《抛物线及其标准方程》.ppt

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1、抛球运动抛球运动当当 0e1 时是双曲线时是双曲线当当 e=1 是？是？复习、引题：复习、引题：画抛物线定点定点 F F 叫做叫做 抛抛物线的物线的焦点焦点；定直线定直线 L L 叫做叫做抛物线的抛物线的准线准线 平面内到定点平面内到定点 F F与到定直线与到定直线 L L 的距的距离相等的点的轨迹叫离相等的点的轨迹叫抛物线抛物线. .L LFKMNF F在在l l上时，轨迹是过点上时，轨迹是过点F F垂垂直于直于L L的一条直线。的一条直线。注意注意平面上与一个定点平面上与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l l（F F不在不在l l上上）的距离相等的点的轨迹）的距离相等的点的轨迹叫做抛

2、物线。叫做抛物线。 F F在在l l上时，轨迹是过点上时，轨迹是过点F F垂垂直于直于L L的一条直线。的一条直线。FMlN如何建立直角如何建立直角 坐标系？坐标系？想一想？想一想？求曲线方程的基求曲线方程的基本步骤是怎样的？本步骤是怎样的？步骤：步骤：（1）建系）建系（2）设点）设点（3）列式）列式（4）化简）化简（5）证明）证明标准方程(1)(2)(3)LFKMNLFKMNLFKMNxxxyyyoooxyoFMlNK设设KF= p则则F（ ，0），），l：x = - p2p2设点设点M的坐标为（的坐标为（x，y），）， 由定义可知，由定义可知，化简得化简得 y2 = 2px（p0）22)2

3、(pxypx2取过焦点取过焦点F F且垂直于准线且垂直于准线l l的直线的直线为为x x轴，线段轴，线段KFKF的中垂线的中垂线y y轴轴 方程方程 y2 = 2px（p0）其中其中 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是: 焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程一一.定义定义:平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l l的的距离相等的点的轨迹叫做距离相等的点的轨迹叫做。定点。定点F F叫做抛叫做抛物线的物线的定直线定直线l l 叫做抛物线的叫做抛物线的。 二二.标准方程标准方程:yoxFMlNK则则F（ ，0），

4、），l：x = - p2p2 一条抛物线，由于它在坐标平一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式以抛物线的标准方程还有其它形式.方程方程y2 = 2px（p0）表示抛物表示抛物线的焦点在线的焦点在 X轴的正半轴上轴的正半轴上 抛物线的标准方程还有抛物线的标准方程还有几种不同的形式几种不同的形式?它们是它们是如何建系的如何建系的?yxoyxoyxoyxo？（1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是）已知抛物线的方程是y

5、 = 6x2， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；（3）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），）， 求它的标准方程。求它的标准方程。解：因为，故焦点坐标为（解：因为，故焦点坐标为（,）准线方程为准线方程为x=- .3232 1 12解解:方程可化为方程可化为:x =- y,故故p=,焦点坐标焦点坐标为为(0, -),准线方程为准线方程为y= .16 1 24 1 242解解:因焦点在因焦点在y轴的负半轴上轴的负半轴上,且且p=4,故其标准故其标准方程为方程为:x = - 8y2练习：练习：1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物

6、线的标准方程：（1）焦点是）焦点是F（3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是x = ；41（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2。y2 =12xy2 =xy2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或或 x2 = -4y2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2）x2= y （3）x2 +8y =021（5，0）x= -5（0，）18y= - 18y=2(0 , -2)例例2 2、求过点求过点A（-3，2）的抛物线的的抛物线的 标准方程。标准方程。AOyx解：当抛物线的焦点在解：当抛物线的焦点在y轴轴的正半轴上时

7、，把的正半轴上时，把A（-3，2）代入代入x2 =2py，得，得p= 49当焦点在当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A（-3，2）代入）代入y2 = -2px，得得p= 32抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x 。2934思考题思考题、M是抛物线是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，若点）上一点，若点 M 的横坐标为的横坐标为X0，则点，则点M到焦点的距离是到焦点的距离是 X0 + 2pOyxFM1、抛物线的定义、抛物线的定义,标准方程类型与图象的标准方程类型与图象的对应对应关系关系以及以及判断方法判断方法2、抛物线的、抛物线的定义、标准方程定义、标准

8、方程和它和它 的焦点、准线、方程的焦点、准线、方程3、求标准方程（求标准方程（1 1）用定义；）用定义； （2 2）用待定系数法）用待定系数法 二次函数二次函数 的图像的图像为什么是抛物线？为什么是抛物线？ 2(0)yaxa221(0)yaxaxya110)44aa焦点（ ，准线y=-当当a0a0时与当时与当a0a0）220pxy有有 0p 0 x 所以抛物线的范围为所以抛物线的范围为0 x 二、探索新知二、探索新知如何研究抛物线如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质）的几何性质?Ry对称性对称性2、yox)0 ,2(pF( , )x y关于关于x轴轴对称对称( ,)xy即点即点(x,

9、-y) 也在抛物线上也在抛物线上,故故 抛物线抛物线y2 = 2px(p0)关于关于x轴轴对称对称.则则 (-y)2 = 2px若点若点(x,y)在抛物线上在抛物线上, 即满足即满足y2 = 2px，顶点顶点3、yox)0 ,2(pF 定义：抛物线与定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛它的轴的交点叫做抛物线的物线的顶点顶点。y2 = 2px (p0)中，中，令令y=0,则则x=0.即：抛物线即：抛物线y2 = 2px (p0)的的顶点（顶点（0，0）.注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。双曲线有两个顶点不同。离心率离心率4、yox)0 ,2(pFP(x,y) 抛物线上

10、的点与抛物线上的点与焦点的距离和它到准焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做线的距离之比，叫做抛物线的离心率。抛物线的离心率。 由定义知，由定义知， 抛物线抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为的离心率为e=1. 下面请大家得出其余三种标准方程抛下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。物线的几何性质。（二）归纳：抛物线的几何性质（二）归纳：抛物线的几何性质lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2

11、pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1特点：特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内抛物线只位于半个坐标平面内;2.抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有没有对称中心对称中心;3.抛物线只有一个顶点、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的抛物线的离心率是确定的,为为1;yox)0 ,2(pFP(x,y)补充补充（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|PF|=x0+p/2xOy

12、FP通径的长度通径的长度：2P（2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：),(00yxBA)(20轴上注：焦点在 xpxPF)(20轴上注：焦点在ypyPF法一法一: :直接求两点坐标直接求两点坐标, ,计算弦长计算弦长( (运算量一般较大运算量一般较大);); 法二法二: :设而不求设而不求, ,运用韦达定理运用韦达定理, ,计算弦长计算弦长( (运算量一般运算量一般) ); ; 例例1、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交

13、于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。l24yxAABBFOxy三、典例精析三、典例精析1lyx的方程为：2216104yxxxyx 解法解法1 1 F1(1 , 0), 121232 232 2 22 222 2xxyy或2 22 21 12 21 12 2A AB B = = ( (x x - -x x ) ) + +( (y y - -y y ) ) = = 8 81lyx的 方 程 为 ：2216104yxxxyx22 =116418A B 22121214kxxxx 解法解法2 2 F1(1 , 0), 1 12 21 12 2 x x+ + x x= = 6 6 , ,

14、x x x x= = 1 1例例1、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。l24yx),(),(2211yxByxA1lyx的 方 程 为 ：2216104yxxxyx 解法解法3 3 F1(1 , 0), 1 12 21 1 2 2x x + +x x = =6 6, , x xx x = =1 1 |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8ABFA1B1pxxAB21例例1、斜率为、斜率为1的直线的直线

15、 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。l24yx),(),(2211yxByxA21px 22px 法一法一: :直接求两点坐标直接求两点坐标, ,计算弦长计算弦长( (运算量一般较大运算量一般较大);); 法二法二: :设而不求设而不求, ,运用韦达定理运用韦达定理, ,计算弦长计算弦长( (运算量一般运算量一般) ); ; 法法三三: :设设而而不不求求, ,数数形形结结合合, ,活活用用定定义义, ,运运用用韦韦达达定定理理, ,计计算算弦弦长长. . 例例1、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛

16、物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。l24yxAABBFOxy小结：变式变式1：过（：过（2，0）点作斜率为）点作斜率为1的直线的直线l，交抛，交抛物线物线 于于A,B两点，求两点，求 xy42AB 过点M（2，0）作斜率为1的直线L为 :y=x-2xyxxy422由方程组0482 xx可得：4, 82121xxxx由韦达定理可知：2122124)(1xxxxkAB644824481122),(),(2211yxByxA解：设 FAB例例 2 2, ,已知抛物线的方程为已知抛物线的方程为24yx , ,直线直线l过定点过定点(

17、2,1)P , ,斜率为斜率为k, ,k为何值时为何值时, ,直线直线l与抛物线与抛物线24yx : :只有一个公共点只有一个公共点; ;有两个公共点有两个公共点; ;没有公没有公共点共点? ? 1(2).lyk x 解：直线 的方程为xyxky4)2(12由方程组244(21)0kyyk可得 只有一个公共点只有一个公共点200,16(21)0kkkk 或 11,0,2kk 或 或 k=有两个公共点有两个公共点2016(21)0kkk 110, 02kk 或没有公共点没有公共点2016(21)0kkk 11, 2kk 或11,0,2kkk 综上所述 当或或时,直线与抛物线只有一个公共点;110

18、02kk 当或时,直线与抛物线有两个公共点;112kk 当或时,直线与抛物线没有公共点。变式变式2 2: :过点过点(0,1)M且和抛物线且和抛物线C:C:24yx 仅有一个仅有一个公共点的直线的方程是公共点的直线的方程是_._. kk k0 0k k = = 0 0, ,或或 = =1 16 6- -1 16 6k k = = 0 0k k = = 0 0, ,或或 k k = =1 1例例3,已知抛物线已知抛物线 的焦点是的焦点是F，点，点P是抛物线上的是抛物线上的动点，又有点动点，又有点A(1，5),求求 的最小值，并求出的最小值，并求出取最小值时取最小值时P点的坐标。点的坐标。xy22

19、PFPA A(1,5)FlQOPP例例3,已知抛物线已知抛物线 的焦点是的焦点是F，点，点P是抛物线上的是抛物线上的动点，又有点动点，又有点 求求 的最小值，并的最小值，并求出取最小值时求出取最小值时P点的坐标。点的坐标。xy22PFPA A(3,2)FlQOPA(3，2),PB1过抛物线过抛物线 的焦点作直线交抛物线于的焦点作直线交抛物线于 ， 两两点，如果点，如果 ，那么，那么 =（ ）（A）10 （B）8 （C）6 （D）42已知已知M为抛物线为抛物线 上一动点，上一动点，F为抛物线的焦点，定点为抛物线的焦点，定点 ，则，则 的最小值为（的最小值为（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D

20、）63过抛物线过抛物线 的焦点的焦点F作直线交抛物线于作直线交抛物线于P、Q两点，两点，若线段若线段PF、QF的长分别是的长分别是p、q，则，则 =（ ）（A） （B） （C） （D）xy4211, yxA22, yxB621 xx| ABBxy421,3P|MFMPB02aaxyqp11Ca2a4a4a21随堂练习：5.定长为定长为3的线段的线段AB的端点的端点A、B在抛物线在抛物线 上上移动，求移动，求AB中点中点M到到y轴距离的最小值，并求出此时轴距离的最小值，并求出此时AB中中点点M的坐标的坐标.xy222,45M答案：答案： M到到y轴距离的最小值为轴距离的最小值为454过抛物线过抛

21、物线 焦点的直线焦点的直线 它交于它交于A、B两点，则两点，则 弦弦AB的中点的轨迹方程是的中点的轨迹方程是 xy42l) 1(22xy进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨

22、叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑强子，别跑了，快来我给你扇扇了，快来我给你扇扇”。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你你看热的，跑什么？看热的，跑什么

23、？”此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅道，袅