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1、 电气学院 张永贤MATLAB语言及应用第3 章 MATLAB 矩阵分析与处理3.1 特殊矩阵3.1.1 通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：n zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。n ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。n eye：产生单位矩阵。n rand：产生01间均匀分布的随机矩阵n randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。调用格式：n zeros(m):产生m*m的零矩阵。n zeros(m,n)：产生m*n的零矩阵。例3.1 分别建立33、32和与矩阵A同样大小的幺矩阵。(1)建立一个33幺矩阵。ones(3)(2)建立一个32幺矩阵。ones(3,2)(
2、3)设A为23矩阵，建立一个与矩阵A同样大小的幺矩阵。A=1 2 3;4 5 6;%产生23矩阵A zeros(size(A)%产生与矩阵A同维的零矩nrand(m,n):生成m*n维01之间均匀分布的随机数矩阵。nrandn(m,):生成m*n维均值为0，方差为1正态分布的随机数矩阵。a=rand(1000,1)b=randn(1000,1)subplot(2,1,1)hist(a)subplot(2,1,2)hist(b)例3.2 建立随机矩阵：(1)在区间20,50内均匀分布的5阶随机矩阵。(2)均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。命令如下：x=20+(50-20)*ran
3、d(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)n产生m*n维a,b区间上均匀分布的随机数矩阵：y=a+(b-a)*rand(m,n)n产生m*n维，均值为，方差为2随机数矩阵：y=mu+*sigma*randn(m,n)3.1.2 用于专门学科的特殊矩阵(1)魔方矩阵 魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数:magic(n)其功能是生成一个n阶魔方阵。(2)范得蒙德矩阵 范得蒙德(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其
4、后列与倒数第二列的点乘积。x3 x2 x1 x0 函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙德矩阵。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩阵。(3)希尔伯特矩阵 每个元素hrc=1/(r+c-1)生成希尔伯特矩阵的函数是 hilb(n)例3.4 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。format rat%以有理形式输出H=hilb(4)H=1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 希尔伯特矩阵是一个条件数很差的矩阵，使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。MATLA
5、B中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数：invhilb(n)其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。(4)伴随矩阵（Companion matrix）生成伴随矩阵的函数是 compan(p)其中p是一个多项式的系数向量（降幂排列）。例如，为了求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵，可使用命令：p=1,0,-7,6;A=compan(p)p（x）是矩阵A的特征多项式，A为p（x）的伴随矩阵。A的特征值即为p（x）=0的根。(5)帕斯卡矩阵 二次项(x+y)n展开后的系数，随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个
6、n阶帕斯卡矩阵。例3.5 求(x+y)5的展开式。输入命令：pascal(6)杨辉三角形ans=1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252 矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为二次项(x+y)5展开后的系数3.2 矩阵结构变换3.2.1 对角阵与三角阵1对角阵(1)提取矩阵的对角线元素 diag(A)：用于提取矩阵A主对角线元素。diag(A,k)：提取第k条对角线的元素。(2)构造对角矩阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个mm
7、对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。例3.6 先建立55矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5。A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19;D=diag(1:5);D*A%用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数2三角阵 三角阵分为上三角阵和下三角阵。n上三角阵（upper triangular）：即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵。triu(A)n下三角阵（lower triangular）：则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。tril(A)A=7,13,-28;2
8、,-9,8;0,34,5B=triu(A)C=tril(A)A=7 13-28 2-9 8 0 34 5 B=7 13-28 0-9 8 0 0 5 C=7 0 0 2-9 0 0 34 5 3.2.2 矩阵的转置与旋转1矩阵的转置(transpose)转置运算符是单撇号()。2矩阵的旋转(rotate)利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90的k倍，当k为1时可省略。A=71,3,-8;2,-9,8;0,4,5B=AC=rot90(A)A=71 3-8 2-9 8 0 4 5 B=71 2 0 3-9 4-8 8 5 C=-8 8 5 3-9 4 71 2 0 3矩阵的左右翻转（flip
9、）对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，依次类推。左右翻转的函数是 fliplr(A)4矩阵的上下翻转 上下翻转的函数是:flipud(A)A=14,-9,8;-2,81,8;-2,4,0B=fliplr(A)C=flipud(A)A=14,-9,8;-2,81,8;-2,4,0B=fliplr(A)C=flipud(AA=14-9 8-2 81 8-2 4 0 B=8-9 14 8 81-2 0 4-2 C=-2 4 0-2 81 8 14-9 8 3.3 矩阵求逆与线性方程组求解3.3.1 矩阵的逆与伪逆 对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，
10、使得：AB=BA=I(I为单位矩阵)则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数:inv(A)在线性方程组Ax=b两边各左乘A-1，有A-1Ax=A-1b由于A-1A=I，故得x=A-1b例3.8 用求逆矩阵的方法解线性方程组。命令如下：A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;b=5,-2,6;x=inv(A)*b也可以运用左除运算符“”求解线性代数方程组。3.3.2 用矩阵求逆方法求解线性方程组3.4 矩阵求值3.4.1 方阵的行列式 求方阵A所对应的行列式的值的函数是:de
11、t(A)A=rand(5)d=det(A)3.4.2 矩阵的秩与迹1矩阵的秩矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，求矩阵秩的函数是 rank(A)2矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是 trace(A)3.5 矩阵的特征值与特征向量 计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A)，常用的调用格式有2种：(1)E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。(2)V,D=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。例3.9 用求特征值的方法解方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0 p=3,-7,0,5,2,-18;A=compan(p);%A的伴随矩阵x1=eig(A)%求A的特征值x2=roots(p)%直接求多项式p的零点