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1、1 中档题型训练 ( 五) 圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系圆的切线性质与判定【例 1】( 2016 天水中考 ) 如图，点 D为O 上一点，点C在直径 BA的延长线上，且 CDA CBD.(1) 判断直线CD和O 的位置关系，并说明理由；(2) 过点 B作O 的切线 BE交直线 CD于点 E，若 AC 2， O的半径是 3，求 BE的长【思路分析】(1) 连接OD ，根据圆周角定理求出
2、 DAB DBA 90，从而得出 CDA ADO 90，再根据切线的判定推出即可；(2) 首先利用勾股定理求出DC ，由切线长定理得出DE EB ，在RtCBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可【学生解答】解：(1) 直线 CD 和O的位置关系是相切理由是：连接OD.AB 是O的直径， ADB 90， DAB DBA 90. CDA CBD ， DAB CDA 90. OD OA ， DAB ADO ， CDA ADO 90，即 OD CE ，直线CD是O 的切线，即直线CD和O 的位置关系是相切；(2) A C2， O的半径是3，OC 235，OD 3. 在RtCDO 中，由勾股定理得
3、CD 4. CE 切O 于点D，EB切O 于点 B， DE EB，CBE 90，设 DE EB x，在RtCBE中，由勾股定理，得CE2BE2BC2，则(4 x)2x2(5 3)2，解得 x6，即 BE 6. 1( 2016 毕节中考 ) 如图，以 ABC 的 BC边上一点 O为圆心的圆，经过A ，B两点，且与BC边交于点 E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交 BC于点 F，AC FC. (1) 求证： AC是O 的切线；(2) 已知圆的半径R5，EF3，求 DF的长解： (1) 如图，连接AE ，AO.BE为半圆， BAE 90. BDED， BAD EAD 45， AFC B45， C
4、AF EAC 45. ACFC， AFCCAF ， B45EAC 45， BEAC. OA OB ， OAB B， EAC OAB ， OAC OAE EAC OAE OAB BAE 90， ACOA ，AC为O 为切线；(2 ) 如图，连接OD. BDDE， BOD DOE 90. 在RtOFD中，OF5 3 2，OD 5， DFOF2OD229. 2( 2016 承德二中一模 ) 已知如图，以RtABC的 AC边为直径作O交斜边 AB于点 E，连接 EO并延长交BC的延长线于点D，点 F 为 BC的中点，连接EF. (1) 求证： EF是O 的切线；(2) 若O 的半径为 3，EAC 60
5、，求 AD的长解： (1) 连接 FO ，易证 OF AB.AC 是O 的直径， CE AE ， OF AB ，OFCE.又OE OC ， OF是线段 CE 的垂直平分CE ， FC FE， FEC FCE.OE OC ， OEC OCE. RtABC中， ACB 90，即OCE FCE 90， OEC FEC 90，即 FEO 90， EF为O 的切线；(2) O 的半径为 3， AO CO EO 3. EAC 60， OA OE ， EOA 60， COD EOA 60.在RtOCD中， COD 60， OC 3， CD 33. 在RtACD中， ACD 90，CD 33，AC 6，AD
6、37. 圆与相似名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 【例 2】如图，已知AB是O 的弦， OB 2， B30， C 是弦 AB上的任意一点 (不与点 A，B 重合 ) ，连接CO并延长 CO交O 于点 D，连接 AD. (1) 弦长 AB_；( 结果保留根号 ) (2) 当D 20时，求 BOD的度数；(3) 当 AC 的长度为多少时，以A，C，D 为顶点的三角形与以B，C， O 为顶点的三角形相似？请写出解答过
7、程【思路分析】(1) 结合垂径定理过点O作 BC的垂线，再由特殊直角三角形得12AB32OB 3，则 AB 23；(2) 结合“三角形的外角定理”和“同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答；(3) 首先分析要使DAC 与BOC 相似，只能 DCA BCO 90，此时，BOC 60， BOD 120， DAC 60，DAC BOC. BCO 90，即 OC AB ， AC12AB 3. 【学生解答】解：(1)23；(2) 连接OA.OA OB OD ， BAO B 30， DDAO 20， DABBAO DAO 50， BOD 2DAB 100；(3) BCO DAC D，BCO
8、DAC ， BCO D，要使DAC 与BOC 相似，只能 DCA BCO 90，此时 BOC 60， BOD 120， DAC 60，DAC BOC. BCO 90，即 OC AB ， AC12AB 3. 3( 2016 黄冈中考 ) 已知：如图，在 ABC 中，AB AC ，以 AC为直径的O交 AB于点 M ，交 BC于点 N，连接AN ，过点 C的切线交AB的延长线于点P.求证：(1) BCP BAN ； (2)AMMNCBBP. 证明： (1) AC 为O的直径，ANC 90， NAC ACN 90， AB AC， BAN CAN ， PC是O的切线，ACP 90， ACN PCB 9
9、0， BCP CAN ， BCP BAN ； (2) 连接MN ， ABAC ， ABC ACB ，又四边形AMNC为O的内接四边形，ACB AMN 180，又 CBP ABC 180， PBC AMN ，由 (1) 知BCP BAN ，BPC MNA ，AMMNCBBP. 4( 2016 广东中考 ) 如图， O 是ABC 的外接圆， BC 是O的直径， ABC 30，过点B 作O的切线BD ，与 CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点 A作O 的切线 AF，与直径BC的延长线交于点F. (1) 求证： ACF DAE; (2) 若 S AOC34，求 DE的长；(3) 连接
10、 EF，求证： EF是O 的切线解：(1) BC 为O 的直径， BAC 90，又 ABC 30， ACB 60，又OA OC ， OAC为等边三角 形，即 OAC AOC 60， AF 为O的切线，OAF 90， CAF AFC 30， DE 为O的切线，DBC OBE 90，DDEA 30，DCAF ，DEA AFC ，ACF DAE ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 (2) AOC 为等边三角形，S A
11、OC34OA234， OA 1， BC2， OB 1，又DBEO 30， BD23，BE 3，DE 33；(3) 如图，过点O 作 OM EF 于点M ， OA OB ， OAFOBE 90， BOE AOF ， OAF OBE ， OE OF ， EOF 120， OEM OFM 30， OEB OEM 30，即OE平分 BEF ，又 OBE OME 90， OM OB ， EF为O 的切线圆与锐角三角函数【例 3】( 2016 菏泽中考 ) 如图， AB是O 的直径，点C在O 上，连接 BC ，AC ，作 OD BC与过点 A的切线交于点 D，连接 DC并延长交 AB的延长线于点E. (1
12、) 求证： DE是O 的切线；(2) 若CEDE23，求cosABC的值【思路分析】 (1) 连接 OC.欲证 DE是O 的切线，只需证得OC DE ； (2) 由CEDE23，可设 CE 2k(k0) ，则 DE3k，在Rt DAE中，由勾股定理求得AE DE2AD222k，则tanEADAE24，所以在RtOCE中，tanEOCCEOC2k，求得 OC k2. 在RtAOD 中，由勾股定理得到OD AO2AD232k，从而求出cosABC的值【学生解答】解：(1) 如图，连接OC. AD 是过点 A 的切线， AB是O 的直径， ADAB. DAB 90. OD BC, DOC BCO ，
13、 DOA CBA. OC OB ， BCO CBA ， DOC DOA. 在COD和AOD中，OC OA ，DOC DOA ，OD OD ，COD AOD(SAS) ， OCD DAB 90. 即 OC DE 于点 C.OC是O 的半径， DE是O 的切线；(2) 由CEDE23，可设CE 2k(k0) ，则DE 3k， AD DC k，在RtDAE 中， AE DE2AD222k，tanEADAE24. 在RtOCE中，tanEOCCEOC2k，24OC2k， OC OA 22k，在RtAOD中，OD AO2AD262k，cosABC cosAOD OAOD33. 5( 2016 唐山九中一
14、模 ) 如图，四边形ABCD内接于 O ，对角线AC为O 的直径，过点C 作 AC的垂线交AD的延长线于点E，点 F 为 CE的中点，连接DB ，DC ，DF. (1) 求CDE的度数；(2) 求证： DF是O 的切线；(3) 若 AC 25DE ，求tanABD的值解：(1) AC 为O的直径，ADC 90， EDC 90； (2) 连接 DO ， EDC 90， F 是 EC 的中点， DF FC， FDC FCD ， OD OC ， OCD ODC ，ODC FDC OCD FCD ， ODF OCF ， ECAC ， OCF 90， ODF90， DF 是O的切线； (3) 在ACD
15、与ACE 中， ADC ACE 90， EAC CAD ，ACD AEC ，ACAEADAC， AC2AD AE.又AC 25DE， 20DE2(AEDE)AE ， (AE5DE)(AE4DE)0，AE 5DE ，AD 4DE ，在RtACD中， AC2AD2CD2， CD 2DE.又在O名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 4 中， ABD ACD ，tanABD tanACD ADCD2. 6( 2016 自贡模拟
16、 ) 如图， AB是O 的直径，弦CD AB于点 G，点 F 是 CD上一点，且满足CFFD13，连接 AF并延长O 于点 E，连接 AD ，DE ，若 CF2，AF3. (1) 求证： ADF AED ；(2) 求 FG的长；(3) 求证：tanE 54. 解：(1) AB 是O 的直径，弦CD AB ， ADAC， ADF AED. FAD DAE ，ADF AED ；(2) CFFD13， CF2， FD6， CD DFCF 8， CG DG 4， FG CG CF 2；(3) AF 3， FG 2，AG AF2FG25，在RtAGD中，tanADG AGDG54. ADG E，tanE54. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -