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1、24.1.2 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代多年前我国隋代建造的石拱桥建造的石拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形晶它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为7.2m.7.2m.问题情境问题情境你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重
2、复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴 实践探究实践探究如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE解答：解答：（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的直所
3、在的直线是它的对称轴线是它的对称轴弧：弧：把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重两侧的两个半圆重合，点合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合， 重重合，合， 重合重合（2） 线段：线段： AE=BEABBCADBDACBC与ADBD与因此因此 AE=BEAE=BEABBCADBD即即 直径平分弦，并且平分直径平分弦，并且平分 及及ABACBOABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的平分弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分
4、弦所对的两条弧归纳AM=BM,n由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 . ,CDAB,n由由 CD是直径是直径 AM=BM , ,可推得可推得垂径定理：垂径定理：推论：推论：几何语言表述几何语言表述AC=BCAD=BDAC=BCAD=BD判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直
5、这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆所在圆的圆心为心为O，半径为，半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前，根据前面的结论，面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高BODACRABABAB实践应用实践应用解得：解得：R279（m）BODACR在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股
6、定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中计算如下计算如下1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE解：解：OEAB222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.118422AEAB 在在Rt AOE 中中 练一练练一练2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的
7、为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m ，过，过O 作作OC AB 于于D， 交圆弧于交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO提高练习提高练习课后小结课后小结1. 垂径定理垂径定理2. 垂径定理的推论垂径定理的推论3. 垂径定理的应用垂径定理的应用1、习题、习题24.1 7、8；2、练习册上的相关内容、练习册上的相关内容作业布置：作业布置：