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1、5.5.2 简单的三角恒等变换1已知，则（ ）ABCD2已知，则等于（ ）ABCD3若，则（ ）ABCD4设向量，.则函数的最大值是（ ）ABCD25已知，则（ ）ABCD6若，则（ ）ABCD7若，则（ ）ABCD8在中，角、对边分别为、，若，且，则的周长是（ ）ABCD9在中，角、的对边分别是、，若，则的最大值为（ ）ABCD10在中，若，那么一定是（ ）A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形11在ABC中，若，则（ ）AC的最大值为BC的最大值为CC的最小值为DC的最小值为12已知的内角、满足，面积满足，记、分别为、所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD13已知，
2、则的值为_14若，则_15已知，则_16在平面直角坐标系中，已知点、在圆上，且满足，则的最小值是_17已知函数，若集合只含有3个元素，则实数的取值范围是_18在三角形中，且角、满足，三角形的面积的最大值为，则_19如图所示，以正方形的四个边为底向外作四个腰长为的等腰三角形，则该图形面积的最大值为_. 20角A为的锐角内接于半径为的圆，则的取值范围为_21已知函数（1）求函数的最小正周期及单调递增区间.（2）当时，求函数的最大值和最小值.22函数，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，的图像关于原点对称.在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：“已知_，函数图像的相邻两条对称轴之间的
3、距离为.” （1）求的值；（2）求函数在上的单调递增区间.23已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）求函数在上的单调递增区间和最小值.24设函数，其中，已知.（1）求的最小正周期；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将整个图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的最小值.25的内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若，求的最大值.26已知向量，且的图像过点和点.（1）求，的值及的最小正周期；（2）若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求在时的值域和单调递减区间.27如图，在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于点、两点，且点在直线
4、上，.（1）求的值；（2）求的值.28已知，且.（1）求的值；（2）求的值.答案解析1B分析：利用两角和与差公式和辅助角公式化简已知等式，可得答案解答：由，得，所以，从而.故选：B点评：本题考查三角恒等变换，考查两角和与差公式与辅助角公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题2A分析：把两边平方，利用二倍角的正弦公式可得答案解答：把两边平方得：，即，解得.故选：A点评：本题考查二倍角的正弦公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题3C分析：利用二倍角的余弦公式求值即可解答：，.故选：C点评：本题考查二倍角的余弦公式的应用，考查诱导公式,考查学生计算能力，属于基础题4A分析：根据向量的数量积公式、二
5、倍角公式和辅角公式化简，可得，再根据和三角函数的性质，即可求出结果.解答：由题意可知，又，所以当时，即时，取最大值，最大值为.故选：A.点评：本题主要考查了平面向量的数量积，三角恒等变换与三角函数的性质，属于基础题5B分析：根据条件展开化简得到，再利用角的变换，得到，再利用二倍角公式化简求值.解答：由，得，化简得；故选:B点评：本题考查三角恒等变换，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.6D分析：根据三角函数变换，用表示，再计算三角函数值.解答： .故选：D点评：本题考查三角函数恒等变换，重点考查角的变换，属于基础题型.7C分析：先由，可得，结合，可得，继而得到，转化，利用两角差的正弦公
6、式即得解解答：由题意，故故又，故，则故选：C点评：本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题8D分析：由已知条件求出角的值，利用余弦定理求出、的值，由此可计算出的周长.解答：，则，由余弦定理得，即，因此，的周长是.故选：D.点评：本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.9B分析：利用边角互化思想结合等式可得，利用边角互化思想可得，利用基本不等式可求得所求代数式的最大值.解答：，即，、均为锐角且，故选：B点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题10B分析：利用两
7、角和与差公式化简原式，可得答案解答：因为，所以所以所以所以,所以,所以.所以三角形是等腰三角形.故选：B.点评：本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题11A分析：由商数关系，可得 ，结合辅助角公式，化简整理为，于是，由均值不等式可知，由余弦定理知，将所得结论代入进行运算可得，结合三角形内角关系，即可求解解答：由题可知， ， 所以， 由正弦定理知， ，所以， 由均值不等式可知，由余弦定理知， 因为，所以，即的最大值为 故选：A点评：本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用，采用了角化边的思维，还用到了同角三角函数的商数关系、辅
8、助角公式和均值不等式等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题12A分析：由条件化简得出，设的外接圆半径为，根据求得的范围，然后利用不等式的性质判断即可.解答：的内角、满足，即，即，即，即，即，设的外接圆半径为，则，C、D选项不一定正确；对于A选项，由于，A选项正确；对于B选项，即成立，但不一定成立.故选：A.点评：本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题13分析：利用二倍角公式,和同角三角函数的关系，运用弦化切，代入可求得值.解答：原式,又，原式，故答案为：.点评：本题考查同角三
9、角函数的关系，和运用二倍角公式化简求值问题，关键在于将齐次式转化为正切的式子，属于基础题.14分析：利用降幂公式，将所求式子化简，再结合已知条件，即可求出答案.解答：解：由降幂公式得：，又.故答案为：点评：本题考查了降幂公式和诱导公式，属于基础题.15分析：利用诱导公式和辅助角公式可得，再利用二倍角公式可求的值.解答：，故答案为：点评：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.16分析：求得
10、，设点、，设，可得出，然后利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得的最小值.解答：由题意可得、，所以，设点、，设，则，所以，为锐角，且，因此，的最小值.故答案为：.点评：本题考查代数式最值的计算，考查了平面向量数量积的应用，同时也考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.17分析：由题意，由，可得，再根据只有3个解可得，即可得解.解答：由题意，又集合只含有3个元素，且，解得，实数的取值范围是.故答案为：.点评：本题考查了三角函数图象和性质的应用以及辅助角公式的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.18分析：由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，可求得，利用余弦定
11、理，基本不等式可求的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解解答：，即，因为，即，解得，所以，设、分别为角、的对边，由余弦定理得，即又因为，即，当且仅当时等号成立所以三角形的面积故答案为：.点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19分析：设等腰三角形的一个底角为，将题中的图形面积表示以角为自变量的三角函数，利用三角恒等变换思想化简函数解析式，并利用正弦函数的有界性可求得该图形面积的最大值.解答：设等腰三角形的一个底角为，则，等腰三角形的高为.则图形的面积为，所以，当时，图形面积最大为.故答案为：
12、.点评：本题考查三角函数模型在实际生活中的应用，根据题意得出三角函数的解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.20分析：由正弦定理及辅助角公式化简可得,其中,由角的范围确定的范围即可得解.解答：，其中锐角满足：又为锐角三角形，由，知：，又，故答案为: .点评：本题考查正弦定理,辅助角公式在求解范围中的应用,对角范围的确定是本题的难点,考查学生分析问题的能力,难度较难.21（1），；（2）.分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后根据周期计算公式求解出，再采用整体替换法求解出单调递增区间；（2）采用整体替换的方法先分析出的取值范围，然后再结合正弦函数的单调性，求解出的最值.解答：
13、（1）因为，所以，所以最小正周期，令，所以，所以单调递增区间为：；（2）因为，所以，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以，此时，又，此时，综上可知：.点评：思路点睛：求解形如在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：（1）先确定这个整体的范围；（2）分析在（1）中范围下的取值情况；（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的的取值.22（1）；（2）.分析：（1）选择条件：利用二倍角公式化简函数，再由相邻两对称轴之间距离为求出，可得的解析式，进而求出的值；选择条件：由相邻两对称轴之间距离为求出，再将的图像向右平移个单位长度得到的解析式，由求出，可得，进而求出的值；（2）令，解出的范围，进而
14、得出在上的单调递增区间解答：（1）选择条件：即有：又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而， 从而， 选择条件：依题意，相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而， ，又的图像关于原点对称，则，由知，从而，（2），令，解得，从而在上的单调递增区间为点评：方法点睛：本题考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，求解三角函数单调区间的步骤是：1.先将三角函数化简为的形式；2.将整体代入正弦函数的单调区间；3.解出的范围，并写成区间形式，不同区间用逗号隔开23(I) ；(II) 为，.分析：（I）根据降幂公式以及辅助角公式将化简，然后根据周期计算公式求解出最小正周期；（II）采用整体替换的方法求解
15、出在上的单调递增区间，再结合的单调性求解出.解答：（）的最小正周期（）令所以，所以的单调递增区间为当时，单调递增区间为，当时，单调递增区间为，所以在上的单调增区间为和，又在上，.点评：思路点睛：本题考查三角恒等变换与三角函数性质的综合应用，属于中档题.利用三角恒等变换的公式化简的思路：对于二次的正余弦形式，先采用降幂公式变形，再利用辅助角公式进行整合；已知区间求解三角函数最值的思路：先分析单调性，必要时需要结合端点值进行分析.24（1）；（2）.分析：（1）先根据三角恒等变换的知识化简的解析式，根据求解出的值，然后最小正周期可求；（2）根据图象平移求解出的解析式，采用整体代换的方法求解出在的最
16、小值.解答：（1）因为，所以，因为，所以，所以，所以，又，所以，所以；（2）因为 ，将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）可得，将图象向左平移个单位可得，因为，所以，所以，此时，所以的最小值为.点评：思路点睛：求解形如在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下：（1）先确定这个整体的范围；（2）分析在（1）中范围下的取值情况；（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的的取值.25（1）；（2）.分析：（1）由正弦定理结合两角和与差的正弦公式化简，可得角；（2）利用正弦定理结合两角和与差的正弦公式和辅助角公式，将边表示成关于的函数，由正弦函数的有界性可得的最大值解答：（1），.（
17、2）由（1）得，由正弦定理，其中，由，存在使得，所以的最大值为1，的最大值为.点评：本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，属于中档题26（1）；最小正周期为；（2）值域为；单调递减区间为.分析：（1）根据数量积运算先表示出，然后通过所过点的坐标求解出的值，并利用三角恒等变换的公式将化简，从而求解出最小正周期；（2）先根据图象平移得到，再利用整体替换的方法求解出在时的值域和单调递减区间.解答：（1）.把和代入上式，得：.的最小正周期为.（2）由已知得.当时，所以，此时，所以，此时，所以的值域为.令，所以，当时，且，所以的单调递减区间为.点评：本题考查三角
18、函数图象与性质以及三角恒等变换的综合应用，其中还涉及到坐标形式下向量的数量积运算，对学生的化简与计算能力要求较高，难度一般.27（1）；（2）.分析：（1）列方程组解出点坐标，可得，；利用点在圆上，可得，；（2）由得出的范围，求出，结合的范围求值即可解答：（1）根据题意可得，因为，所以，所以，.因为，所以，所以，.（2）因为且，所以，所以.又，所以，所以.28（1）.（2）分析：（1）由已知根据同角三角函数的基本关系可求得,根据代入即可求得求得结果.（2）由(1)利用二倍角公式,可求得,进而可得的值,根据角的范围,即可确定结果.解答：（1），且又（2）或又，且又点评：本题考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式,两角和与差的三角函数,考查已知三角函数值求角,属于基础题.