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1、3.3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用3.3.1 单调性单调性过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。 一、情境设置一、情境设置:动画演示动画演示二、学生活动二、学生活动:函数单调性与导数符号有着密切的关系函数单调性与导数符号有着密切的关系讨论讨论通过图形演示你得出了什么结论通过图形演示你得出了什么结论?二、学生活动二、学生活动:一般地，设函数一般地，设函数 y = f (x) y = f (x) 的定义域为的定义域为A A，区间，区间I I ，如果对于区间如果对于区间I
2、 I内的任意两个值内的任意两个值 ，当，当 时，都时，都有有 ，那么就说那么就说y = f (x) y = f (x) 在区间在区间I I上是单调上是单调增函数，增函数，I I称为称为y = f (x) y = f (x) 的单调增区间的单调增区间A21,xx12xx12()()f xf x如果对于区间如果对于区间I I内的任意两个值内的任意两个值 ，当，当 时，都时，都有有 ，那么就说那么就说y = f (x) y = f (x) 在区间在区间I I上是单调上是单调减函数，减函数，I I称为称为y = f (x) y = f (x) 的单调减区间的单调减区间21,xx12xx12()()f
3、xf x1)1)如果在某区间上如果在某区间上f(xf(x) ) 0 0，那么，那么f f（x x）为该区间上的为该区间上的增增函数，函数，2)2)如果在某区间上如果在某区间上f(xf(x) ) 0 0，那么，那么f f（x x）为该区间上的为该区间上的减减函数。函数。一般地，一般地， 设函数设函数y yf f（x x），），aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab三、建构数学三、建构数学:例例1 1 确定函数确定函数 在哪个区间内是在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。增函数，哪个区间内是减函数。 2( )43fxxx四、四、数学运用数学运用:思考：能不能用其他方法解？思考：能不能用其
4、他方法解？yxo111 例例2：确定函数确定函数 ，在哪些区间是增函数。在哪些区间是增函数。32()267fxxx四、四、数学运用数学运用:说明说明:当当函数的单调增区间或减区间有多函数的单调增区间或减区间有多个时，单调区间之间个时，单调区间之间不能不能用用 连接，只连接，只能分开写，或者可用能分开写，或者可用“和和”连接。连接。(2)(2)求导数求导数).(xf (3)(3)解不等式解不等式; ; 或解不等式或解不等式 . .f f( (x x) ) 0 0=( )yf x(1)求求 的定义域的定义域D D(4)与定义域求交集与定义域求交集四、四、数学运用数学运用:利用导数讨论函数单调的步骤
5、利用导数讨论函数单调的步骤: :(5)写出单调区间写出单调区间 例例2：确定函数确定函数 ，在哪些区间是增函数。在哪些区间是增函数。32( )267f xxx变式变式1 1：求：求的单调增区间的单调增区间32( )267f xxx(x-1)四、四、数学运用数学运用: 例例2：确定函数确定函数 ，在哪些区间是增函数。在哪些区间是增函数。32( )267f xxx变式变式1 1：求：求的单调增区间的单调增区间32( )267f xxx(x-1)变式变式2 2：求：求的单调减区间的单调减区间32( )267(0)f xxaxa四、四、数学运用数学运用:02xa则2( )12fxxax解： 62( )
6、0,120fxxax令即6变式变式2 2：求：求 的单调减区间的单调减区间32( )267(0)f xxaxa四、四、数学运用数学运用:(2 )0 x xa即(1)20,0,aa当时 即( )0 2 )f xa所以的单调减区间为（ ，20,0,aa（2）当时 即( )2 0)f xa所以的单调减区间为（，20ax则四、四、数学运用数学运用:基础练习基础练习: :求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间（1） （2）2yxx3yxx例例3：证明：证明： f(x)=2x-sinx在在R上为单上为单调增函数调增函数四、四、数学运用数学运用:练习：求证：练习：求证：内是减函数内是减函数( )0 xf
7、xex在区间（ ， ）四、四、数学运用数学运用:五、小结五、小结: 2.利用导数的符号来判断函数的单调区间利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用用,它充分体现了数形结合的思想它充分体现了数形结合的思想. 1.在利用导数讨论函数的单调性时在利用导数讨论函数的单调性时,首先要首先要确定函数的定义域确定函数的定义域,解决问题的过程中解决问题的过程中,只能在函只能在函数的定义域内数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间，或证明函数的单调性数的单调区间，或证明函数的单调性.六、课后作业六、课后作业P78习题习题3.3第第1、2题题