 。求ml与m2之比。七、（ 15分）如图所示，B 是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是质为mA的细长直杆，被固定
2、的光滑套管C约束在竖直方向， A可自由上下运动。 碗和杆的质量关系为：mB2mA。初始时， A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静止开始释放 A， A、B便开始运动。设A 杆的位置用表示，为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与B 速度的大小（表示成的函数）。九、（18分）如图所示，定滑轮B、C与动滑轮 D组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计。在动滑轮D上，悬挂有砝码托盘A，跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3。一根用轻线（图中穿过弹簧的那条坚直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固
3、连，上端放有砝码1（两者未粘连）。已加三个砝码和砝码托盘的质量都是m， 弹簧的劲度系数为k，压缩量为l0，整个系统处在静止状态。现突然烧断栓住弹簧的轻线， 弹簧便伸长， 并推动砝码 1向上运动， 直到砝码1与弹簧分离。假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间。第 21 届复赛二、 (20 分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R的 2 倍，卫星通过近地点时的速度RGM 43v，式中M为地球质量，G为引力常量卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连
4、线之间的夹角试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离（最后结果要求用测得量和地球半径R表示）六、 (20 分) 如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B之间， B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与A 、 B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）已知杆AB 与 BC 的夹角为A BCD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载， /2 DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直现令A、B、 C一
5、起以共同的速度v沿平行于 AB连线方向向DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用， 求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为 0 这一极短时间内挡板对C的冲量的大小第二十届预赛（20XX年 9 月 5 日）五、 (20 分) 有一个摆长为l的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计） ，在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O的距离为x处（xl）的C点有一固定的钉子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡当l一定而x取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的高度不超过O点） ，然后放手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求x的最小
6、值六、 (20 分) 质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速率v0沿与水平面成a角的方向向前跳跃 （如图） 为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出物块抛出时相对运动员的速度的大小u是给定的，物块抛出后，物块和运动员都在同一竖直平面内运动 (1)若运动员在跳远的全过程中的某时刻to 把物块沿与x轴负方向成某角的方向抛出，求运动员从起跳到落地所经历的时间 (2)在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿与x轴负方向成角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v0和u一定，在什么条件下可跳得最远？并求出运动员跳的最大距离第二十届复赛三、 （20 分）有人提出了一种不用火
7、箭发射人造地球卫星的设想其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道； 设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M 20m，地球半径0R6400 km假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的五、 (22 分) 有一
8、半径为R的圆柱 A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触现有另一质量与A 相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱 A，将 B放在 A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20 ， 两圆柱之间的静摩擦系数为 0.30 若放手后， 两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱 B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径r的值各应满足什么条件？七、(25 分 ) 如图所示， 将一铁饼状小物块在离地面高为h处v0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载沿水平方向以初速0v抛出己知物
9、块碰地弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为e（ 1） 又知沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为（ 0） ：每次碰撞过程的时间都非常短，而且都是“饼面”着地求物块沿水平方向运动的最远距离第十九届预赛（20XX年 9 月 5 日）一、 （15 分）今年 3 月我国北方地区遭遇了近10 年来最严重的沙尘暴天气现把沙尘上扬后的情况简化为如下情景：v为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动）这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度v竖直向下运动时所受的阻力此阻力可用下式表达2fAv其中为一系数，A为沙尘颗粒的截面积，为空气密度（1）若沙粒的密度33S2.
10、8 10 kg m，沙尘颗粒为球形，半径42.5 10mr，地球表面处空气密度301.25kg m，0.45，试估算在地面附近，上述v 的最小值1v（2）假定空气密度随高度h的变化关系为0(1)Ch，其中0为0h处的空气密度，C为一常量，411.1810mC，试估算当19.0 m sv时扬沙的最大高度 （不考虑重力加速度随高度的变化）三、 （20 分）据新华社报道，为了在本世纪初叶将我国的航天员送上太空，20XX 年 3 月 25 日22 时 15 分，我国成功地发射了一艘无人试验飞船。在完成预定任务后，飞船于4 月 1日 16 时51 分安全着陆，共绕地球飞行108 圈。（1）飞船的名称是什
11、么？（2）飞船在运行期间，按照地面指挥控制中心的指令成功地实施了数百个动作，包括从椭圆轨道变换成圆轨道等假如把飞船从发射到着陆的整个过程中的运动都当作圆周运动处理，试粗略估计飞船离地面的平均高度已知地球半径66.3710 mR，地球表面处的重力加速度29.80 m sg七、 （25 分）如图预19-7 所示，在长为0 .1lm 、质量为B30.0 kgm的车厢 B 内的右壁处，放一质量A20.0kgm的小物块A （可视为质点） ， 向右的水平拉力120.0 NF作用于车厢，使之从静止开始运动，测得车厢B在最初 2.0 s内移动的距离5.0 ms，且在这段时间内小物块未与车厢壁发生过碰撞假定车厢
12、与地面间的摩擦忽略不计，小物块与车厢壁之间的碰撞是弹性的求车厢开始运动后4.0 s时，车厢与小物块的速度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载第十九届复赛一、 （20 分）某甲设计了1 个如图复19-1 所示的“自动喷泉”装置，其中A、B 、C为 3个容器，D、E、F 为 3 根细管，管栓K是关闭的 A、 B、C及细管 D、 E中均盛有水，容器水面的高度差分别为1h和1h如图所示 A、B、C 的截面半径为12cm ， D的半径为0.2cm甲向同伴乙说： “我若拧开管栓K，会有水从细管口喷出 ”乙认为
13、不可能理由是： “低处的水自动走向高外，能量从哪儿来？”甲当即拧开K，果然见到有水喷出，乙哑口无言，但不明白自己的错误所在甲又进一步演示在拧开管栓 K 前，先将喷管D 的上端加长到足够长，然后拧开K ，管中水面即上升，最后水面静止于某个高度处 (1)论证拧开K后水柱上升的原因 (2)当 D管上端足够长时，求拧开 K后 D中静止水面与A中水面的高度差 (3)论证水柱上升所需能量的来源七、 （26 分）一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子 （视为质点） ，绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计） ，细杆与A在同一竖直平面内开始
14、时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图复 19-7-1所示，已知，绳长为l，A点到杆的距离为h， 绳能承受的最大张力为dT，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断，求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）注：质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度na，可以证明，2n/avR， v 为质点在该点时速度的大小，R为轨道曲线在该点的“曲率半径”，所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径如图复19-7-2中曲线在A点的曲率半径为AR，在B点
15、的曲率半径为BR第十八届预赛2001-09-09 一、（ 15 分）如图预18l 所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M，滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为时，杆的角速度为，求此时物块M的速率Mv。五、（ 25 分）如图预185 所示，一质量为M、长为L带薄挡板P的木板，静止在水平的地面上，设木板与地面间的静摩擦系数与
16、滑动摩擦系数相等，皆为质量为m的人从木板的一端由静止开始相对于地面匀加速地向前走向另一端， 到达另一端时便骤然抓住挡板P而停在木板上 已知人与木板间的静摩擦系数足够大，人在木板上不滑动问：在什么条件下，最后可使木板向前方移动的距离达到最大？其值等于多少？第十八届复赛六、 （27 分）一玩具“火箭”由上下两部分和一短而硬（即劲度系数很大）的轻质弹簧构成上部分1G的质量为1m，下部分2G的质量为2m， 弹簧夹在1G与2G之间，与二者接触而不固连让1G、2G压紧弹簧，并将它们锁定，此时弹簧的弹性势能为己知的定值0E通过遥控可解除锁定，让弹簧恢复至原长并释放其弹性势能，设这释放过程的时间极短第一种方案
17、是让玩具位于一枯井的井口处并处于静止状态时解除锁定，从而使上部分1G升空第二种方案是让玩具在井口处从静止开始自由下落，撞击井底（井足够深）后以原速率反弹，反弹后当玩具垂直向上运动到离井口深度为某值h的时刻解除锁定1在第一种方案中，玩具的上部分1G升空到达的最大高度（从井口算起）为多少？其能量是从何种形式的能量转化来的？2在第二种方案中，玩具的上部分1G升空可能达到的最大高度（亦从井口算起）为多少？并定量地讨论其能量可能是从何种形式的能量转化来的第十七届预赛2000 年二、 （15 分）一半径为1.00 mR的水平光滑圆桌面，圆心为O，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条
18、凸的平滑的封闭曲线C，如图预17-2 所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量为27.5 10kgm的小物块。 将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直、大小为04.0 m/sv的初速度。物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为02.0 NT时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动 1问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少? 2若绳刚要断开时， 桌面圆心O到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心O的水平距离为多少？已知桌面高度0.80 mH 物块在桌面上运动时未与立柱相碰取重
19、力加速度大小为210 m/s精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载八、 （20 分）如图预17-8 所示，在水平桌面上放有长木板C，C上右端是固定挡板P， 在C上左端和中点处各放有小物块A和B，A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不计，A、B之间和B、P之间的距离皆为L。设木板C与桌面之间无摩擦，A、C之间和B、C之间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为；A、B、C（连同挡板P）的质量相同开始时，B和C静止，A以某一初速度向右运动试问下列情况是否能发生？要求定量求出能发生这些情况时物块A的初速度0v应满足的条
20、件，或定量说明不能发生的理由（1）物块A与B发生碰撞；（2）物块A与B发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与挡板P发生碰撞；（3）物块B与挡板P发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与A在木板C上再发生碰撞；（4）物块A从木板C上掉下来；（5）物块B从木板C上掉下来第十七届复赛四、 （25 分）宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的质量小得很多，飞行器的速率为0v，小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的6 倍有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系，于是他便设计了如下方案：.当飞行器在其圆周轨道的适当位置时，突然点燃飞行器上的喷气发动机，经过极短时间后立即关闭
21、发动机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道；. 飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞； . 小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰，不计燃烧的燃料质量 1试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系； 2设在上述方案中，飞行器从发动机取得的能量为1E如果不采取上述方案而是令飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系采用这种办法时，飞行器从发动机取得的能量的最小值用2E表示，问12EE为多少 ? 第十六届预赛1999 年二、
22、 （15 分）一质量为M的平顶小车，以速度0v沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为m的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为。1.若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？2.若车顶长度符合1 问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？七、 （15 分）将一根长为100 多厘米的均匀弦线，沿水平的x轴放置，拉紧并使两端固定。现对离固定的右端25cm处（取该处为原点O，如图预 16-7-1 所示）的弦上一点施加一个沿垂直于弦线方向（即y轴方向）的扰动，其位移随时间的变化规律如图预16-7-2 所示。该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波）。已知该波在弦线
23、中的传播速度为2.5cm/s，且波在传播和反射过程中都没有能量损失。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载1.试在图预 16-7-1 中准确地画出自O点沿弦向右传播的波在2.5st时的波形图。2.该波向右传播到固定点时将发生反射，反射波向左传播，反射点总是固定不动的。这可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加，使反射点的位移始终为零。由此观点出发，试在图预 16-7-1 中准确地画出12.5st时的波形图。3.在图预 16-7-1 中准确地画出10.5st时的波形图。八、 （15 分） 1997 年
24、 8 月 26 日在日本举行的国际天文学会上，德国Max Planck 学会的一个研究组宣了他们的研究成果：银河系的中心可能存在一个在黑洞。他们的根据是用口径为3.5m 的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得到的数据，他们发现，距离银河系中心约60 亿公里的星体正以2000 km/s的速度围绕银河系中心旋转。根据上面的数据，试在经典力学的范围内（见提示2） ，通过计算确认，如果银河系中心确实存在黑洞的话，其最大半径是多少。 （引力常数203126.6710kmkgsG）提示： 1. 黑洞是一种密度极大的天体，其表面的引力是如此之强，以至于包括光在内的所有物质都不了其
25、引力作用。2计算中可以采用拉普拉斯经典黑洞模型，在这种模型中，在黑洞表面上的所有物质，即使初速度等于光速c也逃脱不了其引力的作用。九、 （20 分）一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为1和2（12） 。现让一长为L、密度为121()2的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体分界面的距离为34L，由静止开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，未露出液面，也未与容器相碰。第十六届复赛四、 （20 分）经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究
26、，使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L。他们正绕两者连线的中点作圆周运动。 1. 试计算该双星系统的运动周期T计算。 2. 若实验上观测到的运动周期为T观测，且:1:(1)TTNN观测计算。为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为
27、，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。六、 （25 分）如图复16-6 所示，z轴竖直向上，xy平面是一绝缘的、固定的、刚性平面。在0(,0,0)A x处放一带电量为(0)q q的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端B穿过位于坐标原点O的光滑小孔， 可通过它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直与x轴，与z轴夹角为（如图复16-6 所示）。设小物块和绝缘平面间的摩擦系数为tan, 且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。
28、 不计重力作用。 现通过细线来牵引小物块，使之移动。在牵引过程中，我们约定：细线的B端只准沿z轴向下缓慢移动，不得沿z轴向上移动；小物块的移动非常缓慢， 在任何时刻， 都可近似认为小物块处在力平衡状态。 若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。全国中学生物理竞赛集锦（力学）答案第 21 届预赛（ 2004.9.5 ）二、第一次，小物块受力情况如图所示，设T1为绳中张力，a1为两物块加速度的大小，l为斜面长，则有111 1m gTm a（1）122 1sinTm gm a（2）2112la t（3）第二次，m1与m2交换位置设绳中张力为T2，两物块加速度的大小为a2，则有2222
29、m gTm a（4）211 2sinTm gm a (5) 22123tla (6) 由（ 1）、（ 2）式注意到30 得1211222()mmagmm（7）由（ 4）、（ 5）式注意到30 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载2121222()mmagmm（8）由（ 3）、（ 6）式得219aa（ 9）由（ 7）、（ 8）、（ 9）式可解得121119mm（10）评分标准：本题15分，（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）、（ 5）、（6）式各 2分，求得（ 10）式再给 3分。七、由题设条件
30、知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB，若以 B 为参考系，从B观测，则 A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA。 杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图得AAsinVv（1）BAcosVv（2）因而BAcotvv（3）由能量守恒A22B BAA121cos2m gRm vm v（ 4）由（ 3） 、 （4）两式及mB2mA得A22cossin1cosgRv（5）B22coscos1cosgRv（6）评分
31、标准：本题（ 15）分（ 1）、（ 2）式各 3分，（ 4）式 5分，（ 5）、（ 6）两式各 2分。九、设从烧断线到砝码1与弹簧分离经历的时间为t，在这段时间内，各砝码和砝码托盘的受力情况如图 1所示：图中，F表示t 时间内任意时刻弹簧的弹力，T 表示该时刻跨过滑轮组的轻绳中的张力，mg为重力，T0为悬挂托盘的绳的拉力。因 D的质量忽略不计，有T02T（1）在时间t内任一时刻，法码1向上运动，图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载托盘向下运动，砝码2、3则向上升起，但砝码2、3与托盘速度的
32、大小是相同的。设在砝码1与弹簧分离的时刻，砝码1的速度大小为v1，砝码 2、3与托盘速度的大小都是v2，由动量定理，有1mgFIImv（2）2mgTIImv（3）2mgTIImv（4）02mgFTIIImv（5）式中IF、Img、IT、IT0分别代表力F、mg、T、T0在t时间内冲量的大小。注意到式（1），有IT0 2IT（ 6）由（ 2）、（ 3）、（ 4）、（ 5）、（ 6）各式得2113vv（7）在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与砝码1一起向上运动，下端与托盘一起向下运动。以l1表示在t时间内弹簧上端向上运动的距离，l2表示其下端向下运动的距离。由于在弹簧伸长过程中任意时刻，托盘的速度都为砝
33、码1的速度的 13，故有2113ll（8）另有120lll（9）在弹簧伸长过程中，机械能守恒，弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加，即有22201212211132222klmvmvmg lmg lmg l（10）由（ 7）、（ 8）、（ 9）、（ 10）式得221003122vklmglm（11）砝码 1与弹簧分开后， 砝码作上抛运动，上升到最大高度经历时间为t1，有v1gt1（12）砝码 2、3和托盘的受力情况如图2所示，以a表示加速度的大小，有mgTma（13）mgTma（14）T0mgma（15）T02T（16）由（ 14）、（ 15）和（ 16）式得13ag（17）托盘的加
34、速度向上，初速度v2向下，设经历时间t2，托盘速度变为零，有v2at2（18）由（ 7）、（ 12）、（ 17）和（ 18）式，得图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载112vttg（ 19）即砝码 1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等。由对称性可知，当砝码回到分离位置时，托盘亦回到分离位置，即再经历t1，砝码与弹簧相遇。题中要求的时间12tt总（20）由（ 11）、（ 12）、（ 20）式得20023122tklgmmgl总评分标准：本题 18分求得（
35、7）式给 5分，求得（ 11）式给 5分，（ 17）、（ 19）、（ 20）、（ 21）式各2分。第 21 届复赛二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O处，设待测量星体位于C处根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角1，位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC的夹角2，就可以计算出此时星体C与地心的距离OC因卫星椭圆轨道长轴的长度远近rrAB(1) 式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离由角动量守恒远远近近rmrvmv (2) 式中m为卫星的质量由机械能守恒远远近近
36、rGMmmrGMmm222121vv (3) 已知Rr2近，RGM43近v得Rr6远(4) 所以RRRAB862(5) 在ABC中用正弦定理ABBC211sinsin(6) 所以ABBC211sinsin(7) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载地心与星体之间的距离为OC，在BOC中用余弦定理2222cos2BCrBCrOC远远(8) 由式 (4) 、(5) 、(7) 得212121212sincossin24sinsin1692ROC(9) 评分标准：本题 20 分 (1) 式 2 分， (
37、2) 、(3) 式各 3分， (6) 、(8) 式各 3 分， (9) 式 6 分六、令I表示题述极短时间t内挡板对C 冲量的大小，因为挡板对C 无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE ，如图所示；I表示 B、C间的杆对B或 C冲量的大小，其方向沿杆方向，对 B和 C皆为推力；Cv表示t末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，Bv表示t末了时刻 B沿平行于DE方向速度的大小，Bv表示t末了时刻B 沿垂直于DE方向速度的大小由动量定理，对 C有CmIvsin (1) vmIIcos (2) 对 B有BmIvsin (3) 对 AB有BmIvv2cos(4) 因为 B、C之间的杆不能伸、缩，因此B、
38、C沿杆的方向的分速度必相等故有sincossinBBCvvv(5) 由以上五式，可解得vmI22sin31sin3(6) 评分标准：本题 20 分 (1) 、(2) 、(3) 、(4) 式各 2 分 (5)式 7 分， (6) 式 5 分第二十届预赛（20XX年 9 月 5 日）五、参考解答摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动，若摆球的质量为一m， 则摆球受重力mg和摆线拉力T的作用， 设在这段时间内任时刻的速度为v ，如图预解20-5 所示。用表示此时摆线与重力方向之间的夹角，则有方程式2cosmvTmglx（1）运动过程中机械能守恒，令表示摆线在起始位置时与竖直方向精选学习资料 - - -
39、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载的夹角，取O点为势能零点，则有关系21cos()cos)2mglmvmg xlx（ 2）摆受阻后，如果后来摆球能击中钉子，则必定在某位置时摆线开始松弛，此时T 0，此后摆球仅在重力作用下作斜抛运动。设在该位置时摆球速度0vv，摆线与竖直线的夹角0，由式（ 1）得200()cosvg lx，（3）代入（ 2）式，求出02 cos3()cos2lxlx（4）要求作斜抛运动的摆球击中C点，则应满足下列关系式：000()sincoslxvt，（5）20001()cossin2lxvtgt（6
40、）利用式（ 5）和式（ 6）消去 t ，得到22000()sin2cosg lxv（ 7）由式（ 3） 、 （ 7）得到03cos3（8）代入式（ 4） ，求出(23)3arccos2xll（9）越大，cos越小，x越小，最大值为/ 2，由此可求得x的最小值：(23)3xl，所以(2 33)0.464xtl（10）评分标准：本题20 分。式（ 1）1 分，式（ 2） 3分，式（ 3） 2 分，式（ 5） 、 （6）各 3 分，式（ 8）3 分，式（ 9）1 分，式（ 10）4 分。六、参考解答（1）规定运动员起跳的时刻为0t，设运动员在P点（见图预解20-6 ）抛出物块，以0t表示运动员到达P
41、点的时刻，则运动员在P点的坐标Px、Py和抛物前的速度v的分量pxv、pyv分别为Vpx Vpy ux uy v0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载0cospxvv，（ 1）00sinpyvvgt（ 2）00cospxvt，（3）20001sin2pyvtgt（4）设在刚抛出物块后的瞬间，运动员的速度V的分量大小分别为pxV、pyV，物块相对运动员的速度u的分量大小分别为xu、yu，方向分别沿x、负y方向。由动量守恒定律可知()()pxpxxpxMVm VuMm v，（5）()()pypyy
42、pyMVm VuMm v（6）因u的方向与x轴负方向的夹角为，故有cosxuu（ 7）sinyuu（8）解式（ 1） 、 （ 2） 、 （5） 、 （6）和式（ 7） 、 （8） ，得0coscospxmuVvMm（9）00sinsinpymuVvgtMm（ 10）抛出物块后，运动员从P点开始沿新的抛物线运动，其初速度为pxV、pyV。在 t 时刻（0tt）运动员的速度和位置为xpxVV，（11）0()ypyVVg tt，（12）000()(cos)xxppxmumuxxVttvttMmMm，（13）2001()()2ppyyyVttg tt（14）由式（ 3） 、 （ 4） 、 （9） 、
43、（10） 、 （13） 、 （14）可得00coscoscosmumuxvttMmMm（15）200sin2sin2sinmumuyvtgttMmMm（16）运动员落地时，0y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载由式（ 16）得200sin2sin2sin0mumugtvttMmMm，（17）方程的根为2000sinsinsinsin(sin)2mumumuvvgtMmMmMmtg（ 18）式（ 18）给出的两个根中，只有当“”取“”时才符合题意，因为从式（12）和式（ 10） ，可求出运动员从
44、P点到最高点的时间为式0sinsinmuvMmg而从起跳到落地所经历的时间应比上面给出的时间大，故从起跳到落地所经历的时间为2000sinsinsinsin(sin)2mumumuvvgtMmMmMmtg（19）（2）由式（ 15）可以看出，t 越大，0t越小，跳的距离x 越大，由式（19）可以看出，当0t0 时， t 的值最大，由式（3）和式（ 4）可知，抛出物块处的坐标为0px，0py（ 20）即应在原点亦即在刚起跳时把物块抛出，运动员可跳得远一点。由式（19）可以得到运动员自起跳至落地所经历的时间为0sinsin22vmuTgMmg把00t和tT代入式（ 15） ，可求得跳远的距离，为2
45、22002sin22sin()sin 2()()vmv um uxgMm gMmg（21）可见，若sin 21, sin()1, sin21，即/ 4，/ 4（22）时，x有最大值，即沿与x轴成 45 方向跳起，且跳起后立即沿与负x轴成 45 方向抛出物块，则x有最大值，此最大值为2220022()()mvmv um uxgMm gMmg（23）评分标准：本题20 分。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载第一小问13 分：求得式（ 15） 、 （ 16）各 3 分，式（ 17）2 分，求得式（
46、19）并说明“ t ”取“”的理由给5 分。第二小问7 分：式（ 20）2 分，式（ 22）2 分，式（ 23）3 分。第二十届复赛三、参考解答位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时（见图复解20-3） ，它受到地球的引力可以表示为2GM mFr，（1）式中M是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量可以表示为343Mr（2）于是，质量为m的物体所受地球的引力可以改写为43FG mr（3）作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小为sinfF（4）sinxr（5）为r与通道的中垂线OC间的夹角，x为物体位置到通道中点C的距离，力的方向指向通道
47、的中点C。在地面上物体的重力可以表示为020GM mmgR（6）式中0M是地球的质量。由上式可以得到043gGR（7）由以上各式可以求得0mgfxR（8）可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为0mgkR（9）物体将以C为平衡位置作简谐振动，振动周期为02/TRg。取0 x处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为m的静止物体到达0 x处的速度为0v，则根据能量守恒，有2220011()22mvk Rh（10）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载式中h表示地心到通道的距离。解
48、以上有关各式，得222000RhvgR（11）可见，到达通道中点C的速度与物体的质量无关。设想让质量为M的物体静止于出口A处，质量为m的物体静止于出口B处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是0v，方向相反， 刚碰撞后， 质量为M的物体的速度为V，质量为m的物体的速度为v，若规定速度方向由A向B为正，则有00MvmvMVmv，（12）22220011112222MvmvMVmv（13）解式（ 12）和式（ 13） ，得03MmvvMm（14）质量为m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B处时的速度为u，则有222
49、20111()222k Rhmumv（15）由式（ 14） 、 （15） 、 （ 16）和式（ 9）解得2220208()()RhM MmugRMm（16）u的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向，如果u的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有20200M muGmRR（17）由式（ 16） 、 （17）并注意到式（6） ，可以得到22071022()RMMmmhM Mm（18）已知20Mm ，则得00.9255920 kmhR（19）评分标准：本题20 分。求得式（ 11）给 7 分，求得式（16）给 6 分，式（ 17）2 分，式（ 18） 3分，式（
50、 19）2 分。五、参考解答放上圆柱B后，圆柱B有向下运动的倾向，对圆柱A和墙面有压力。圆柱A倾向于向左运动，对墙面没有压力。平衡是靠各接触点的摩擦力维持的。现设系统处于平衡状态，取圆柱A受地面的正压力为1N，水平摩擦力为1F；圆柱 B受墙面的正压力为2N，竖直摩擦力为2F，圆柱 A受圆柱 B的正压力为3N，切向摩擦力为3F；圆柱 B受圆柱 A的正压力为3N，切向摩擦力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页优秀学习资料欢迎下载为3F，如图复解20-5 所示。各力以图示方向为正方向。已知圆柱A与地面的摩擦系数10.20