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1、佛山三中 2013 届高三级下学期第一次段考文科数学科试题（ 2013.02.16 ）考试时间 :120 分钟总分 150 分一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数1i（i 为虚数单位）的模等于（）A2B1C22D122已知集合4 , 3, 2, 1 ,0A，集合,2|AnnxxB，则BA（）A0B4, 0C4,2D4,2,03已知函数2030 xx xfxxlog, 则14ff的值是（）A9B19C9D194已知等差数列na的前 n 项和为nS，若34512aaa，则7S的值为（）A56B42C28D145已知
2、 e 为自然对数的底数，函数yxex的单调递增区间是（）A . 1,B1,C1,D1,6设nm,是两条不同的直线，,是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A/,/,/nmnm则若B/,则若Cnmnm/,/,/则若Dnmnm则若,/,7已知函数212fxxxcoscos，xR，则fx是（）A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为2的偶函数D最小正周期为的偶函数8如图 1，程序结束输出s的值是（）A30B55C91D1409在区间1 5,和2 4,分别取一个数 ,记为a b, 则方程22221xyab表示焦点在x轴上且离心率小于32的椭圆的概率为（）A12B1532C1732D
3、313210在R 上定义运算).1(:yxyx若对任意2x，不等式2xaxa都成立，则实数a的取值范围是（）A.1 7,B. 3,C. 7,D.17,U二 填空题：本大题共4 小题，每题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上。11已知fx是奇函数 , 4g xfx, 12g, 则1f的值是. 12已知向量a，b都是单位向量，且ga b12，则2ab的值为. 13设xxfcos)(1，定义)(1xfn为)(xfn的导数， 即)()(1xfxfnn，nN*，若ABC的内角A满足1220130fAfAfA()()()L，则sin A的值是. 14. （几何证明选讲选做题）如图 2， O 的直径
4、AB6cm，P 是 AB 延长线上的一点，过P 点作 O 的切线，切点为C，连接 AC ，若 CPA30 ，PC_ _ 15 （坐标系与参数方程选讲选做题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 侧视正视DCBAP图5图42222图3625x0611y11988967乙甲已知圆C的参数方程为2xycos,sin,(为参数 ), 以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为1sincos, 则直线l
5、截圆C所得的弦长是. 三 解答题：本题共 6 小题，满分 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或过程。16 （本小题满分12 分）如图所示，角A为钝角，且4cos5A，点P、Q分别在角A的两边上 . （1）已知 AP=5，AQ =2 ，求 PQ 的长；（2） 设)2sin(,1312cos,求且AQPAPQ的值 . 17 （本小题满分12 分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分为100 分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. （1）求x和y的值；（2）计算甲班7 位学生成绩的方差2s；（3）从成绩在90 分以
6、上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式 ：方差2222121nsxxxxxxn，其中12nxxxxnL. 18(本小题满分14 分) 已知四棱锥PABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图 5 分别是四棱锥PABCD的侧视图和俯视图. （1）求证：ADPC；（2）求四棱锥PABCD的侧面PAB的面积 . 19. （本小题满分14 分）我国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1, 以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0), 因此，历年所交纳的储备金数目a1,a2, 是一个公差为d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的
7、计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这即是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n -1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n -2, ，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. （1）写出Tn与Tn-1（n2）的递推关系式；（2）求证： TnAnBn，其中 An是一个等比数列， Bn是一个等差数列. 20. （本小题满分14 分）已知fx是二次函数，不等式0fx的解集是0 5,，且fx在点11f,处的切线与直线610 xy平行 . （1）求fx的解析式；（2）是否存在tN*，使得方程370fxx在区间1t t,内有两个不等的实数
8、根？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由. 21. （本小题满分14 分）已知椭圆22122:10 xyCabab的右焦点与抛物线22:4Cyx的焦点F重合 , 椭圆1C与抛物线2C在第一象限的交点为P,53PF. (1) 求椭圆1C的方程；（2）若过点1,0A的直线与椭圆1C相交于M、N两点，求使FMFNFRuuu u ruuu ruu u r成立的动点R的轨迹方程；（3）若点R满足条件（ 2），点T是圆2211xy上的动点，求RT的最大值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
9、 - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 图5图42222侧视正视DCBAP图3625x0611y11988967乙甲佛山三中 2013 届高三级第五次段考文科数学科试题答卷班级姓名学号分数一、选择题：每题5分，共 50分。题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：每题5分，共 20分。11.12.13.14/15三、解答题：本题共6 小题，满分 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或过程。16. （12 分）17. （12 分）18. （14 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
10、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 19. （14 分）20. （14 分）21. （ 14 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - FEDCBAP佛山三中 2013 届高三级第五次段考文科数学科试题答案一、选择题： ADBCA DCCBC 二、填空题：11212. 313. 114. 3 315. 2三、解答题：本题共6 小题，满分
11、 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或过程。17（本小题满分12 分）(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：甲班学生的平均分是85，92968080857978857x. 5x. 2 分乙班学生成绩的中位数是83，3y. 3 分（2）解：甲班 7 位学生成绩的方差为2s2222222167500711740. 5 分（3）解：甲班成绩在90 分以上的学生有两名，分别记为,A B， 6 分乙班成绩在90 分以上的学生有三名，分别记为,C D E. 7 分从 这 五 名 学 生 任 意 抽
12、取 两 名 学 生 共 有10种 情 况 ：,A BA CA D,A EB CB DB EC DC ED E. 9 分其 中 甲 班 至 少 有 一 名 学 生 共 有7种 情 况 ：,A BA CA D,A EB CB DB E. 11 分记“从成绩在90 分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M，则710P M. 答：从成绩在90 分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710.12 分18 （本小题满分 14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算
13、求解能力）（1）证明 ：依题意，可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E，连接PE，则PE平面ABCD. 2 分AD平面ABCD，ADPE. 3 分ADCD，CDPEE CD,I平面PCD，PE平面PCD，AD平面PCD. 5 分PC平面PCD，ADPC. 6 分（2）解：依题意，在等腰三角形PCD中，3PCPD，2DEEC，在 Rt PED中，225PEPDDE， 7 分过E作EFAB，垂足为F，连接PF，PE平面ABCD，AB平面ABCD，ABPE. 8 分EF平面PEF，PE平面PEF，EFPEEI，AB平面PEF. 9 分PF平面PEF，ABPF. 10 分依题意得2EFAD
14、. 11 分在 Rt PEF中，223PFPEEF， 12 分PAB的面积为162SAB PFgg. 四棱锥PABCD的侧面PAB的面积为6. 14 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 19 解： （）1(1)(2)nnnTTran（）11Ta，对2n反复使用上述关系式，得2121(1)(1)(1)nnnnnnTTraTraraL12121(1)(1)(1)nnnnarararaL，在式两端同乘1 r，得12121
15、(1)(1)(1)(1)(1)nnnnnr TararararL，得121(1)(1)(1)(1)nnnnnrTardrrraL1(1)1(1)nnndrrarar即1122(1)nna rda rddTrnrrr如果记12(1)nna rdArr，12na rddBnrr，则nnnTAB其中nA是以12(1)a rdrr为首项，以1(0)r r为公比的等比数列；nB是以12a rddrr为首项，dr为公差的等差数列20. （本小题满分14 分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意
16、识) （1）解法 1：fx是二次函数，不等式0fx的解集是0 5,，可设5fxax x，0a. 1 分25fxaxa/(). 2 分函数fx在点11f,处的切线与直线610 xy平行，16f/. 256aa，解得2a. 4 分225210fxx xxx. 5 分解法 2：设2fxaxbxc，不等式0fx的解集是0 5,， 方程20axbxc的两根为0 5,.0 2550cab,. 2 分2fxaxb/(). 又函数fx在点11f,处的切线与直线610 xy平行，16f/. 26ab. 3 分由 , 解得2a,10b. 4 分2210fxxx. 5 分（2）解：由（ 1）知，方程370fxx等价
17、于方程32210370 xx. 设h x3221037xx，则26202310hxxxxx/. 7 分当1003x,时，0hx/，函数h x在1003,上单调递减； 8 分当103x,时，0hx/，函数h x在103,上单调递增 . 9 分1013100450327hhh,， 12 分方程0h x在区间1033,，1043,内分别有唯一实数根，在区间0 3,4,内没有实数根 . 13 分存在唯一的自然数3t，使得方程370fxx在区间1t t,内有且只有两个不等的实数根. 14 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
18、名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 21. （本小题满分14 分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解法 1：抛物线22:4Cyx的焦点F的坐标为1,0，准线为1x，设点P的坐标为00,xy，依据抛物线的定义，由53PF，得01x53， 解得023x. 1 分 点P在抛物线2C上，且在第一象限，2002443yx，解得02 63y. 点P的坐标为2 2 6,33. 2 分点P在椭圆22122:1xy
19、Cab上，2248193ab. 3 分又1c，且22221abcb， 4 分解得224,3ab. 椭圆1C的方程为22143xy. 5 分解法 2: 抛物线22:4Cyx的焦点F的坐标为1,0，设点P的坐标为00 xy,0000 xy,. 53PF, 22002519xy. 1 分点P在抛物线22:4Cyx上, 2004yx. 解得023x,02 63y. 点P的坐标为2 2 6,33. 2 分点P在椭圆22122:1xyCab上，2248193ab. 3 分又1c，且22221abcb， 4 分解得224,3ab. 椭圆1C的方程为22143xy. 5 分(2) 解法 1：设点M11,x y
20、、22,N xy、,R x y，则11221,1,1,FMxyFNxyFRxyuu uu ruuu ruuu r. 12122,FMFNxxyyuuuu ruuu r. FMFNFRu uu u ruuu ruu u r, 121221,xxxyyy. 6 分M、N在椭圆1C上，222211221,1.4343xyxy上面两式相减得12121212043xxxxyyyy. 把式代入式得12121043xxxy yy. 当12xx时，得1212314xyyxxy. 7 分设FR的中点为Q，则Q的坐标为1,22xy. M、N、Q、A四点共线，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
21、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - MNAQkk, 即121221312yyyyxxxx. 8 分把式代入式，得3134xyxy，化简得2243430yxx. 9 分当12xx时，可得点R的坐标为3,0，经检验，点3,0R在曲线2243430yxx上. 动点R的轨迹方程为2243430yxx. 10 分解法 2：当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为1ykx，由221143ykxxy,消去y，得22223484120kxk xk. 设点M11,x y、22,N xy、
22、,R x y，则2122834kxxk, 1212122611234kyykxkxkxxk. 6 分11221,1,1,FMxyFNxyFRxyuuu u ruu u ruu u r. 12122,FMFNxxyyuuu u ruu u r. FMFNFRuuu u ru uu ruu u r, 121221,xxxyyy. 21228134kxxxk, 2634kyk. 7 分得314xky， 8 分把代入化简得2243430yxx. (*) 9 分当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为1x, 依题意 , 可得点R的坐标为3,0，经检验，点3,0R在曲线2243430yxx上. 动点R的轨迹方程为2243430yxx. 10 分(3) 解: 由(2) 知点R x y,的坐标满足2243430yxx, 即224343yxx, 由20y, 得23430 xx, 解得31x. 11 分圆2211xy的圆心为1 0F,半径1r, 221RFxy2231434xxx21101052x. 12 分当3x时,4RFmax, 13 分此时 ,415RTmax. 14 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -