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1、1.2.3复合函数求导复合函数求导有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.aaxxxxafxcfxfxxfxaxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若
2、1( )ln,( );fxxfxx则有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。导数的运算法则：法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的等于这两个函数的导数的和导数的和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg
3、 xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方再除以第二个函数的平方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。思考？如何求函数思考？如何求函数 的导函数的导函数：2lnxy有利于学习和创新的组
4、织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数y=f(u)和和u=g(x),如果通过变量如果通过变量u,y可以表示成可以表示成x的函数，那么称的函数，那么称这个函数为函数这个函数为函数y=f(u)和和u=g(x)的的复合函数复合函数，记作记作y=f(g(x).复合函数的概念复合函数的概念有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1.复合函数的概念:( ),( ),( )( )(
5、)yfxuxyf uuuxxyfx对 于 函 数令若是 中 间 变 量 的 函 数 ，是 自 变 量 的 函 数 ， 则 称是复自 变 量 x的合 函 数 .二、讲授新课：19:25:55有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。指出下列函数是怎样复合而成：2(1)sin2(2)31(3)cos(sin )(4)()1(5)sin(1).nmyxyxxyxyabxyx； ； ；练习练习1sin ,2yuux2,31yuuxx,.mnyuuabxcos ,sinyuux1sin ,1yuux 19
6、:25:56有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。)(),()(xuxuyyxguufyxgfy的导数间的关系为的导数和函数复合函数有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。定理定理 设函数设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导均可导，则复合函数则复合函数 y = f ( (x) 也可导也可导.且且( )( )xyf ux，xuxuyy 或或复合函数的求导法则复合函数的求导法则即
7、：即：因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. ( . ( 链式法链式法则则 ) )注意：1、法则可以推广到两个以上的中间变量；2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 xuuyxyxx00limlimxuuyxx 00limlim，xuxuuyxuuy 00limlim.x
8、uxuyy 即即证证设变量设变量 x 有增量有增量 x，. 0lim0 ux所所以以由于由于 u 可导，可导， 相应地变量相应地变量 u 有有增量增量 u，从而从而 y 有增量有增量 y.有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例4 求下列函数的导数求下列函数的导数2)32() 1 (xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：32)32() 1 (22xuuyxy1284)32()(2xuxuuyyxux有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导
9、向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。105. 0)2(xey函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：105. 0) 1 (105. 0 xueyeyux105. 005. 005. 0)105. 0()(xuuxuxeexeuyy有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。)(sin()3(均为常数，其中xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：xuuyxysin)sin() 1 ()cos(cos)()(sinxuxuuyyx
10、ux有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。解：设解：设则则 二、举例二、举例(A) 例例1 求函数求函数 的导数的导数5)23(xy解：设解：设, 23 xu5uy因为因为, 3,54xuuuy所以所以 xuxuyy(B) 例例2 求函数求函数 的导数的导数 )1ln(2xy21xuuyln因为因为 ,2,1xuuyxu所以所以 12)2(12xxxuuyyxux444) 23 (153) 23 ( 535xxu则则 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，
11、以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。(A) 例例3 求函数求函数 的导的导数数xy2cos解：设解：设 xucos2uy因为因为 xuuyxusin,2所以所以 xuxuyyxxxxu2sinsincos2)sin(2有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。的导数、求xyAsinln2)(xuuysin,ln解：xuxuxxuuyy)(sin)(ln xxxxucotcossin1cos1有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，
12、以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。练习练习3 3：设设 f (x) = sinx2 ，求，求 f (x).解解22( )cos()xfxxx 22 cosxx 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数(A)1.xey3解：解：xxxexeey3333)3()(A)2.)cos(3xy 解：解：)(sin)(cos333xxxy32sin3xxxey1sin)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxexxxe
13、x1cos)1(21sinxexx1cos11sin2(B)3.解：解：有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。(A) 例例11 求下列函数的导数求下列函数的导数综合运用求导法则求导综合运用求导法则求导xexy22sin).1 ()2(sin2xexy解：)()2(sin2xex)2()2(2cos2xexxxxex222cos233)(lnln).2(xxy)(ln)(ln33xxy解：)(ln)(ln3)(1233xxxxxxxx1)(ln331223)(ln1 3)(ln3322xxxx
14、x有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。(B) 例例12 求下列函数的导数求下列函数的导数321)45(xxy解：解： y312)1 () 45 (xx)1)(45(312xx) 1()1 (31) 45()1 (1032231xxxx.)1 (1)45(311103223xxxx（1）有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。【解析】103311(25 )(2)sinsin1yxyxxx求下
15、列函数的导数（）例有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。42)sin(xxy解 ：)sin()sin(4232xxxxy)(sin)sin( 4232xxxx)(sinsin21 )sin(432xxxx)cossin21 ()sin( 432xxxx)2sin1 ()sin(432xxx（2）有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。练习练习 求下列函数的导数求下列函数的导数xeyAx3si
16、n.1)(221.2)(xxeeyA)3(sin3sin)(22xexeyxx解：)3(3cos3sin)2(22xxexxexxxexexx3cos33sin222）（）（解：21xxeey)(1212xexexx）（22121xxxexe22112xxxeex有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。xxyC2cos12sin. 4)(xxxxxxycotsincossin211cossin22解：)(cotxyx2csc1) 1(. 3)(2xxyB) 1)(1(1) 1(22xxxxy解
17、：12 x) 1() 1(21) 1(2212xxx12 xxxx2) 1)(1(212121) 1(122xxxx11222xxx有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。复习检测有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。复习检测有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。复习检测有利于学习和创新的
18、组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。复习检测有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。(C) 例例13 求下列函数的导数求下列函数的导数 112xxy解解 ：先将已知函数分母有理化，先将已知函数分母有理化，得得) 1)(1(1222xxxxxxy12xxy) 1(121122xx112xx（1）有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既
19、开放又相互信任的合作环境。xxycos1sin2解： 因为xxycos1sin2xxxcos1cos1cos12 所以xysin11lnxxy解：因为11lnxxy)1ln()1ln(21xx所以 y211)1111(21xxx（2）（3）有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。【解析】233(31)142yx求曲线在点（， ）处的例切线方程。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。练习练习1
20、:求下列函数的导数求下列函数的导数: bxaxyxxyxxxyxycbxaxycossin)5()7643()4()3(211)2() 1 (232232 答案答案:2223221)21 (2) 2 ()( 3)2 () 1 (xxxycbxaxcbxaxbaxy 4227421925) 76 () 43(135) 4 ()925 ()(21) 3( xxxxxxy.)2sin()2 (41)2sin()2 (41sin21) 5 (xbabaxbababxb 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合
21、作环境。例例2: 设设f(x)可导可导,求下列函数的导数求下列函数的导数: (1)f(x2); (2)f( ); (3)f(sin2x)+f(cos2x)21 x 解解: );(2)()() 1 (222xf xxxfy );1(1122)1() 2(2222xfxxxxxfy ).(cos)(sin2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin)(cos(cos)(sin(sin )(cos)(sin) 3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy 三、例题选讲：三、例题选讲：有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，
22、以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。 如设如设 那么对于复合函那么对于复合函数数 ，我们有如下求导法则：，我们有如下求导法则： ),(),(),(xvvuufy)(xfyxvuxvuyy)()()(xvufy(B) 例例4 求求 的导数的导数2tan2xy 解：解： 设设 ,2uy 2,tanxvvu由由 得得 )()()(xvufy2sec2tan21sectan2)2(sec2)()(tan)(2222xxvvxvuvvuy 即即有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活
23、力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。(B) 例例8 求求 的导数的导数 32sin xy y=sin(x3)2=2sin(x3) sin(x3)=2sin(x3) cos(x3) (x3)=2sin(x3) cos(x3) 3x2=6x2sin(x3) cos(x3) (B) 例例9 求求 的导数的导数xy4sinlny=lnsin(4x)= sin(4x) x4sin1= cos(4x)(4x) x4sin1x4sin4= cos(4x)x4cot4有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客
24、价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。(B) 例例5 求求 的导数。的导数。 )42tan(lnxy解：解： 设设 42,tan,lnxvvuuy由由 得得)()()(xvufy)42()(tan)(ln xvuy21)42(cos1)42tan(12xx.sec)2sin(1)42cos()42sin(21xxxx21cos112vu有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。（C）4. 32ln1xy)ln1 ()ln1 (3121312xxy解 ： )(ln1 )ln
25、1 (312322xx)(lnln20 )ln1 (31322xxxxxxln12)ln1 (31322xxxln)ln1 (32322.3有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。小结小结： 复合函数复合函数y=f(x)要先分解成基本要先分解成基本初等函数初等函数y=g(u), u=h(v), v=i(x) 等，等，再求导：再求导：yx=yuuvv x根据函数式结构或变形灵活选择根据函数式结构或变形灵活选择基本初等函数求导公式或复合函数求基本初等函数求导公式或复合函数求导方法导方法作业本：作业
26、本：“基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则及导数的运算法则”有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例6.已知曲线已知曲线S1:y=x2与与S2:y=-(x-2)2,若直线若直线l与与S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:设设l与与S1相切于相切于P(x1,x12),l与与S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于对于 则与则与S1相切于相切于P点的切线方程为点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.,2,1xyS 对于对于 与与S2相切于相切于Q点的切线方程为点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2 xyS因为两切线重合因为两切线重合,.02204) 2( 222121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,则则l为为y=0;若若x1=2,x2=0,则则l为为y=4x-4.所以所求所以所求l的方程为的方程为:y=0或或y=4x-4.