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1、高中数学选修1-1基础知识梳理及达标训练第一章 常用逻辑用语1.1命题及其关系第1课时1.1.1命题1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1.命题的概念(1)一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.(2)一般地，用p和q分别表示一个命题的条件和结论.用綈p、綈q表示p和q的否定.于是四种命题的形式就是：原命题：若p则q(pq)；逆命题：若q则p(qp)；否命题：若綈p则綈q(綈p綈q)；逆否命题：若綈q则綈p(綈q綈p).2.四种命题间的关系知识点一命题的概念1.“红豆生南国，春来发几枝？愿
2、君多采撷，此物最相思.”这是唐代诗人王维的相思诗，在这4句诗中，可作为命题的是()A.红豆生南国 B.春来发几枝C.愿君多采撷 D.此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题.答案：A2.下列语句中，是命题的是()A.x210，xRB.函数yx2是偶函数吗？C.a2aD.平行四边形解析：A可以判断真假；B不涉及真假；C不能判断真假；D也不涉及真假，故选A.答案：A知识点二命题的真假与四种命题 3.(2019吉林白山期末)设，为两个不同的平面，
3、l，m为两条不同的直线，且l，m，则下列命题中为真命题的是()A.若lm，则l B.若lm，则C.若，则l D.若，则lm解析：由，为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l，m，知：在A中，若lm，则l或l，故A错误；在B中，若lm，则与相交或平行， 故B错误；在C中，若，则由面面平行的性质定理得l，故C正确；在D中，若，则l与m相交、平行或异面，故D错误.故选C.答案：C4.(2019福建闽侯二中期末)有下列四个命题：“若a2b20，则a，b全为0”的逆否命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x22xq0有实根”的逆否命题；“矩形的对角线相等”的逆命题.其中真命题为()A
4、. B.C. D.解析：中，“若a2b20，则a，b全为0”为真命题，则其逆否命题为真命题，正确；中，“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题，错误；中，“x22xq0有实根”的条件为44q0，则q1，所以原命题为真命题，则其逆否命题为真命题，正确；中，“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”是假命题，错误，故选B.答案：B知识点三命题的应用5.(2019福建龙海月考)设函数f(x)的定义域为集合A，函数g(x)lg的定义域为集合B，已知p：xAB；q：x满足2xm0，且若p则q为真命题，求实数m的取值范围.解：由题意，Ax|x2x20x|
5、x1或x2，Bx|0x3，ABx|2x3.记Cx|2xm0，若p则q为真命题，则ABC，3，m6，故实数m的取值范围为m|m6.6.证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.证明：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”.若ab0，则ab，ba，又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a).f(a)f(b)f(a)f(b)，即逆否命题为真命题.原命题为真命题.一、选择题1.(2019甘肃永昌四中期末)命题“若ab，则acbc”的逆否命题是()A.若
6、acbB.若acbc，则abC.若acbc，则abD.若acbc，则ab答案：C2.在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为()过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直；若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则；若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；两条异面直线在同一平面内的射影一定是两平行线.A.3 B.2C.1 D.0解析：中当平面外的两点确定的直线与垂直时，有无数个平面与平面垂直，所以错；中与也可能相交，所以错；错；两条异面直线在同一平面内的射影也可能相交，所以错.答案：D3.(2019辽宁重点高中联考)有下列四个命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“三角形的内
7、角和是180”的否命题；“若m1，则x22xm0的实根”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题.其中真命题为()A. B.C. D.解析：为真命题，中“若ABB，则AB”是假命题，则其逆否命题为假命题，故选D.答案：D4.(2019南山中学月考)已知命题p：“若xa2b2，则x2ab”，则下列说法正确的是()A.命题p的逆命题是“若xa2b2，则x2ab”B.命题p的逆命题是“若x2ab，则xa2b2”C.命题p的否命题是“若xa2b2，则x2ab”D.命题p的否命题是“若xa2b2，则x2ab”解析：命题p的逆命题是：“若x2ab，则xa2b2”，否命题是：“若xa2b2，则x0时，若a
8、b，则acbc”的逆命题是 .答案：当c0时，若acbc，则ab7.下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形对角互补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆内接四边形对角互补；对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有 ；互为否命题的有 ；互为逆否命题的 .(填序号)答案：，8.关于原命题“在ABC中，若cos A2sin Bsin C，则ABC是钝角三角形”的叙述：原命题是假命题；逆命题是假命题；否命题是假命题；逆否命题为真命题.其中正确命题是 .解析：在ABC中，cos Acos(BC)cos(BC)cos Bcos
9、Csin Bsin C，又cos A2sin Bsin C，cos(BC)0，BC或CB.ABC为钝角三角形，故原命题是真命题，从而逆否命题为真命题.又逆命题是：在ABC中，若ABC是钝角三角形，则cos A2sin Bsin C，易知是假命题，从而否命题也是假命题.答案：三、解答题9.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；(2)若m4，则方程x24xm0有实根；(3)若x2y20，则实数x、y全为零.解：(1)逆命题：全等的两个三角形的面积相等，真命题.否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题.逆否命题：两个不全等的
10、三角形的面积不相等，假命题.(2)逆命题：若方程x24xm0有实根，则m4，164m0，m4，是真命题.否命题：若m4，则方程x24xm0无实根，是真命题.逆否命题：若方程x24xm0无实根，则m4，是真命题.(3)逆命题：若实数x，y全为零，则x2y20，真命题.否命题：若x2y20，则实数x，y不全为零，真命题.逆否命题：若实数x、y不全为零，则x2y20，真命题.10.(2019江西上饶期末)设命题p：实数x满足(xa)(x3a)0，命题q：实数x满足2x3.若a1，有p且q为真，求实数x的取值范围.解：(xa)(x3a)0，ax3a，若a1，则p：1x3，若p且q为真，则2xk”是“1
11、”的充分不必要条件，则k的取值范围是 .解析：由1得0，x2，若“xk”是“1”的充分不必要条件，则k2.答案：2，)4.是否存在实数a，使4xa0的充分条件？如果存在，求出a的取值范围；否则，说明理由.解：由x2x20，解得x2或x2或x1，由4xa0，得x.令B，当BA时，即1，即a4.此时x0，当a4时，4xa0的充分条件.知识点三充要条件的判定与证明5.设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n .解析：由x24xn0，得(x2)24n.方程有整数根，且nN*，n3或4.答案：3或46.已知数列an的前n项和Sn2nt(nN).证明：数列an是等比数列的一个充要条件是t1
12、.证明：(1)充分性：t1，Sn2n1，当n2时，anSnSn1(2n1)(2n11)2n1.又a1S1120，an2n1(nN*)，2，故数列an是等比数列.(2)必要性：Sn2nt(nN)，a1S12t，a2S2S12，a3S3S24，若数列an是等比数列，则aa1a3，即4(2t)4，t1.由(1)(2)知，数列an是等比数列的一个充要条件是t1.一、选择题1.(2019浙江卷)若a0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：a0，b0，又ab2，若ab4，则ab4，反之不成立，故“ab4”是“ab4”的充分不
13、必要条件，故选A.答案：A2.(2019海南海口月考)设m，n表示不同的直线，表示不同的平面，且m，n，则“ ”是“m且n ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若m，n，则m，n；若m，n，m，n，但m，n不一定相交，与平行或相交，所以“ ”是“m且n ”的充分不必要条件，故选A.答案：A3.(2019湖北荆州期末)设aR，则a4的一个必要不充分条件是()A.a1 B.a5 D.a1时，a4不一定成立；当a4时，a1成立，a1是a4的一个必要不充分条件，故选A.答案：A4.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分不必要条件，那
14、么()A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充分条件及必要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：依题意知：丙乙甲，而乙丙，所以丙甲但甲丙，故丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.答案：A5.已知向量a(x，y)，b(cos ，sin )，其中x，y，R.若|a|4|b|，则ab3或1或1C.33D.11解析：由已知得|b|1，所以|a|4，因此abxcos ysin sin()4sin()4.由于ab4，解得2或2.这是ab2成立的充要条件，因此ab1或b”是“|a|b|”的充分条件；“a5”是“ab /|a|b|，所以错；a
15、5 /a3，而a3aa和条件q：2x23x10，则使p是q的充分不必要条件的最小整数a .解析：条件p：|x1|ax1a；条件q：2x23x10x1.若p是q的充分不必要条件，则a1.答案：1三、解答题9.指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).(1)在ABC中，p：AB，q：sin Asin B；(2)对于实数x、y，p：xy8，q：x2或y6；(3)非空集合A、B中，p：xAB，q：xB；(4)已知x、yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.解：(1)在ABC中，ABsin Asin
16、B，反之，若sin Asin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180)，所以只有AB.故p是q的充要条件.(2)易知，綈p：xy8，綈q：x2且y6，显然綈q綈p，但綈p綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件.(3)显然xAB不一定有xB，但xB一定有xAB，所以p是q的必要不充分条件.(4)条件p：x1且y2，条件q：x1或y2，所以pq但qp，故p是q的充分不必要条件.10.(2019安徽阜阳期中)设命题p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，且q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围.解：设Ax|x24ax3a20
17、，a0x|3axa，a0x|x2，q是p的必要不充分条件，AB，3a2或a4，又asin y，则xy；命题q：x2y22xy.下列命题为假命题的是()A.p或q B.p且qC.q D.綈p解析：命题p为假命题，命题q为真命题，则p且q为假命题，故选B.答案：B4.由下列命题构成的“pq”“pq”均为真命题的是()A.p：菱形是正方形，q：正方形是菱形B.p：2是偶数，q：2不是质数C.p：15是质数，q：4是12的约数D.p：aa，b，c，q：aa，b，c解析：若“pq”和“pq”均为真命题，则p和q均为真命题，故应选D.答案：D知识点三命题的否定与否命题5.写出下列命题的否定及其否命题，并判
18、断它们的真假.(1)若x，y都是奇数，则xy是偶数；(2)若一个数是质数，则这个数是奇数；(3)若两个角相等，则这两角是对顶角；(4)如果m2n2a2b20，则实数m，n，a，b全为零.解：(1)命题的否定：若x，y都是奇数，则xy不是偶数，是假命题；否命题：若x，y不都是奇数，则xy不是偶数，是假命题.(2)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不一定是奇数，是真命题；否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，是假命题.(3)命题的否定：若两个角相等，则这两个角不一定是对顶角，是真命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角，是真命题.(4)命题的否定：如果m2n2a2b20，则实数m
19、，n，a，b不全为零，是假命题.否命题：如果m2n2a2b20，则实数m，n，a，b不全为零，是真命题.知识点四利用命题的真假求参数的范围6.(2019四川棠湖中学月考)已知p：“直线xym0与圆(x1)2y21相交”；q：“mx2xm40有一正根和一负根”，若pq为真，綈p为真，求m的取值范围.解：直线xym0与圆(x1)2y21相交，1，1m1.mx2xm40有一正根和一负根，或解得0m4.pq为真，綈p为真，p假q真，1m4.m的取值范围为1，4).一、选择题1.复合命题：平行线不相交的形式是()A.pq B.pqC.綈p D.都不是解析：把平行线相交看成简单命题p，则复合命题：平行线不
20、相交的形式是綈p.答案：C2.(2019齐鲁名校联考)已知命题p：“27不是7的倍数”，命题q：“27是3的倍数”，则命题“27至少是3和7中某一个数的倍数”应该表示为()A.(綈p)q B.(綈p)qC.p(綈q) D.p(綈q)答案：A3.(2019湖北四校期中)已知命题p：“不等式x22x0的解集是x|x2”，命题q：“在ABC中，AB是sin Asin B的充分条件”.则()A.p真q假 B.pq假C.pq真 D.p假q真解析：由x22x0，即x2或xB是sin Asin B的充分条件，命题q为真命题，pq真，故选C.答案：C4.(2019孝感八校联盟期末)命题p：若aR，则a2是a1
21、的充分不必要条件；命题q：函数ylg(|x|3)的定义域为(，33，)，则()A.pq为假 B.pq为假C.(綈p)q为真 D.p(綈q)为假解析：由题可知p为真命题，q为假命题，故pq为真，pq为假，(綈p)q为假，p(綈q)为真，故选B.答案：B5.已知，为互不重合的三个平面，命题p：若，则；命题q：若内不共线的三点到的距离相等，则，对以上两个命题，下列结论中正确的是()A.命题“p且q”为真B.命题“p或綈q”为假C.命题“p或q”为假D.命题“綈p或綈q”为假解析：若，则与可能平行也可能相交，所以p为假命题；对于命题q，与也可能相交，所以q也是假命题，故命题“p或q”为假.答案：C二、
22、填空题6.设命题p：2xy3；q：xy6，若pq为真命题，则x ，y .解析：若pq为真命题，则p、q均为真命题，解得答案：337.下列命题中：“pq”为真是“pq”为真的充分不必要条件；“pq”为假是“pq”为真的充分不必要条件；“pq”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；“綈p”为真是“pq”为假的必要不充分条件.正确命题的序号是 .解析：“pq”为真p与q均为真“pq”为真，反之不成立，故正确；“pq”为假是“pq”为真的既不充分也不必要条件，故不正确；“綈p”为假时，p为真，从而“pq”为真，反之不成立，故正确；“綈p”为真时，p为假，从而“pq”为假，反之不成立，故不正确.答案：8.
23、已知命题p：不等式0的解集为x|0xB”是“sin Asin B”成立的必要不充分条件.有下列四个结论：p真q假；“pq”为真；“pq”为真；p假q真.其中正确结论的序号是 .(请把正确结论的序号都填上)解析：命题p为真，命题q为假，在ABC中，ABabsin Asin B，在ABC中，“AB”是“sin Asin B”的充要条件.故p真q假，“pq”为假，“pq”为真.答案：三、解答题9.写出由下列各组命题构成的“pq”“pq”“綈p”形式的复合命题，并判断真假.(1)p：1是质数；q：1是方程x22x30的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：0；
24、q：x|x23x50R.解：(1)p为假命题，q为真命题.pq：1是质数或是方程x22x30的根.真命题.pq：1既是质数又是方程x22x30的根.假命题.綈p：1不是质数.真命题.(2)p为假命题，q为假命题.pq：平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题.pq：平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命题.綈p：有些平行四边形的对角线不相等.真命题.(3)0，p为假命题，又x23x50，x，x|x23x50xxR成立.q为真命题.pq：0或x|x23x50R，真命题.pq：0且x|x23x50R，假命题.綈p：0，真命题.10.(2019湖北黄梅期中)已知命题p：“m|2m，mR”；命题q：“
25、关于x的方程x22xm20有两个不同的实数根”.(1)若pq为真命题，求实数m的取值范围；(2)若pq为真命题，pq为假命题，求实数m的取值范围.解：若命题p为真，则m；若命题q为真，则44m20，即1m1.(1)若pq为真命题，则即m1.所以实数m的取值范围为.(2)若pq为真命题，pq为假命题，则p与q一真一假，若p真q假，则所以m1.若p假q真，则所以10；对于任意实数x,2x1是奇数.下列说法正确的是()A.四个命题都是真命题B.是全称命题 C.是特称命题D.四个命题中有两个假命题解析：是全称命题，且是真命题，是假命题，是特称命题，且是真命题.答案：C知识点二全称命题与特称命题的真假判
26、断3.(2019鄱阳一中检测)下列命题中的假命题是()A.xR,2x10B.xN*，(x1)20C.x0R，lg x00是假命题，故选B.答案：B4.(2019福建三明期末)给出下列三个命题：命题“xR，x23x10”是真命题；命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”；命题“若ab，则am2bm2”的逆否命题是真命题.其中正确命题的个数为()A.0 B.1C.2 D.3解析：中：9450，所以函数f(x)x23x1与x轴有两个交点，即x23x10不可能恒成立，故错；中：命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”，故错；中：当m0时，若ab，但am2bm2，所以“若ab
27、，则am2bm2”为假命题，所以其逆否命题为假，故错，故选A.答案：A知识点三求参数的取值范围5.(2019宜昌月考)若命题“x0R，使得xmx02m50，m10，故选C.答案：C6.已知f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR成立，并说明理由；(2)若存在一个x0R，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围.解：(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4，即存在实数m4，使命题成立.(2)不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使mf(x0)成立，只需mf(x
28、)min.又f(x)x22x5(x1)24，f(x)min4，m4.故实数m的取值范围是(4，).一、选择题1.下列命题中是全称命题的是()A.圆有内接四边形B.x，使x240C.有一个数列，既是等差数列，又是等比数列D.存在一个函数，既是偶函数，又是奇函数答案：A2.(2019莆田一中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.xR，f(x)f(x)B.xR，f(x)f(x)C.x0R，f(x0)f(x0)D.x0R，f(x0)f(x0)答案：C3.(2019成都石室期末)“xR，x2bx10成立”是“b0,1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
29、C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：“xR，x2bx10”是真命题，则b240，2b0成立”是“b0,1”的必要不充分条件，故选B.答案：B4.(2019云南曲靖月考)有四个关于三角函数的命题：p1：xR，sin2cos2；p2：x，yR，sin(xy)sin xsin y；p3：x0，sin x；p4：sin xcos yxy.其中的假命题是()A.p1，p4 B.p2，p4C.p1，p3 D.p2，p3解析：对任意xR，均有sin2cos21而不是，故p1为假命题.当x，y，xy有一个为2k(kZ)时，sin xsin ysin(xy)成立，故p2是真命题.cos 2x12si
30、n2x，sin2x.又x0，时，sin x0，对任意x0，均有sin x，因此p3是真命题.当sin xcos y，即sin xsin时，x2ky或x2k(kZ)，即xy2k或x2ky(kZ)，故p4为假命题.综上分析知，p1，p4是假命题.答案：A5.(2019内蒙古北重三中调研)已知函数f(x)e|x1|，则下列说法错误的是()A.x0R，f(1x0)f(1x0)B.xR，f(x)1C.函数f(x1)是偶函数D.xR，f(x)x解析：f(x)e|x1|的图象关于x1对称，A错，故选A.答案：A二、填空题6.下列四个命题：nR，n2n；nR，n2n；nR，mR，m2n；nR，mR，mnm.其
31、中真命题的序号是 .解析：是假命题，中的n0恒成立”，命题q：“x02,2，使得2a2x0”，若命题pq为真命题，则实数a的取值范围为 .解析：若命题p为真命题，则x2xa1恒成立，即14(a1).若q为真命题，则x02,2，使得ax0，a2，若pq为真命题，a的取值范围为.答案：三、解答题9.判断下列命题是不是全称命题或特称命题，若是，试将其改写成含有符号“”或“”的形式，并判断其真假.(1)有一个实数x0，使得函数f(x0)x0的值为2；(2)所有实数都满足sin2cos21.解：(1)是特称命题，可改写成：x0R，对于函数f(x)x，有f(x0)2，该命题是假命题，因为f(x)的值域是(，44，).(2)是全称命题，可改写成：R，有sin2cos21，该命题是真命题.10.命题p：关于x的不等式x22ax40对一切xR恒成立，q：函数f(x)(32a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围.解：设g(x)x22ax4，由于关于x的不等式x22ax40对一切xR恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故4a2160，2a1，a1.又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假.(1)若p真