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1、4.2.1 指数函数的概念教学目标：1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念2.结合指数函数概念的形成过程，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法，提升数学抽象素养教学重点：指数函数的概念教学难点：概括指数函数概念的过程教学过程：问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式由于旅游人数的不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票下表是A，B两地景区2001年至2015年的游客人次的逐年增加量时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次2001
2、6 0027820026 0993093120036 20113443520046 31113833920056 41104274420066 5094754820076 61115285320086 71105886020096 81106556720106 91107297420117 02118118220127 1199039220137 21101 00510220147 32111 11811320157 43111 244126比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？追问：（1）能否作出A，B两地景区游客人次变化的图象，根据图象并结合年增加量，说明两地景区游客人次
3、的变化情况？（2）我们发现，用“增加量”不能刻画B地景区人次的变化规律。能不能换一个量来刻画？例如用“增长率”，即从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否发现什么规律？（3）能否求出两地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的函数解析式，并根据解析式说明两地景区游客人次的变化情况？师生活动：教师给出问题，并通过追问引导学生对问题进行分析首先通过画出图象直观感受A，B两地景区游客增长的情况；为进一步刻画和比较两地游客人次的变化规律，需要通过对相邻两年游客人次进行运算，从而得到B地景区游客人次年增长率为常数，进而将其用函数y（x0，+）描述设计意图：通过刻画A，B两地景
4、区游客人次增加的问题，引出用函数刻画指数增长的问题，为抽象得到指数函数做准备问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的衰减比率（简称为衰减率）衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？追问：（1）能否求出生物体内碳14含量随死亡年数变化的函数解析式？（2）生物死亡后体内碳14含量每年衰减的比例是多少？师生活动：教师提出问题，并让学生类比问题1对提出的问题进行思考通过对问题的分析，引导学生用函数（x0，+）刻画碳14衰减的规律设计意图：通过刻画碳14衰减的问题，引出用函数刻画指数衰减的问题，为抽
5、象得到指数函数做准备问题3：比较问题1，2中的两个实例：B地景区游客人次增长与碳14衰减，它们所描述的变化规律有什么共同特征？追问：（1）从游客人次增长和碳14衰减的数据看，它们的变化有什么共同特征？（2）从游客人次增长和碳14衰减的图象看，它们的变化有什么共同特征？（3）B地景区游客人次增长的函数解析式y=与碳14衰减的函数解析式有什么共同特征？师生活动：教师引导学生从数据、图象、解析式等角度进行归纳概括，发现刻画问题1中的指数增长和问题2中的指数衰减的函数的共同特征从解析式上来看，如果用字母a代替底数1.11和，那么上述函数y=和就都可以表示为的形式，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0
6、且不等于1的常量从而引出指数函数的概念：一般地，函数（a0，且a1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R并指出，指数函数中，当xN时，函数y（a1）还可以表示为，其中p（p0）表示增长率；函数y（0，其中p（p0）表示衰减率因此，指数函数是刻画呈指数增长或指数衰减变化规律的函数模型设计意图：通过分析、比较两个实例，概括它们的共同本质特征，从而得到指数函数概念的本质属性，得出指数函数的概念例1：已知函数f(x)（a0，且a1），且f(3)e，求f(0)，f(1)，f(3)的值师生活动：教师引导学生，要求出f(0)，f(1)，f(3)的值，应先求出f(x)的解析式，即先求a的值而已知f(3
7、)e，可由此求出a的值设计意图：通过求函数解析式，并根据解析式求不同的函数值，从指数函数的对应关系和变化规律的角度理解指数函数的概念练习1下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ）.设计意图：利用函数的三种表示形式，从不同角度推动学生对指数函数概念的理解，进一步明确概念，学会对指数函数的表示，体会指数增长或衰减例2：（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况（2）在问题2中，某生物死亡后，过了10000年，它体内碳14的含量衰减是原来的百分之几？设计意图：在引入概念的两个实例基础上，利用指数函数概念进一步解决与两个实例有关的问题，从而巩固概念，进一步理解概念练习3在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）设计意图：熟悉不同的指数增长的函数模型，并利用指数函数的概念解决实际问题，进一步巩固概念，加强对概念的理解4