《人教A版（2019）高中数学必修第一册2.2基本不等式教学设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版（2019）高中数学必修第一册2.2基本不等式教学设计.docx（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、22 基本不等式教材分析：本单元主要学习基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关从数与运算的角度，是两个正数，的“算术平均数”，是两个正数，的“几何平均数”因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“等圆中，弦长不大于直径”等，都是基本不等式的直观理解基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源利用分析
2、法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等这些方法也是代数证明和推导的典型方法基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至个正数的几何平均值不大于算术平均值基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养基于以上分析，确定本节课的
3、教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题学情分析： 由于学生缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点在进行基本不等式的集合解释的教学时，为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，可以利用信息技术制作一个动态图形，以帮助学生直观理解 此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此基本不等式的证明和利用
4、基本不等式求最值也是本节课的难点教学目标： 1.理解基本不等式，发展逻辑推理素养 2.结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养 学科素养 1.数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程 2.逻辑推理：基本不等式的证明 3.数学运算：利用基本不等式求最值 4.数据分析：利用基本不等式解決实际问题 5.数学建模：利用函数的思想和基本不等式解決实际问题，提升学生的逻辑推理能力教学过程： （一）基本不等式的定义 导入语：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？下面就来研究这个问题
5、问题1：在上一节我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式，请同学回忆是什么不等式？师生活动：学生回忆、表述，对于任意实数，有，当且仅当时等号成立追问：不等式中的取值范国是什么？特别地，如果，我们用，分别代替上式中的，可以得到怎样的式子？ 师生活动：生独立计算后回答教师总结：对于任意实数，得到，变形为，当且仅当时等号成立此不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算，通常我们称此不等式为基本不等式其中叫做正数的算术平均数，叫做的几何平均数基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数设计意图：通过取上一节课得到的不等式的特殊形式，得到基本不等式的定义，同时在两个不等式之间建立联系通
6、过分析基本不等式的代数结构特点，得到基本不等式的代数解释，初步加深对基本不等式的认识 （二）基本不等式的证明 问题2：上节课我们看到，证明不等关系，还可以运用不等式性质，你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢？ 师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明上式教师给予肯定并追问，是否还有其它证法？由于没有已知条件，学生不知从何入手 追问1：你能否寻找一下此不等式成立的充分条件？也就是要证，只需要明什么，从而形成证明思路 师生活动：教师给出教科书第44页用分析法证明的过程，同时指出，只要把上述过程倒过来，就能用不等式的性质直接推出基本不等式了追问2：上述证明中，每一步推理的
7、依据是什么？师生活动：学生分别回答教科书第44页证明过程中，由，由，由，由的依据追问3：上述证明方法叫做“分析法”你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？师生活动：学生讨论后回答教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止追问4：你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？师生活动：学生思考后回答教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证只要证”的格式，当推导到一个明显
8、成立的条件之后，指出“显然成立”追问5：基本不等式成立的条件是什么？如果或基本不等式是否成立？师生活动：学生通过证明发现均为非负数，如果存在负数时，该不等式不成立教师指出基本不等式的定义要求均为正数设计意图：根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略 （三）基本不等式的几何解释 问题3：在图1中，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 师生活动：学生思考后回答，教师引导学生总结：从条件和基本不等式出发，发现圆的半径长等于，教师操作课件，也就是基本不等式
9、可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释当且仅当弦过圆心时，二者相等设计意图：让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里给出了几何图形，引导学生将和与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变化中表现的大小关系的规律，从而获得基本不等式的几何解释 （四）基本不等式的简单应用例1 已知，求的最小值 追问1：“求的最小值”的含义是什么？师生活动：学生思考后回答教师总结：求的最小值，就是要求出一个，使，都有追问2：本題中要求最小值的代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式求的最小值？如果能，如何求？师生活动：学生思考后回答教师总结：本題中要求的代数式是和的形式，而且由于是
10、的算术平均数的2倍，而后者的几何平均数是一个定值，所以可以利用基本不等式求解教师展示教科书第45页例1的解答过程追问3：在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当，即时，等号成立”?师生活动：学生讨论后回答教师总结：这是为了说明“2”是代数式的一个取值，代数式的最小值必须是代数式能取到的值请同学们想一想，当时成立吗？这时能说是代数式的最小值吗？追问4：通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？师生活动：学生讨论后回答教师总结：代数式能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是一个定值，不等式中的等号能取到，通俗的说，就是“一正、二定、三相等”设计意图：引导学生根
11、据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解決问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范同时，在本题之后，引导学生总结能应用基本不等式求最值的代数式满足的条件例2 已知都是正数，求证：（1）如果积等于定值那么当时，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值师生活动：师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善追问：通过本题，你能说说用基本不等式能够解決什么样的问题吗？师生活动：学生思考后回答，教师总结：满足“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，
12、求它们的积的最大值”的问题，能够用基本不等式解決设计意图：在例1的基础上，再利用一道例题示范如何直接利用基本不等式解決问题，同时借此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决实际问题创造了条件（五）利用不等式解决生活问题导入语：运用数学知识解決生活中的最值问题，也就是最优化的问题，特别能体现数学应用价值基本不等式是求最值的工具，特别是对求代数式的最值问题有重要的意义例3 :（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篙笆的长度是多少？ （2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？追问1
13、：前面我们总结了能用基本不等式解决的两类最值问题，本例的两个问题分别属于那两类问题吗？师生活动：学生思考后回答：属于第（1）题可以转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短，实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值的问题：第（2）题可以转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大，实际上是已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值的问题追问2：例2给出了用基本不等式解决问题的数学模型：（1）如果正数的积等于定值，那么当时和有最小值；（2）如果正数的和等于定值，那么当时积有最大值怎样把本例转化为基本不等式的数学模型求解？师生活动：学
14、生思考后回答：第（1）题可以转化为数学模型（1）求解，第（2）题可以转化为数学模型（2）求解学生进一步回答解答过程，教师予以规范，并板书设计意图：本例是典型而较简单的能够用基本不等式求解的问题通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型理解和识别实际问题，从而用基本不等式解決问题，进一步发展学生的模型思想例4：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？师生活动：学生独立阅读题目，理解题意，教师提出问题：（1）水池的总造价由什么来确定？（答案：由池底的边长确定）（2）如何求水池的
15、总造价？（答案：设贮水池池底相邻两条边的边长分别为，水池的总造价为元，则）（3）此问题可以用基本不等式的数学模型求解吗？为什么？(答案：本例实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值，以及最小值是多少，可以转化为数学模型（1）解决)学生回答解答过程，教师板书设计意图：本题的背景更加复杂，需引导学生简化问题，再用基本不等式模型求解本例在例3的基础上，进一步培养学生用数学的眼光看问题的能力，提升他们的数学模型素养（六） 归纳小结 教师引导学生回顾本单元的内容，并回答下面的问题： （1）什么是基本不等式？如何推导得到基本不等式？ （2）基本不等式的代数特征是什么？如何从
16、几何图形上解释？ （3）基本不等式的使用条件是什么？如何利用基本不等式解决最值问题？需要注意什么？ （4）本节课有哪些数学思想方法？ 设计意图：引导学生回顾总结本单元的学习内容和学习方法在小结中，要注意引导学生体会研究一个特殊代数对象的一般过程 六、目标检测设计 1（1）已知，求的最小值及相应的值； （2）已知，求的最大值及相应的值 设计意图：考査学生利用基本不等式解决简单的最值题的能力 2已知都是正数，且，求证： （1）； （2） 设计意图： 考查学生对基本不等式的理解，及运用“分析法”证明问题的能力 3做一个体积为，高为的长方体纸盒当底面的边长取什么值时，用纸最少？ 4用一段长为的篱笆围成边靠墙的矩形菜园，墙长当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大?最大面积是多少？ 设计意图：考查学生利用基本不等式的模型解决实际问题的能力