《2022年《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解 2.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解 2.pdf(6页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一元二次方程全章复习与巩固知识讲解(提高)【学习目标】1. 了解一元二次方程及有关概念;2. 掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程;3. 掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念:通过化简后,只含有一个未知数( 一元 ) ,并且未知数的最高次数是2( 二次 ) 的整式方程,叫做一元二次方程2.一元二次方程的一般式:3. 一元二次方程的解:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根. 要点诠释:判断一个方程是否为一元二次方程时,首先观察其是否是整式方程,否则
2、一定不是一元二次方程;其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0,看是否具备另两个条件:一个未知数;未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0要点二、一元二次方程的解法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 1基本思想一元二次方程降次一元一次方程2基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法要点诠释:解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能
3、否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02acbxax中,acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式,通常用“”来表示,即acb42.(1)当 0 时,一元二次方程有2 个不相等的实数根;(2)当 =0 时,一元二次方程有2 个相等的实数根;(3)当 0 时,一元二次方程没有实数根. 【高清 ID 号: 388528 关联的位置名称(播放点名称):根系关系】2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx ,那么abxx21,acxx21
4、. 注意它的使用条件为a0, 0. 要点诠释:1. 一元二次方程的根的判别式正反都成立利用其可以解决以下问题:(1) 不解方程判定方程根的情况;(2) 根据参系数的性质确定根的范围;(3) 解与根有关的证明题 2. 一元二次方程根与系数的应用很多:(1) 已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;(2) 已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3) 已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程要点四、列一元二次方程解应用题1. 列方程解实际问题的三个重要环节:一是整体地、系统地审题;二是把握问题中的等量关系;三是正确求解方程并检验解的合理性. 2. 利用方程解决
5、实际问题的关键是寻找等量关系.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 3. 解决应用题的一般步骤:审 ( 审题目,分清已知量、未知量、等量关系等) ;设 ( 设未知数,有时会用未知数表示相关的量) ;列 ( 根据题目中的等量关系,列出方程) ;解 ( 解方程,注意分式方程需检验,将所求量表示清晰) ;验 ( 检验方程的解能否保证实际问题有意义);答 ( 写出答案,切忌答非所问). 4. 常见应用题型数字问题、平均变化率问
6、题、利息问题、利润( 销售 ) 问题、形积问题等. 要点诠释:列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题(列方程),然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1已知( m 1)x|m|+1+3x20 是关于 x 的一元二次方程,求m的值 . 【答案与解析】依题意得 |m|+1 2,即 |m| 1,解得 m 1,又 m 10,m 1,故 m 1. 【总结升华】 依题意可知m 10 与|m|+1 2 必须同时成立, 因此求出满足上述两个条件的m的值即可 . 特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三:【变式 】若方程2(2)310mmxm
7、x是关于x的一元二次方程,求m的值【答案】根据题意得22,20,mm解得所以当方程2(2)310mmxmx是关于x的一元二次方程时,2m类型二、一元二次方程的解法2解下列一元二次方程 (1)224(3)25(2)0 xx; (2)225(3)9xx; (3)2(21)4(21)40 xx【答案与解析】 (1)原方程可化为:222(3)5(2)0 xx,即(2x-6)2-(5x-10)20,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - -
8、- - (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)0,即(7x-16)(-3x+4)0, 7x-160 或-3x+4 0,1167x,243x (2)25(3)(3)(3)xxx,25(3)(3)(3)0 xxx, (x-3)5(x-3)-(x+3)0,即(x-3)(4x-18)0, x-30 或 4x-18 0,13x,292x(3)2(21)4(21)40 xx,2(212)0 x即2(23)0 x,1232xx【总结升华】 (1) 方程左边可变形为222(3)5(2)xx,因此可用平方差公式分解因式;(2) 中方程右边分解后为(x-3)(x+3),与左边中的 (x-3)2有公共的因
9、式,可移项后提取公因式(x-3) 后解题;(3) 的左边具有完全平方公式的特点,可用公式变为(2x+1+2)20 再求解举一反三:【变式 】解方程: (1)3x+15-2x2-10 x ; (2)x2-3x (2-x)(x-3)【答案】(1) 移项,得3x+15+(2x2+10 x) 0, 3(x+5)+2x(x+5)0,即(x+5)(3+2x)0, x+5 0 或 3+2x0,15x,232x (2)原方程可化为x(x-3) (2-x)(x-3),移项, x(x-3)-(2-x)(x-3)0, (x-3)(2x-2)0, x-30 或 2x-2 0,13x,21x类型三、一元二次方程根的判别
10、式的应用3关于 x 的方程2(5)410axx有实数根则a 满足()Aa1 Ba1 且 a5 Ca1 且 a5 Da5 【答案】 A;【解析】 当50a,即5a时,有410 x,14x,有实数根;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - 当50a时,由 0 得2( 4)4(5)( 1)0a,解得1a且5a综上所述,使关于x 的方程2(5)410axx有实数根的a 的取值范围是1a答案: A 【总结升华】 注意“关于 x 的
11、方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别,前者既可以是一元一次方程,也可以是一元二次方程,所以必须分类讨论,而后者隐含着二次项系数不能为0【高清 ID 号: 388528 关联的位置名称(播放点名称):一元二次方程的根的判别式】4k为何值时,关于x 的二次方程2690kxx(1)k满足时, 方程有两个不等的实数根;(2)k满足时, 方程有两个相等的实数根;(3)k满足时, 方程无实数根 . 【答案】(1)10kk,且; ( 2)1k; (3)1k. 【解析】 求判别式,注意二次项系数的取值范围. 【总结升华】 根据判别式acb42及 k0 求解 .类型四、一元二次方程的根与系数的关系5已知关于
12、x 的方程222(2)0 xmxm,试探求:是否存在实数m使方程的两个实数根的平方和等于56,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由【答案与解析】存在设方程两根为x1、x2,根据题意,得122(2)xxm,212xxm,221256xx,而222121212()2xxxxx x,于是有222(2)256mm,整理得28200mm,解这个方程得110m,22m,当10m时,2224 2(2)41440bacmm,当2m时,2224 2(2)4480bacmm,所以符合条件的m的值为 -2 【总结升华】 由两个实数根的平方和等于56,列出关系式,再由根与系数关系求出m的值,通过判别式去验证 m值
13、是否符合题意,从而得出结论. 举一反三:【变式 】已知关于x 的方程2(1)(23)10kxkxk有两个不相等的实数根1x、2x (1)求 k 的取值范围;(2) 是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k 的值;如果不存在,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - 请说明理由【答案】 (1) 根据题意,得(2k-3)2-4(k-1)(k+1)224129412130kkkk,所以1312k由 k-1 0
14、,得 k1. 当1312k且 k1 时,方程有两个不相等的实数根; (2) 不存在如果方程的两个实数根互为相反数,则122301kxxk,解得32k当32k时,判别式-5 0,方程没有实数根所以不存在实数k,使方程的两个实数根互为相反数类型五、一元二次方程的应用6甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行,甲先行1 小时后,乙才出发,又经过4 小时两人在途中的 C地相遇,相遇后两人按原来的方向继续前进. 乙在由 C地到达 A地的途中因故停了20 分钟,结果乙由 C地到达 A地时比甲由C地到达 B地还提前了40 分钟,已知乙比甲每小时多行驶4 千米,求甲、乙两人骑车的速度.【答案与解析】设甲的速度为
15、x 千米/ 时,则乙的速度为(x+4)千米 / 时. 根据题意,得54(4)2040460 xxxx解之 , 得 x1=16,x2=2. 经检验: x1=16,x2=2 都是原方程的根,但x2=2 不合题意,舍去. 当 x=16 时, x+4=20. 答:甲每小时行驶16 千米,乙每小时行驶20 千米 .【总结升华】 注意解题的格式,解分式方程应用题要双检验,即验根、符合题意.举一反三:【变式 】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2,因为准备工作不足,第一天少拆迁了20。从第二天开始,该工程队加快了拆迁速度,第三天拆迁了1440m2. 求: (1) 该工程队第一天拆迁的面积;(2) 若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同,求这个百分数. 【答案】(1)1000m2; (2)20% .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -