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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除透视年高考 反思归纳例谈函数与导数问题的有关解题思想嘉兴三中 顾红俏论文摘要：函数与导数有关的综合问题在高考试卷中属于压轴题，多数学生都为之畏惧作为教师在平时对学生的引导与训练显得尤为重要要培养学生的函数思想，极限思想，等价转化思想，分类讨论思想，倒数曲线思想，数形结合思想，洛比达法则思想透过高考真题，反思归纳，概括总结，达到举一反三、触类旁通的效果关键词：函数，导数，等价转化，分类讨论，反思归纳自从导数进入高中数学教材之后，它给传统的中学数学内容注入了生机和活力它作为一种处理数学问题的重要工具，有着十分广泛的应用在高考试卷中，函数与导数的问题一
2、直是让学生感到棘手和困难的问题，甚至有些学生束手无策如果在平时学习和复习备考中，教师和学生都能以赏析的眼光来看待全国各省市高考真题，不断归纳总结，概括题型与解题方法，便会达到事半功倍的效果现以年部分省市的高考真题为例，谈一谈赏析高考，反思归纳题目（年高考新课标文题）设函数（）求的单调区间()若，为整数，且当时，求的最大值解法：（）的定义域为，若，则，所以在上单调递增若，则当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增()由于，所以故当时，等价于，令，则由（）知，函数在上单调递增，而，所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点设此零点为，则当时，；时，所以在上的最小值为又由可得，所以，由于式等价于，
3、故整数的最大值为赏析：第（）题是常规题目，通过导函数的正负情况就可以求出原函数的单调性难点是：分类讨论对学生而言，分类的难点在于“为什么要这样分类？”，本题分类的原因是恒成立，所以考虑和，即和这两类.第（）题，难点：由分离参数思想把（）转化成恒成立的问题，也就是，继而研究新的函数的最小值.难点：求函数的最小值的取值范围通过得，也就是可以用来替换，所以有，这是计算中的难点与技巧反思归纳：分类问题要引导学生找出分类的依据，分类要全面细致，不能重复，也不能遗漏，通过参数的分类的交集可知是否重复，通过参数的分类的并集可知是否遗漏关于恒成立的问题在高考试卷中经常出现，如恒成立，即；恒成立，即，这些想法要
4、经常向学生渗透，使之理解并学会灵活运用函数与导数问题的解决过程中，计算也是难点，要善于前后观察，化繁为简，从而使问题得以顺利解决题目（年高考全国文题）已知函数（）讨论的单调性；（）设有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值解法：（），（）当时，且当时，所以是上的增函数（）当时，有两个根当时，是增函数当时，是减函数当时，是增函数（）由题设知，是方程的两个根，故有因此同理，因此直线的方程为设与轴的交点为，得由题设知，点在曲线上，故由，解得，或，或赏析：第（）题的解法与题目的第（）题相类似，难点仍然是分类该题的分类依据是：在中，恒成立，因此考虑和，即和两类第（）题的难点：计算化简，能
5、把化成的关键是降次，由前面计算可知所以把中的代换成难点：由，可知直线的方程为，原因是形同变量异反思归纳：方程的思想，函数的思想，代换的思想在解题中常见，在平时的练习中要善于归类，达到举一反三的效果题目（年高考湖南文题）已知函数，其中.#中国教（）若对一切xR，恒成立，求的取值集合；z（)在函数的图像上去定点A（x1, ）,B(x2, )()，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0（,）,使恒成立.解法：（），令得当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对任意，恒成立，当且仅当令，则当时，单调递增；当时，单调递减故当时，取最大值，因此，当且仅当时，式成立综上所述，的取值集合为（)由题意
6、知，令，则，令，则当时，单调递减；当时，单调递增故当时，即从而，又，所以，因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使，即成立赏析：本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，不等式恒成立问题等，考查运算能力，分类讨论思想，函数与方程思想等数学思想第（）题利用导函数法求出最小值对一切，恒成立转化为，从而得出的取值集合第（)题在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断，实在是妙反思归纳：函数与方程的思想在解决函数与导数的综合问题中经常使用第（）题可以使用参数分离法，由，得，接下来分三类讨论：和，分别求出的范围再求交集即
7、在这过程中也会有难点，还需要有极限思想，学会倒数曲线，如果有机会可以向学生介绍洛比达法则，这样可以使问题从多种角度都可以解决，条条大路通罗马第（)题其实际是大学数学中的拉格朗日中值定理的另一种说法，证明方法是构造函数法，对高中学生来说，构造是很难想到的透过本题可以看到，大学数学中的一些解题思想和技巧也会在今后的高考中再次出现，这就要求教师经常向学生渗透一些大学数学中的证题技巧和解题思想，如极限思想，闭区间套思想，洛比达法则思想等，使学生的解题思想站在一个新的高度，有一览众山小的感觉题目（年高考湖北文题）设函数，n为正整数，a,b为常数，曲线y=在（1，）处的切线方程为x+y=1.（）求a,b的
8、值；（）求函数的最大值（）证明： .解法：（）因为，由点在直线上，可得，即因为，所以又因为切线的斜率为，所以，即，故（）由（）知，令，解得，即在上有唯一零点在上，故单调递增；在上，故单调递减因此在上的最大值为（）令，则在上，故单调递减；而在上，故单调递增因此在上的最小值为，所以，即令，得，即，所以，即由（）知，故所证不等式成立赏析：本题考查多项式函数的求导的几何意义，由导函数判断原函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式的综合应用问题考查转化与化归，分类讨论的数学思想，以及运算求解的能力第（），（）题比较容易解决第（）题证明不等式，通过构造函数使得问题得以解决难点是：这个函数是怎样构造出来的
9、？其实这是数学解题重要思想之一：等价转化思想，通过这一系列的等价转化，便构造了解决问题的函数反思归纳：导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等用导数证明不等式通常通过构造函数来实现，函数的构造通常通过以下几种方式产生：移项即可产生；变形之后产生；转化途中产生；挖掘隐含条件产生；借助已知函数产生难点是化成何种函数才能达到证明结论的需要，通常是化成熟悉的函数或化成单调性容易判断的函数教师在教学中要有意识的进行含有等基本初等函数的求导运算及不等式证明等综合应用问题的训练，使学生达到对这一类问题不陌生或者熟练的程度题目（年高考陕西文）设函数（）设，证
10、明：在区间内存在唯一的零点；（）设n为偶数，求b+3c的最小值和最大值；（）设，若对任意，有，求的取值范围解法：（）当，时，在内存在零点又当时，在上是单调递增的在内存在唯一零点（）由题意知，即把看成是的函数，再由线性规划的知识可得在点取到最小值，在点取到最大值到最小值为，最大值为（）当时，对任意都有等价于在上的最大值与最小值之差，据此分类讨论如下：当，即时，与题设矛盾当，即时，恒成立当，即时，恒成立综上所述，赏析：本题考查函数的零点，代数式的最值，参数的取值范围第（）题通过单调函数的零点存在性定理较容易解决第（）题利用函数思想和线性规划知识解决问题第（）题利用等价转化思想，对任意，有，再分类讨
11、论使得问题得以解决反思归纳：求解函数零点有关的问题，在全国各省市高考题中都曾经出现过，在解答题中多数与函数的单调性相关，或者通过导数这一工具画出函数的大致图像，再根据极大值，极小值的正负情况来确定零点的情况关于代数式的值的取值范围问题，求解方法通常考虑构造函数法，线性规划法，不等式性质法，数形结合法等关于任意的，存在的，恒成立等词语的问题在近几年高考题中经常出现解决问题的办法是：首先弄懂题意，其次找到其等价的可解决的问题这一方面的知识要求教师在平时就经常对学生进行训练纵观高考中的函数与导数的问题，教师要有意识地对知识点及考点进行归纳，同时有意识地引导学生通过类比，推广，变式等方式构造题目，不能
12、就题论题，浅尝辄止解题后的反思是提高解题质量的关键环节，归纳是对解题过程的重新整理，对其中涉及的基础知识、数学思想方法进行高度细致的归纳总结，对不同的解题思路进行比较，并思考优化与创新教师要透视高考，反思归纳，更要培养学生进行反思归纳稳步提高参考文献 王翠丽导数在不等式证明中的应用J数学之友，2011（24）：84-86 薛党鹏函数与导数的综合问题J中学数学教学参考，2012（1/2）：116-122 许少华导数证明不等式中的函数构造J考试高考文科，2012（）：36-37 冯爱银精彩预设显智慧活学活用才是真关于函数与导数的综合问题点评与教学建议J中学数学教学参考，2012（7）：60-61 罗增儒2012年高考数学陕西卷理科第题的数学分析J中学数学教学参考，2012（10）：10-12 曹凤山落霞与孤鹜齐飞 秋水共长天一色从数学思想方法考查的视角分析2012年高考数学浙江卷理科试题J中学数学教学参考，2012（11）：47-48 刘文娣如何发挥典型题的典型性不等式证明中导数的应用J中学数学，2013（4）：60-61【精品文档】第 7 页