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1、XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 23.1.1 通用的特殊矩阵通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生全：产生全0矩阵。矩阵。ones：产生全：产生全1矩阵。矩阵。eye：产生单位矩阵。：产生单位矩阵。rand：产生：产生01间均匀分布的随机矩阵。间均匀分布的随机矩阵。randn：产生均值为：产生均值为0，方差为，方差为1的标准正态分布随机矩阵。的标准正态分布随机矩阵。3.1 特殊矩阵特殊矩阵XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 3n矩阵生成函数具有三种调用方式 1. 指定生成矩阵
2、的行、列维数3.1 特殊矩阵特殊矩阵XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 4n矩阵生成函数具有三种调用方式 2. 生成方阵3.1 特殊矩阵特殊矩阵XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 5n矩阵生成函数具有三种调用方式 3. . 生成与某个已有矩阵同维数的矩阵生成与某个已有矩阵同维数的矩阵 c = eye(size(a) c = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 03.1 特殊矩阵特殊矩阵不足的用不足的用0补齐。补齐。XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 6n结合矩阵生成函数，产生更为复杂的矩阵 A =
3、 1 2 3 4 5 6 7 8 9; B = A, eye(size(A); ones(size(A), A B = 1 2 3 1 0 0 4 5 6 0 1 0 7 8 9 0 0 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 4 5 6 1 1 1 7 8 93.1 特殊矩阵特殊矩阵XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 7例例3.2 建立随机矩阵：建立随机矩阵：(1) 在区间在区间20, 50内均匀分布的内均匀分布的5阶随机矩阵。阶随机矩阵。3.1 特殊矩阵特殊矩阵X = 20 + (50 - 20) * rand(5)XIAN UNIVERSITYOF TECH
4、NOLOGYPage 8例例3.2 建立随机矩阵：建立随机矩阵：(1) 在区间在区间20, 50内均匀分布的内均匀分布的5阶随机矩阵。阶随机矩阵。 (2) 均值为均值为0.6、方差为、方差为0.1的的5阶正态分布随机矩阵。阶正态分布随机矩阵。命令如下：命令如下：3.1 特殊矩阵特殊矩阵X = 20 + (50 - 20) * rand(5)Y = 0.6 + sqrt(0.1) * randn(5)XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 9例例3. 3 建立如下矩阵：建立如下矩阵：3.1 特殊矩阵特殊矩阵11100001110000111000010011110101
5、1110011111XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 10n用于专门学科的特殊矩阵 1. 魔方矩阵：矩阵中每行、每列以及两条对角线上的元素之和均相等。 例如：数字1-9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。 3.1 特殊矩阵特殊矩阵 M = magic(3)M = 8 1 6 3 5 7 4 9 2XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 11n用于专门学科的特殊矩阵 3. 希尔伯特矩阵：矩阵中每个元素 希尔伯特矩阵是一个高度病态(条件数很大，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生巨大变化)矩阵，
6、用一般方法求逆阵会产生不可靠的计算结果，因此使用一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)。 3.1 特殊矩阵特殊矩阵 A = hilb(4)A = 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/711ijhijXIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 123.2.1 对角阵与三角阵对角阵与三角阵1对角阵对角阵对角矩阵对角矩阵： 数量矩阵数量矩阵： 单位矩阵单位矩阵：3.2 矩阵结构调整变换矩阵结构调整变换只有对角线上有非只有对角线上有非0 0元素的矩阵元素的矩阵对角线上的元素相等的对角
7、矩阵对角线上的元素相等的对角矩阵对角线上的元素都为对角线上的元素都为1 1的对角矩阵的对角矩阵XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 13 (1) 提取矩阵的对角线元素提取矩阵的对角线元素设设A为为mn矩阵，矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵函数用于提取矩阵A主对角线元主对角线元素，产生一个具有素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。个元素的列向量。diag(A)函数还有一种形式函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提取第，其功能是提取第k条条对角线的元素。对角线的元素。3.2 矩阵结构调整变换矩阵结构调整变换A = 1,2,3; 4,5,6;D =
8、diag(A);D2 = diag(A,1);A = 1 2 3 4 5 6D = 1 5D2 = 2 6XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 14(2) 构造对角矩阵构造对角矩阵设设V为具有为具有m个元素的向量，个元素的向量，diag(V)将产生一个将产生一个mm对对角矩阵，其主对角线元素即为向量角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。的元素。diag(V)函数也有另一种形式函数也有另一种形式diag(V,k)，其功能是产生一个，其功能是产生一个nn(n = m + |k|)对角阵，其第对角阵，其第k条对角线的元素即为向量条对角线的元素即为向量V的元素。的元素。3
9、.2 矩阵结构调整变换矩阵结构调整变换A = 2, 6B = diag(A);C = diag(A,1);B = 2 0 0 6C = 0 2 0 0 0 6 0 0 0XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 15例例3.6 先建立先建立55矩阵矩阵A，然后将，然后将A的第一行元素乘以的第一行元素乘以1，第二行，第二行乘以乘以2，第五行乘以，第五行乘以5。3.2 矩阵结构调整变换矩阵结构调整变换A A = = 17,17, 0,0, 1,1, 0,0, 15;15; 23,23, 5,5, 7,7, 14,14, 16;16; 4,4, 0,0, 13,13, 0,0
10、, 22;22; 10,10, 12,12, 19,19, 21,21, 3;3; 11,11, 18,18, 25,25, 2,2, 19;19; D = diag(1 : 5)D = diag(1 : 5)D D = = 1,1, 0,0, 0 0, , 0,0, 0 0; ; 0 0, , 2 2, , 0 0, , 0 0, , 0 0; ; 0 0, , 0,0, 3,3, 0,0, 0 0; ; 0 0, , 0 0, , 0 0, , 4 4, , 0 0; ; 0 0, , 0 0, , 0 0, , 0 0, , 5 5;D = D * A; %用用D左乘左乘A，对，对A的每
11、行乘以一个指定常数的每行乘以一个指定常数XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 16(3) 构造上三角矩阵构造上三角矩阵 triu(A)用于提取矩阵用于提取矩阵A的上三角部分；的上三角部分； triu(A, k)用于提取矩阵用于提取矩阵A第第k条对角线以上的部分条对角线以上的部分3.2 矩阵结构调整变换矩阵结构调整变换A = 1 32 1 0 35 3 5 6 4 21 12 23 0 1 5 9 7 45 18 32 28 10 8 21 15;B = triu(A)C = triu(A, 2)B = 1 32 1 0 35 0 5 6 4 21 0 0 0 1 5
12、 0 0 0 18 32 0 0 0 0 15C = 0 0 1 0 35 0 0 0 4 21 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 17(3) 构造上三角矩阵构造上三角矩阵 tril(A)用于提取矩阵用于提取矩阵A的下三角部分；的下三角部分； tril(A, k)用于提取矩阵用于提取矩阵A第第k条对角线以下的部分条对角线以下的部分 例：想生成例：想生成 1 0 0; 1 1 0; 1 1 1 A=ones(3); tril(A); 3.2 矩阵结构调整变换矩阵结构调整变换XIAN UNIVERSITYOF
13、 TECHNOLOGYPage 183.2.2 矩阵的转置与旋转矩阵的转置与旋转1矩阵的转置矩阵的转置3.2 矩阵结构调整变换矩阵结构调整变换A = a1 b1 c1 a2 b2 c2;A = a1 a2 b1 b2 c1 c2;XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 193.2.2 矩阵的转置与旋转矩阵的转置与旋转2矩阵的旋转：矩阵的旋转：rot90(A, k) 逆时针，旋转逆时针，旋转90度的度的k倍数倍数3.2 矩阵结构调整变换矩阵结构调整变换A = a1 b1 c1 a2 b2 c2rot90(A) = c1 c2 b1 b2 a1 a2rot90(A, 2)
14、 = c2 b2 a2 c1 b1 a1XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 203.2.2 矩阵的转置与旋转矩阵的转置与旋转3矩阵的左右翻转：矩阵的左右翻转：fliplr(A)3.2 矩阵结构调整变换矩阵结构调整变换A = a1 b1 c1 a2 b2 c2fliplr(A) = c1 b1 a1 c2 b2 a2XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 213.2.2 矩阵的转置与旋转矩阵的转置与旋转 4. 矩阵的上下翻转：矩阵的上下翻转：flipud(A)3.2 矩阵结构调整变换矩阵结构调整变换A = a1 b1 c1 a2 b2 c2
15、flipud(A) = a2 b2 c2 a1 b1 c1XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 223.3.1 矩阵的逆矩阵的逆对于一个方阵对于一个方阵A，如果存在一，如果存在一个与其同阶的方阵个与其同阶的方阵B，使得：，使得：AB = BA = I (I为单位矩阵为单位矩阵)则称则称B为为A的逆矩阵，当然，的逆矩阵，当然，A也是也是B的逆矩阵。的逆矩阵。对矩阵对矩阵A求逆：求逆：inv(A)。3.3 矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求逆与线性方程组求解 A = 1,-1,1;5,-4,3;2,1,1; B = inv(A)B = -1.4000 0.4000 0.20
16、00 0.2000 -0.2000 0.4000 2.6000 -0.6000 0.2000 A*Bans = 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 B*Aans = 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 233.3.2 矩阵的伪逆矩阵的伪逆当当A不是方阵，或是一个非满不是方阵，或是一个非满秩的方阵时，则不存在逆阵。秩的方阵时，则不存在逆阵。 如果
17、存在一个与如果存在一个与A的转置矩阵的转置矩阵A同型的矩阵，使得同型的矩阵，使得 AB A = A B A B = B 则称则称B为为A的伪逆的伪逆 对矩阵对矩阵A求伪逆：求伪逆：pinv(A)3.3 矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求逆与线性方程组求解 A = 3,1,1,1; 1,3,1,1; 1,1,3,1; B = pinv(A)B = 0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.3929 0.3957 0.0357 0.0357XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 24线性方程
18、组线性方程组Ax=b，则，则A-1Ax=A-1b。由于。由于A-1A=I，故得，故得 x=A-1b例例3.8 用求逆矩阵的方法解线性方程组。用求逆矩阵的方法解线性方程组。A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; b=5,-2,6; x=inv(A)*b也可以运用也可以运用左除左除运算符运算符“”求解线性代数方程组。求解线性代数方程组。 y = Ab3.3.2 用矩阵求逆方法求解线性方程组用矩阵求逆方法求解线性方程组3.3 矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求逆与线性方程组求解2354928276xyzxyzxyz XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 253.4 矩阵求
19、值矩阵求值 det(A) 求方阵求方阵A所对应的行列式所对应的行列式 rank(A) 求矩阵的秩求矩阵的秩对于一组向量对于一组向量x1, x2, , xp，如果存在一组不全为零的数，如果存在一组不全为零的数ki(i = 1, 2, ,p)，使得，使得 k1 x1 + k2 x2 + + kp xp = 0则称则称x1, x2, , xp线性相关线性相关如果矩阵如果矩阵A中存在中存在r个线性不相关的行，则称个线性不相关的行，则称r为为A的行秩；的行秩；如果矩阵如果矩阵A中存在中存在r个线性不相关的列，称个线性不相关的列，称r为为A的列秩；的列秩；行秩必然等于列秩。行秩必然等于列秩。XIAN UN
20、IVERSITYOF TECHNOLOGYPage 263.4 矩阵求值矩阵求值 trace(A) 求矩阵求矩阵A的迹的迹 矩阵矩阵A的迹等于其对角元素之和的迹等于其对角元素之和 A = 2, 2, 3; 4, 5, -6; 7, 8, 9; trace(A)ans = 16XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 273.4 矩阵求值矩阵求值向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数范数用于度量矩阵或向量在某种意义下的长度；范数用于度量矩阵或向量在某种意义下的长度；向量的三种常用范数：向量的三种常用范数：2 范数范数1 范数范数 - 范数范数11niiVv221niiVv 1m
21、axii nVv XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 283.4 矩阵求值矩阵求值向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数范数用于度量矩阵或向量在某种意义下的长度；范数用于度量矩阵或向量在某种意义下的长度；向量的三种常用范数：向量的三种常用范数：2 范数范数1 范数范数 - 范数范数norm(V, 2)norm(V, 2)norm(V, 1)norm(V, 1)norm(V, inf)norm(V, inf)XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 293.4 矩阵求值矩阵求值 矩阵的条件数矩阵的条件数n 求解方程组求解方程组Ax = b时，一般认
22、为，时，一般认为，A中个别元素的微小扰动中个别元素的微小扰动不会引起解向量的很大变化。不会引起解向量的很大变化。n对于有的矩阵，对于有的矩阵，A中个别元素的微小扰动会引起解的很大变中个别元素的微小扰动会引起解的很大变化，称这类矩阵为病态矩阵。化，称这类矩阵为病态矩阵。n怎样衡量矩阵的病态与否？怎样衡量矩阵的病态与否？条件数条件数。n条件数的定义：条件数的定义：n条件数总是大于条件数总是大于1；条件数越接近于；条件数越接近于1，则矩阵的计算性越，则矩阵的计算性越好好1( )cond AAAXIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 303.4 矩阵求值矩阵求值 矩阵的条件数
23、矩阵的条件数用用MATLAB计算矩阵的条件数：计算矩阵的条件数：cond(A, 1)：计算：计算A在在1-范数下的条件数范数下的条件数cond(A, 2)：计算：计算A在在2-范数下的条件数范数下的条件数cond(A, inf)：计算：计算A在在-范数下的条件数范数下的条件数111( ,1)cond AAA122( ,2)cond AAA1( ,inf)cond AAAXIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 31 矩阵的条件数矩阵的条件数3.2 矩阵结构调整变换矩阵结构调整变换A = 2, 2, 3; 4, 5, -6; 7, 8, 9;C1 = cond(A, 2)
24、C1 = 87.9754B = 2, -5, 4; 1, 5, -2; -1, 2, 4;C2 = cond(B, 2)C2 = 3.7515矩阵矩阵B的条件数更接近于的条件数更接近于1，因此矩阵，因此矩阵B的性能更好的性能更好XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 323.4 矩阵求值矩阵求值 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量n 对于对于n阶方阵阶方阵A，求数，求数和向量和向量，使得等式，使得等式A= =成立；成立；n满足等式的数满足等式的数称为称为A的特征值，向量的特征值，向量称为称为A A的特征向量；的特征向量；n矩阵矩阵A A有有n n个特征值个特
25、征值( (含重复值含重复值) )，每个特征值都对应了无穷个，每个特征值都对应了无穷个特征向量；特征向量；n矩阵矩阵A A的特征值有确定解，而特征向量没有确定解。的特征值有确定解，而特征向量没有确定解。XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 333.4 矩阵求值矩阵求值 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量neig(A) 计算矩阵计算矩阵A的特征值和特征向量，常用的调用格式有的特征值和特征向量，常用的调用格式有3种：种：(1) E = eig(A)：求矩阵：求矩阵A的全部特征值，构成向量的全部特征值，构成向量E。(2) V,D = eig(A)：求矩阵：求矩阵A
26、的全部特征值，构成对角阵的全部特征值，构成对角阵D，并求并求A的特征向量构成的特征向量构成V的列向量。的列向量。 (3) V, D = eig(A, nobalance)：与第二种格式相类似，但第：与第二种格式相类似，但第二种格式中，先对二种格式中，先对A做相似变换，然后求做相似变换，然后求A的特征值和特征向的特征值和特征向量。格式三中，则直接求量。格式三中，则直接求A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 343.4 矩阵求值矩阵求值 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量n矩阵的特征向量有无穷多个，矩阵的特征向量有无穷
27、多个，eig(A)只找出其中的只找出其中的n个，其余个，其余特征向量可以由它们的线性组合表示。特征向量可以由它们的线性组合表示。A = 1, 1, 0.5; 1, 1, 0.25; 0.5, 0.25, 2;V, D = eig(A)V = 0.7212 0.4443 0.5315 -0.6863 0.5621 0.4615 -0.0937 -0.6976 0.7103D = -0.0166 0 0 0 1.4801 0 0 0 2.5365XIAN UNIVERSITYOF TECHNOLOGYPage 35作业作业课本：P55，第1、2、5、6题XIAN UNIVERSITYOF TECH
28、NOLOGYPage 363.4 矩阵求值矩阵求值 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量n验证计算验证计算110.50.72120.44430.53150.01200.65761.3481110.250.68630.56210.46150.01140.83201.17050.50.2520.09370.69760.71030.00161.03251.8018A V 0.72120.44430.53150.0166000.01200.65761.34810.68630.56210.461501.480100.01140.83201.17050.09370.69760.7103002.53650.00161.03251.8018V D 结束结束