《2022年湖北省荆门市中考数学试题及答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年湖北省荆门市中考数学试题及答案解析.docx（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022年湖北省荆门市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题中均给出了四个答案，其中有且只有正确答案，请将正确答案的字母代号涂在答题卡上.）1如果|x|2，那么x（）A2B2C2或2D2或2纳米（nm）是非常小的长度单位，1nm0.000000001m，将数据0.000000001用科学记数法表示为（）A1010B109C108D1073数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC30，A45，C90，如图，据此可求得A，B之间的距离为（）A20B60C30D304若函数yax2x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，
2、那么a满足（）AaBaCa0或aDa0或a5对于任意实数a，b，a3+b3（a+b）（a2ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）Aa3b3（ab）（a2+ab+b2）Ba3b3（a+b）（a2+ab+b2）Ca3b3（ab）（a2ab+b2）Da3b3（a+b）（a2+abb2）6如图，一座金字塔被发现时，顶部已经淡然无存，但底部未曾受损已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60角，则金字塔原来高度为（）A120mB60mC60mD120m7如图，CD是圆O的弦，直径ABCD，垂足为E，若AB12，BE3，则四边形ACBD的面积为（）A36B24C18D7
3、28抛物线yx2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1y2，则下列结论正确的是（）A0x1x2Bx2x10Cx2x10或0x1x2D以上都不对9如图，点A，C为函数y（x0）图象上的两点，过A，C分别作ABx轴，CDx轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点当AEC的面积为时，k的值为（）A1B2C3D410抛物线yax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x2，过点（1，2）和点（x0，y0），且c0有下列结论：a0；对任意实数m都有：am2+bm4a2b；16a+c4b；若x04，则y0c其中正确结论的个数为（）A1个B2
4、个C3个D4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将结果填写在答题卡相应位置.）11计算：+cos60（2022）0 12八（1）班一组女生的体重（单位：kg）分别是：35，36，38，40，42，42，45则这组数据的众数为 13如图，点G为ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GDBG：GECG：GF2：1已知AFG的面积为3，则ABC的面积为 14如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的点B处，则t 小时15如图，过原点的两条直线分
5、别为l1：y2x，l2：yx，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，依次进行下去，则点A20的坐标为 16如图，函数y的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线ym（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1x2x3）设t，则t的取值范围是 三、解答题（本大题共8小题，共72分.请在答题卡上对应区域作答.）17（8分）已知x+3，求下列各式的值：（1）（x）2；（2）x4+18（8分）如图
6、，已知扇形AOB中，AOB60，半径R3（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；（2）在扇形AOB的内部，O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称O1为扇形AOB的内切圆，试求O1的面积S119（8分）如图，已知矩形ABCD中，AB8，BCx（0x8），将ACB沿AC对折到ACE的位置，AE和CD交于点F（1）求证：CEFADF；（2）求tanDAF的值（用含x的式子表示）20（8分）为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：成绩/分888990919596979899学生人数21a321321
7、数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示（1）试确定a的值及测评成绩的平均数，并补全条形图；（2）记测评成绩为x，学校规定：80x90时，成绩为合格；90x97时，成绩为良好；97x100时，成绩为优秀求扇形统计图中m和n的值：（3）从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率21（8分）如图，AB为O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC3，点D在O上且满足ACAD，连接DC并延长到E点，使BEBD（1）求证：BE是O的切线；（2）若BE6，试求cosCDA的值22（10分）已知关于x的不等式组（a1）（1）当a时，解此不等式组；（2）若不等式组的
8、解集中恰含三个奇数，求a的取值范围23（10分）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40x80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为yx+9同时销售过程中的其它开支为50万元（1）求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？（2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？24（12分）已知抛物线yax2+bx+c过点A（2，0），B（4，0），D（0，8）（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；（2）如图，抛物线yax2+bx+c向
9、上平移，使顶点E落在x轴上的P点，此时的抛物线记为C，过P作两条互相垂直的直线与抛物线C交于不同于P的M，N两点（M位于N的右侧），过M，N分别作x轴的垂线交x轴于点M1，N1求证：PMM1NPN1；设直线MN的方程为ykx+m，求证：k+m为常数答案解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题中均给出了四个答案，其中有且只有正确答案，请将正确答案的字母代号涂在答题卡上.）1如果|x|2，那么x（）A2B2C2或2D2或【分析】利用绝对值的意义，直接可得结论【解答】解：|2|2，x2故选：C【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解决本题的关键2纳米（nm）是非常小的长
10、度单位，1nm0.000000001m，将数据0.000000001用科学记数法表示为（）A1010B109C108D107【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【解答】解：0.0000000011109故选：B【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定3数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC30，A45，C90，如图，据此
11、可求得A，B之间的距离为（）A20B60C30D30【分析】根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算可求解【解答】解：在RtABC中，C90，A45，BA45，BCAC30，AB，故选：C【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长是解题的关键4若函数yax2x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足（）AaBaCa0或aDa0或a【分析】由题意分两种情况：函数为二次函数，函数yax2x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得0，从而解出a值；函数为一次函数，此时a0，从而求解【解答】解：函数为二次函数，yax2x+1（a0），14a0，a，函数为一次函数，a0
12、，a的值为或0；故选：D【点评】此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键5对于任意实数a，b，a3+b3（a+b）（a2ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）Aa3b3（ab）（a2+ab+b2）Ba3b3（a+b）（a2+ab+b2）Ca3b3（ab）（a2ab+b2）Da3b3（a+b）（a2+abb2）【分析】根据立方差公式，进行分解即可解答【解答】解：a3+b3（a+b）（a2ab+b2）恒成立，a3b3（ab）（a2+ab+b2），故选：A【点评】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握立方差公式是解题的关键6如图，一座金字塔被发现时，顶部已经淡然
13、无存，但底部未曾受损已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60角，则金字塔原来高度为（）A120mB60mC60mD120m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可【解答】解：如图，底部是边长为120m的正方形，BC12060m，ACBC，ABC60，BAC30，AB2BC120m，ACm答：这个金字塔原来有米高故选：B【点评】本题考查的是勾股定理，含30角的直角三角形的性质，正方形的性质，理解题意是解答此题的关键7如图，CD是圆O的弦，直径ABCD，垂足为E，若AB12，BE
14、3，则四边形ACBD的面积为（）A36B24C18D72【分析】根据AB12，BE3，求出OE3，OC6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积【解答】解：如图，连接OC，AB12，BE3，OBOC6，OE3，ABCD，在RtCOE中，EC，CD2CE6，四边形ACBD的面积故选：A【点评】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧8抛物线yx2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1y2，则下列结论正确的是（）A0x1x2Bx2x10Cx2x10或0x1x2D以上都不对【分析】根据二次函数的
15、性质判断即可【解答】解：抛物线yx2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1y2，|x1|x2|，0x1x2，或x2x10或x2+x10，故选：D【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键9如图，点A，C为函数y（x0）图象上的两点，过A，C分别作ABx轴，CDx轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点当AEC的面积为时，k的值为（）A1B2C3D4【分析】根据三角形的中线的性质求出AEO的面积，根据相似三角形的性质求出SOCD1，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可【解答】解：点
16、E为OC的中点，AEO的面积AEC的面积，点A，C为函数y（x0）图象上的两点，SABOSCDO，S四边形CDBESAEO，EBCD，OEBOCD，（）2，SOCD1，则xy1，kxy2故选：B【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键10抛物线yax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x2，过点（1，2）和点（x0，y0），且c0有下列结论：a0；对任意实数m都有：am2+bm4a2b；16a+c4b；若x04，则y0c其中正确结论的个数为（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据抛物线
17、yax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x2，过点（1，2）且c0，即可判断开口向下，即可判断；根据二次函数的性质即可判断；根据抛物线的对称性即可判断；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断【解答】解：抛物线yax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x2，过点（1，2），且c0，抛物线开口向下，则a0，故正确；抛物线开口向下，对称轴为x2，函数的最大值为4a2b+c，对任意实数m都有：am2+bm+c4a2b+c，即am2+bm4a2b，故错误；对称轴为x2，c0当x4时的函数值大于0，即16a4b+c0，16a+c4b，故正确；对称轴为x2，点（0，c）的对称点为（4，c
18、），抛物线开口向下，若x04，则y0c，故错误；故选：B【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将结果填写在答题卡相应位置.）11计算：+cos60（2022）01【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答【解答】解：+cos60（2022）0+1011，故答案为：1【点评】本题考查了立方根，特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键12八（1）班一组女生的体重（单位：kg）分别是：35，36，38，40，42，42，45则这组数据的众数为 42【分
19、析】众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义就可以求解【解答】解：在这一组数据中42出现了2次，次数最多，故众数是42故答案为：42【点评】此题考查众数的意义，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数有时不止一个13如图，点G为ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GDBG：GECG：GF2：1已知AFG的面积为3，则ABC的面积为 18【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案【解答】解：CG：GF2：1，AFG的面积为3，ACG的面积为6，ACF的面积为3+69，点F为AB的中点，ACF的面积BCF的面积，ABC的面积为9+918，故答案
20、为：18【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键14如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的点B处，则t（1+）小时【分析】根据题意可得：PAC45，PBA30，AP100海里，然后在RtAPC中，利用锐角三角函数的定义求出AC，PC的长，再在RtBCP中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间路程速度，进行计算即可解答【解答】解：如图：由题意得：PAC45，PBA30，AP100海里
21、，在RtAPC中，ACAPcos4510050（海里），PCAPsin4510050（海里），在RtBCP中，BC50（海里），ABAC+BC（50+50）海里，t（1+）小时，故答案为：（1+）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键15如图，过原点的两条直线分别为l1：y2x，l2：yx，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，依次进行下去，则点A20的坐标为 （32，32）【分析】写根据一次函数图
22、象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（22n+1，22n+1），A4n+3（22n+1，22n+2），A4n+4（22n+2，22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2054即可找出点A20的坐标【解答】解：当x1时，y2，点A1的坐标为（1，2）；当yx2时，x2，点A2的坐标为（2，2）；同理可得：A3（2，4），A4（4，4），A5（4，8），A6（8，8），A7（8，16），A8（16，16），A9（16，32），A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（22n
23、+1，22n+1），A4n+3（22n+1，22n+2），A4n+4（22n+2，22n+2）（n为自然数）2054，点A20的坐标为（22+2，22+2），即（32，32）故答案为：（32，32）【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（22n+1，22n+1），A4n+3（22n+1，22n+2），A4n+4（22n+2，22n+2）（n为自然数）”是解题的关键16如图，函数y的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线ym（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1
24、），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1x2x3）设t，则t的取值范围是 t1【分析】根据A、B关于对称轴x1对称，可知x1+x22，由直线ym（m为常数）相交于三个不同的点，可以求出x3的取值范围，进而求出t的范围【解答】解：由二次函数yx22x+3（x2）可知：图象开口向上，对称轴为x1，当x1时函数有最小值为2，x1+x22，由一次函数yx+（x2）可知当x2时有最大值3，当y2时x，直线ym（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1x2x3），y1y2y3m，2m3，2x3，t，t1故答案为：【点评】本题考查了二次函数的性质，函数的取值
25、范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表示出各个变量的取值范围三、解答题（本大题共8小题，共72分.请在答题卡上对应区域作答.）17（8分）已知x+3，求下列各式的值：（1）（x）2；（2）x4+【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（ab）2（a+b）24ab，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可【解答】解：（1）4x3245；（2），+25+27，249247【点评】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式的特征将所求的式子进行适当变形是解题的关键18（8分）如图，已知扇形AOB中，AOB60，半径R3
26、（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；（2）在扇形AOB的内部，O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称O1为扇形AOB的内切圆，试求O1的面积S1【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；（2）先求出P的半径，再利用阴影部分面积扇形的面积圆的面积进行计算【解答】解：（1）AOB60，半径R3，S，OAOB，AOB60，OAB是等边三角形，SOAB，阴影部分的面积S阴（2）设O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，EOO1AOB30，OEO190，在RtOO1E中，EOO130，OO12O1E，O1E1，O1的半径O1E1
27、S1r2【点评】本题考查了相切两圆的性质构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径19（8分）如图，已知矩形ABCD中，AB8，BCx（0x8），将ACB沿AC对折到ACE的位置，AE和CD交于点F（1）求证：CEFADF；（2）求tanDAF的值（用含x的式子表示）【分析】（1）根据矩形的性质得到BD90，BCAD，根据折叠的性质得到BCCE，EB90，等量代换得到ED90，ADCE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DFa，则CF8a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AFCF8a，在RtADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案【解答】（1）证明：四边形A
28、BCD是矩形，BD90，BCAD，根据折叠的性质得：BCCE，EB90，ED90，ADCE，在CEF与ADF中，CEFADF（AAS）；（2）解：设DFa，则CF8a，四边形ABCD是矩形，ABCD，ADBCx，DCABAC，根据折叠的性质得：EACBAC，DCAEAC，AFCF8a，在RtADF中，AD2+DF2AF2，x2+a2（8a）2，a，tanDAF【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），根据矩形的性质和折叠的性质证出AFCF是解题的关键20（8分）为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠
29、疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：成绩/分888990919596979899学生人数21a321321数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示（1）试确定a的值及测评成绩的平均数，并补全条形图；（2）记测评成绩为x，学校规定：80x90时，成绩为合格；90x97时，成绩为良好；97x100时，成绩为优秀求扇形统计图中m和n的值：（3）从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率【分析】（1）根据统计表中给出的数据和平均数的定义，可得a的值以及平均数的值并补全条形图；（2）根据数据除以总数等于百分比求解；（3）根据简单事件的概率公式求解【解答】解：（1）由题意可知，
30、a20（2+1+3+2+1+3+2+1）5，a5，（882+89+905+913+952+96+973+982+99）93，补全的条形统计图如图所示：（2）m10015；n10030；（3）从6个人中选2个共有30个结果，一个97分，一个98分的有12种，故概率为：【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图、平均数，概率，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答21（8分）如图，AB为O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC3，点D在O上且满足ACAD，连接DC并延长到E点，使BEBD（1）求证：BE是O的切线；（2）若BE6，试求cosCDA的值【分析】（1）根据直径所
31、对的圆周角是直角可得ADB90，从而可得BDE+ADC90，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得ECBADC，然后根据等腰三角形的性质可得EBDE，从而可得E+BCE90，最后利用三角形内角和定理可得EBC90，即可解答；（2）设O的半径为r，则ACAD3+r，在RtABD中，利用勾股定理可求出r5，从而求出BC2，然后在RtEBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答【解答】（1）证明：AB为O的直径，ADB90，BDE+ADC90，ACAD，ACDADC，ACDECB，ECBADC，EBDB，EBDE，E+BCE90，EBC180（E+ECB）90，O
32、B是O的半径，BE是O的切线；（2）解：设O的半径为r，OC3，ACADAO+OC3+r，BE6，BDBE6，在RtABD中，BD2+AD2AB2，36+（r+3）2（2r）2，r15，r23（舍去），BCOBOC532，在RtEBC中，EC2，cosECB，cosCDAcosECB，cosCDA的值为【点评】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键22（10分）已知关于x的不等式组（a1）（1）当a时，解此不等式组；（2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围【分析】（1）把a的值代入再求解；（2）先解不等式组，再根据题意
33、列不等式求解【解答】解：（1）当a时，不等式组化为：，解得：2x4；（2）解不等式组得：2a1x2a+3，不等式组的解集中恰含三个奇数，44a+45，解得：0a0.25【点评】本题考查了不等式的解法，正确运算是解题的关键23（10分）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40x80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为yx+9同时销售过程中的其它开支为50万元（1）求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？（2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，
34、销售价格x应定为多少元？【分析】（1）根据总利润单价利润销量40，可得z与x的函数解析式，再求出x60时，z最大，代入即可；（2）当z17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出x的范围，结合y与x的函数关系式，从而解决问题【解答】解：（1）zy（x30）50（）（x30）50+12x320，当x60时，z最大，最大利润为40；（2）当z17.5时，17.5+12x320，解得x145，x275，净利润预期不低于17.5万元，且a0，45x75，yx+9y随x的增大而减小，x45时，销售量最大【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确
35、列出z关于x的函数的解析式是解题的关键24（12分）已知抛物线yax2+bx+c过点A（2，0），B（4，0），D（0，8）（1）求抛物线的解析式及顶点E的坐标；（2）如图，抛物线yax2+bx+c向上平移，使顶点E落在x轴上的P点，此时的抛物线记为C，过P作两条互相垂直的直线与抛物线C交于不同于P的M，N两点（M位于N的右侧），过M，N分别作x轴的垂线交x轴于点M1，N1求证：PMM1NPN1；设直线MN的方程为ykx+m，求证：k+m为常数【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）利用一线三垂直即可证明；先求平移后的抛物线解析式为y（x1）2，设N（x1，kx1+m），M（x2，k
36、x2+m），联立方程组y，整理得x2（2+k）x+1m0，由根与系数的关系可得x1+x22+k，x1x21m，再由PMM1NPN1，可得，整理后可求k+m1或k+m0（舍）【解答】（1）解：将A（2，0），B（4，0），D（0，8）代入yax2+bx+c，解得，yx22x8，yx22x8（x1）29，E（1，9）；（2）证明：PNPM，MPN90，NPN1+MPM190，NN1x轴，MM1x轴，NN1PMM1P90，N1PN+PNN190，MPM1PNN1，PMM1NPN1；证明：由题意可知平移后的抛物线解析式为y（x1）2，设N（x1，kx1+m），M（x2，kx2+m），联立方程组y，整理得x2（2+k）x+1m0，x1+x22+k，x1x21m，PMM1NPN1，即，k+m（k+m）2，k+m1或k+m0，M、N与P不重合，k+m1，k+m为常数【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键。27