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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流函数中任意性和存在性问题探究2011-12-22 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究一、相关结论：结论 1：1212minmax , , ,()()( )( )xa bxc df xg xf xg x； 【如图一】结论 2：1212maxmin , , , ,()()( )( )xa bxc df xg xf xg x； 【如图二】结论 3：1212minmin , , ,()()( ) ( )xa bxc df xg xf xg x； 【如图三】结论 4：1212maxm
2、ax , , ,()()( )( )xa bxc df xg xf xg x； 【如图四】结论 5：1212 , , , ,()()( )xa bxc df xg xf x的值域和( )g x的值域交集不为空；【如图五】【例题 1】 ：已知两个函数232( )816,( )254 , 3,3,f xxxk g xxxx xkR; (1)若对 3,3x,都有( )( )f xg x成立，求实数k的取值范围；(2)若 3,3x,使得( )( )f xg x成立，求实数k的取值范围；(3)若对12, 3,3x x,都有12()()f xg x成立，求实数k的取值范围；解：（1） 设32( )( )(
3、 )2312h xg xf xxxxk, （1） 中的问题可转化为： 3,3x时，( )0h x恒成立，即min ( )0h x。2( )66126(2)(1)h xxxxx；当x变化时，( ),( )h x h x的变化情况列表如下：x-3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h(x) + 0 0 + h(x) k-45 增函数极大值减函数极小值增函数k-9 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -
4、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流因为( 1)7, (2)20hkhk,所以，由上表可知min ( )45h xk，故 k-450，得 k45,即 k45,+ ). 小结：对于闭区间I， 不等式 f(x)k 对 xI 时恒成立f(x)maxk对 xI 时恒成立f(x)mink, x I. 此题常见的错误解法：由f(x)maxg(x)min解出k 的取值范围 .这种解法的错误在于条件“ f(x)maxg(x)min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价. （2）根据题意可知， （2）中的问题等价于h(x)= g(x)f(x) 0 在 x-3,3 时有解 ,故h
5、(x)max0. 由（ 1）可知 h(x)max= k+7 ，因此 k+70，即 k7,+). 小结：对于闭区间I，不等式 f(x)k 对 xI 时有解f(x)mink对 xI 时有解f(x)maxk, x I. 此题常见的错误解法：由f(x)ming(x)min解出 k 的取值范围 .这种解法的错误在于条件“ f(x)ming(x)min”既不是是原题的充分要条件，也不是必要条件. (3)根据题意可知， （ 3）中的问题等价于f(x)maxg(x)min，x-3,3. 由二次函数的图像和性质可得, x-3,3时, f(x)max=120k. 仿照（ 1） ，利用导数的方法可求得x-3,3时,
6、 g(x)min=21. 由 120k 21 得 k141,即 k141,+ ). 说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量. 从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜. 【例题 2】 ： (2010 年山东理科22) 已知函数1( )ln1()af xxaxaRx; (1) 当12a时，讨论( )fx的单调性；（ 2 ） 设2( )24g xxbx， 当14a时 ， 若 对1(0,2)x，21,2x, 使12()(
7、)f xg x，求实数b的取值范围；解： （1） （解答过程略去，只给出结论）当 a0 时，函数 f(x) 在（0,1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当 a=21时，函数 f(x) 在（ 0，+）上单调递减；当 0a21时，函数( )fx在 （0,1） 上单调递减， 在1(1,1)a上单调递增， 在（1(1,)a上单调递减；（2）函数的定义域为（0，+） ，f（x）=x1a+21xa=221xaxax，a=41时，由f（x）=0 可得 x1=1,x2=3. 因为 a=41（ 0,21） ，x2=3（0,2）,结合（ 1）可知函数f(x) 在（ 0,1）上单调递减，在名师资料总结 - -
8、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（1,2）上单调递增，所以f(x) 在（ 0,2）上的最小值为f(1)= 21. 由于“对x1（ 0,2） ，x21,2,使 f(x1) g(x2)”等价于“ g(x)在1,2上的最小值不大于 f(x) 在（ 0,2）上的最小值f(1)= 21” . （）又 g(x)=(x b)2+4b2, x1,2, 所以当 b0,此时与（）矛盾；当 b1,2
9、时, 因为 g(x)min=4b20，同样与（）矛盾；当 b（ 2，+）时，因为 g(x)min=g(2)=8 4b. 解不等式84b21，可得 b817. 综上， b 的取值范围是 817,+). 二、相关类型题：一 、( )afx型；形如( ),( )af xaf x型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“( )af x在xD上恒成立，则max( )();afxxD( )af x在 xD 上恒成立，则min( )();af xxD”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型. 例 1 ：已知二次函数2( )f xaxx，若0,1x时，恒有|( ) | 1f x，求实数 a
10、的取值范围 . 解：Q |( )| 1f x，211axx；即211xaxx；当0 x时，不等式显然成立，aR. 当01x时，由211xaxx得：221111axxxx，而min211()0 xx.0a.又max211()2xx，2,20aa，综上得 a 的范围是 2,0a。二、12()( )()f xf xf x型例 2 已知函数( )2sin()25xf x，若对xR，都有12()( )()f xf xf x成立，则12|xx的最小值为 _. 解 对任意 xR，不等式12()( )()f xf xf x恒成立，12(),()f xf x分别是( )f x的最小值和最大值. 名师资料总结 -
11、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流对于函数sinyx，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 ，即半个周期 . 又函数( )2sin()25xf x的周期为 4，12|xx的最小值为2. 三、.1212()()()22xxf xf xf型例3 ：(2005 湖 北 ) 在222 ,log 2 ,cosyx yx yxyx这 四 个 函 数 中 ， 当1201xx时，使121
12、2()()()22xxf xf xf恒成立的函数的个数是() A.0B.1C.2D.3 解：本题实质就是考察函数的凸凹性 ，即满足条件1212()()()22xxf xf xf的函数，应是凸函数的性质，画草图即知2log 2yx符合题意；四、.1212()()0f xf xxx型例 4 已知函数( )f x定义域为1,1，(1)1f，若, 1,1m n，0mn时，都有()( )0f mf nmn，若2( )21f xtat对所有 1,1x， 1,1a恒成立， 求实数t取值范围 . 解 ： 任 取1211xx， 则12121212()()()()()f xf xf xf xxxxx， 由 已 知
13、1212()()0f xf xxx，又120 xx，12()()0f xf xf，即( )f x在 1,1上为增函数 . (1)1f， 1,1x，恒有( )1f x；要使2( )21fxtat对所有 1,1x， 1,1a恒成立，即要2211tat恒成立，故220tat恒成立，令2( )2g aatt，只须( 1)0g且(1)0g，解得2t或0t或2t。评注：形如不等式1212()()0f xf xxx或1212()()0f xf xxx恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息. 五 、 .( )( )f xg x型：名师资料总结 - - -精品
14、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 5： 已知1( )lg(1)2f xx，( )lg(2)g xxt，若当0,1x时，( )( )f xg x)恒成立，求实数t 的取值范围 . 解 ：( )( )f xg x在0,1x恒 成 立 ， 即120 xxt在0,1x恒 成 立12xxt在0,1上的最大值小于或等于零. 令( )12F xxxt，1 41( )21xF xx，0,1x( )
15、0Fx，即( )F x在0,1 上单调递减， F(0)是最大值 . ( )(0)10f xFt，即1t。六、12()()f xg x型例 6：已知函数32149( )3,( )332xcf xxxxg x，若对任意12, 2,2x x，都有12()()f xg x，求c的范围 . 解： 因为对任意的12, 2,2x x，都有12()()f xg x成立，maxmin( )( )f xg x，2( )23fxxx，令( )0fx得3,1xxx3 或x-1；( )0fx得13x；( )f x在2, 1为增函数，在1,2为减函数 . ( 1)3,(2)6ff，max( )3,f x.1832c，24
16、c。七 、12|()()|f xf xt（t为常数）型；例 7 ：已知函数43( )2fxxx，则对任意121,22t t（12tt）都有12|()()|_fxfx恒成立，当且仅当1t=_，2t=_时取等号 . 解：因为12maxmin|()() | |( )( )|f xf xf xf x恒成立，由431( )2,22f xxx x，易求得max327( )( )216f xf，min15( )()216f xf，12|()() | 2f xf x。例 8 ：已知函数( )yf x满足： (1)定义域为 1,1；(2)方程( )0f x至少有两个实根1和1；(3)过( )f x图像上任意两点
17、的直线的斜率绝对值不大于1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流(1)证明|(0) | 1f|；(2)证明：对任意12, 1,1x x，都有12|()()| 1fxfx. 证明(1)略；(2)由条件 (2)知( 1)(1)0ff，不妨设1211xx，由 (3)知121221|()() | |f xf xxxxx，又121212|()() | |()|()|
18、|()( 1)|()(1)|f xf xfxf xf xffxf1221121 12()2 |()()|xxxxf xf x；12|()() | 1f xf x八 、1212|()() | |f xf xxx型例9 ：已 知 函 数3( )f xxaxb， 对 于12123,(0,)()3xxxx时 总 有1212|()() | |f xf xxx成立，求实数a的范围 . 解 由3( )f xxaxb，得2( )3fxxa，当3(0,)3x时，( )1afxa，1212|()() | |f xf xxx，1212()()| 1f xf xxx，11011aaa评注 由导数的几何意义知道，函数( )yf x图像上任意两点1122(,),(,)P x yQ xy连线的斜率211221()yykxxxx的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个 结论，可 以解决形 如1212|()() |f xf xm xx| 或1212|()() |f xf xm xx(m0)型的不等式恒成立问题. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -