2022年2022年集合 2.pdf-淘文阁

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1、集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 1 页共 36 页第一讲：集合集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。1集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：（1）确定性设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即aA与aA仅有一种情况成立。（2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素 . （3）无序性2集合的表示方法主要有列举法

2、、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：RQZN,应熟记。3实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。4子集、真子集及相等集（ 1）ABAB或AB；（ 2）ABAB且AB；（ 3）ABAB且AB。5一个n阶集合（即由个元素组成的集合）有n2个不同的子集，其中有n21 个非空子集，也有n21 个真子集。6集合的交、并、补运算AB=Axx |且Bx AB=Axx |或Bx IxxA|且Ax 要掌握有关集合的几个运算律：（1）交换律ABBA，ABBA；（2）结合律A（BC）（AB）C，A（BC） (AB)C；（

3、3）分配律A（BC）（AB）（AC）A（BC）(AB) （AC）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 2 页共 36 页（4）0 1 律AA，AIAAII，A（5）等幂律AAA，AAA（6）吸收律A(AB)A，A（AB）A（7）求补律AAI，AA（8）反演律BABABABA,7有限集合所含元素个数的几个简单性质设)(Xn表示集合X所含元素的个数（ 1）)()()()(BAnBnAnBA

4、n当)(BAn时，)()()(BnAnBAn（2）)()()()(CnBnAnCBAn)()()()(CBAnCBnCAnBAn8映射、一一映射、逆映射（1）映射设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：AB。上述映射定义中的A、B，可以是点集，数集，也可以是其他集合。和A中元素a对应的B中的元素b叫做a（在f下）的象，a叫做b的原象。A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的。（2）一一映射设A、B是两个集合，f：AB是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不

5、同元素，在集合B中有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射。（3）逆映射设f：AB是集合A到集合B上的一一映射，如果对于B中的每一个元素b，使b在A中的原象a和它对应，这样所得映射叫做映射f：AB的逆映射，记作1f：BA。注意：只有一一映射，才有逆映射。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 3 页共 36 页要能够根据这三个概念的定义，准确地判断一个给

6、定的对应是不是映射，是不是一一映射，并能求出一一映射的逆映射。解题指导元素与集合的关系1设A a|a22yx,Zyx,，求证：（ 1）12kA(Zk)；（2）)(24ZkAk分析：如果集合Aa|a具有性质p ，那么判断对象a是否是集合A的元素的基本方法就是检验a是否具有性质p。解：（1）k,1kZ且12k22) 1(kk,故12kA；（2）假设)(24ZkAk，则存在Zyx,，使24k22yx即)12(2)(kyxyx(*) 由于yx与yx具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4 的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4 除余 2 的数，故（*）式不能成立。由此

7、，)(24ZkAk。2设集合A（ 3，2）。已知Nyx,，xy,xyyx191933,判断a)(log21yx与集合A的关系。分析：解决本题的关键在于由已知条件确定yx的取值范围，从而利用对数函数的单调性确定a)(log21yx的范围。解：因为)(1933yxyx且Nyx,，xy，所以xx2222319xyxyx由此及Nx得x=3,从而y=2. 所以 3a25log)23(log2121,即aA。3以某些整数为元素的集合P具有下列性质：P中的元素有正数，有负数；P中的元素有奇数,有偶数； 1P；若x，yP,则xyP试判断实数0 和 2与集合P的关系。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

8、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 4 页共 36 页解：由若x，yP,则xyP可知，若xP，则)(NkPkx（1）由可设x，yP，且x0，y0，则yx|y|x(|y|N) 故xy,yxP,由 ,0(yx)+xyP。（2）2P。若 2P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当（12k）P（Nk）时， 1 （ 12k） k2P，与矛盾。于是，由知P中必有正奇数。设),(12,2NnmPnm，我们取

9、适当正整数q，使12|2|nmq，则负奇数Pnqm)12(2。前后矛盾。4设S为满足下列条件的有理数的集合：若aS，bS，则a+bS，Sab；对任一个有理数r，三个关系rS，rS，r0 有且仅有一个成立。证明：S是由全体正有理数组成的集合。证明：设任意的rQ，r0,由知rS，或rS之一成立。再由，若rS，则Sr2；若rS，则Srrr)()(2。总之，Sr2。取r=1，则 1S。再由， 2=1+1S，3=1+2S，, ，可知全体正整数都属于S。设Sqp,，由Spq，又由前证知Sq21，所以21qpqqpS。因此，S含有全体正有理数。再由知， 0 及全体负有理数不属于S。即S是由全体正有理数组成的

10、集合。两个集合之间的关系在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、 “真子集”、 “相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。5设函数),()(2Rbabaxxxf，集合),(|RxxfxxA，),(|RxxffxxB。（1）证明：BA；（2）当 3, 1A时，求B。（3）当A只有一个元素时，求证：BA解：（1）设任意0 xA，则0 x)(0 xf.而000)()(xxfxff名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

11、 - - - - - - - 第 4 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 5 页共 36 页故0 xB,所以BA. （2）因 3, 1A，所以3331)1()1(22baba解得3, 1 ba故3)(2xxxf。由)(xffx得03)3()3(222xxxxx解得3, 3, 1xB3,3, 3 , 1。6321,SSS为非空集合，对于 1， 2， 3 的任意一个排列kji,，若jiSySx,，则kSyx（1）证明：三个集合中至少有两个相等。（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？证明：（1）若jiSySx,，则ikSxyxySxy)(

12、,所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。否则，设321,SSS中的最小正元素为a，不妨设1Sa，设b为32,SS中最小的非负元素，不妨设,2Sb则ba3S。若b0,则 0bab，与b的取法矛盾。所以b=0。任取,1Sx因 02S,故x0 x3S。所以1S3S，同理3S1S。所以1S=3S。（3）可能。例如1S=2S= 奇数，3S= 偶数显然满足条件，1S和2S与3S都无公共元素。7已知集合： 1|),(,1|),(,1|),(22yxyxCayxyxByaxyxA问名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

13、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 6 页共 36 页（1）当a取何值时，CBA)(为含有两个元素的集合？（2）当a取何值时，CBA)(为含有三个元素的集合？解：CBA)(=)()(CBCA。CA与CB分别为方程组（）1122yxyax（）1122yxayx的解集。由（）解得（yx,）=（0，1）=（212aa，2211aa）；由（）解得（yx,）=（ 1，0），（2211aa，212aa）（1）使CBA)(恰有两个元素的情况只有两种可能：111012222aaaa01

14、1112222aaaa由解得a=0；由解得a=1。故a=0 或 1 时，CBA)(恰有两个元素。（2）使CBA)(恰有三个元素的情况是：212aa=2211aa解得21a，故当21a时，CBA)(恰有三个元素。8 设Nn且n 15，BA,都是 1，2，3，, ，n真子集，BA，且BA=1 ，2，3， , ，n。证明：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数。证明：由题设，1，2，3，, ，n的任何元素必属于且只属于它的真子集BA,之一。假设结论不真，则存在如题设的1 ，2，3，, ，n的真子集BA,，使得无论是A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。名师资料总结 - - -精品资料欢

15、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 7 页共 36 页不妨设 1A，则 3A，否则 1+3=22，与假设矛盾，所以3B。同样 6B，所以 6A，这时 10A，，即 10B。因n15，而 15 或者在A中，或者在B中，但当 15A时，因 1A，1+15=24，矛盾；当15B时，因 10B，于是有10+15=25，仍然矛盾。因此假设不真。即结论成立。第二讲映射与函数知识要点 1映射有关概念2函数定义，定义域、值域能力训

16、练 1 合BA,的并集321,aaaBA，当BA时，),(BA与),(AB视为不同的对，则这样的),(BA对的个数为（）（1993 年全国高中数学联赛试题）（A） 8 （B） 9 （C）26 （D）27 解法一：若321,aaaA，则满足题意的B有：;,;,;,;,;321323121321aaaaaaaaaaaaB即这时的配对个数有：8)(3323130333CCCCC；仿此，若21,aaA（或3231,aaaa），满足题意的B的个数，即配对个数有：12)(22120223CCCC；于是，全部配对个数有：2716128。解法二：BA且PBA的情形只有1 个配对：PBPA,，而BA的配

17、对个数必是偶数，所以全部配对个数为奇数。又粗略计数后知，配对个数不少于16，故选（ D）。评注：两种解法反映的是一种数学思想：配对思想。解法一是分类讨论；解法二是估算法。2 设A=4321,aaaa，,54321bbbbbB（1）写出一个f：AB，使得f为单射，并求所有A到B的单射的个数。（2）写出一个f：AB，使得f不是单射，并求所有这些映射的个数。（3）A到B的映射能否是满射？解：（1）作映射f：AB，使得4, 3 ,2, 1,)(ibafii则此映射即为A到B的一个单射，这种单射的个数为12045P。（2）作映射f：AB，可以先求A到B的映射的个数：分四步确定4321,aaaa的象

18、，每名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 8 页共 36 页步都有 5 种可能，因此所求映射的个数为45个，因此满足条件的映射的个数为4545P=505。（3）不能。由于A中的每一个元素恰与B中的一个元素对应，|A|=4，|B|=5，所以B中至少有一个元素在A中找不到与它对应的元素，因此A到B的满射不存在。说明：一般地，若A到B有一个单射，则|A|B|，若A到B有一个满射，则|A|B|

19、,若A到B有一个一一映射,则|A|=|B| 思考：在上述问题中,如何求从A到B的子集上的一一映射的个数? B中的 4 个元素的子集共有45C个，从A到B的每 4 个元素的子集上的一一映射各有44P个，所求的映射的个数是45C44P=120 个。3 若函数)(log23aaxxy的值域为R，则实数a的取值范围是 _。（94 年第 5 届“希望杯”全国数学邀请赛）解法一：根据函数值域定义，对于任意实数y，关于x的方程yaaxx)(log23即032yaaxx恒有解，因此0344)3(422yyaaaa（ *）恒成立，034y（ *）式成立的充要条件是042aa，解得4a或0a。解法二：根据对

20、数函数和二次函数的性质，)()(2Rxaaxxxu的最小值不在于0，即042aa解得4a或0a。评注：解法一运用转化思想把对数函数转化为指数形式（关于x的二次方程）获得解答；解法二运用对数函数和二次函数的性质获得思路。4 对实数x，求函数48148)(22xxxxxf的最大值。（96 年美国中学数学竞赛题）解法一：)(xf的定义域为 6，8，22)4(168)(xxxxu，当6x时，12maxu；22)7(14814)(xxxxv，当6x时，0maxv，从而当6x时)(xf有最大值3212。解法二：)(xf定义域为 6，8，令28)(xxxu，4814)(2xxxv，xvu64822。1

21、26480,8, 6xx，12022vu, （1）。vuy，vyu代入（ 1）得：1222vyy，易知0y，0)7(12xv,（1）12222vyyy，32y，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 9 页共 36 页当6x时（ 1）、（2）同时取等号。故)(xf有最大值3212。解法三：)(xf的定义域为 6，8，686)6(8)(xxxxxxxf，x8，61xx在6， 8上

22、是减函数，从而当6x时)(xf有最大值3212。评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若)()()(xvxuxf，)(),(xvxu同时在0 xx处取得最大值，则)(xf在0 xx处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点 “若)(xf在闭区间 a,b上为单调函数，则)(xf在端点处取得最值” 。5 设集合1|xMx9, xN,|),(MdcbadcbaP.定义M到Z的映射f：（cdabdcba),。若yxvu,都是M中的元素，且满足f：（yxvu,）39，（),vxyu66。求yxvu,的值。解：由题意得39xyuv（1）66xvuy（2

23、）（1） +（2），（2）（ 1）得753)(yvxu（3）333)(xuvy（4）由于 0 xu9，yv18，0vy9，xu18，所以由（ 3）、（4）可得xu=7，yv=15，vy=3，xu=9 解得9, 1,6,8yxvu6 已知函数)(xf的定义域为 1，1，求)()(axfaxf的定义域，其中a0。解：)()(axfaxf的定义域应是下列两个集合的交集：1|1xXax1= a1,a1 1|2xXax1= a,a 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页

24、，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 10 页共 36 页当a1 时，aa1，aa1, 所以121XXX当 0a1 时, a1a，a1a，所以221XXX因此，)()(axfaxf的定义域为 a,a（0a1； a1,a1（当a1 时）第三讲函数的图象与性质知识要点：1.函数的图象：坐标为)(,(xfx的点的集合),(|),(Dxxfyyx称为函数)(xfy的图象，其中D是函数的定义域。2.图象变换：平移变换、对称变换3.函数性质：奇偶性、单调性、周期性周期性：对于函数)(xf，如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每一个数时，)()(

26、个互不相等的实根，即直线与曲线有四个不同的交点，由图象可知，120k，即32k名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 11 页共 36 页5已知4sin)(3xbxaxf（a、b；实数）且5)10log(lg3f，则)3lg(lgf的值是（）（1993 年全国高中数学联赛试题）（A）5（ B）3（C） 3 （D）随 a、b 取不同值而取不同值解：3s i n4)(xbxaxf是奇

27、函数的和，为奇函数，从而 4)()(xfxf即8)()(xfxf，38)10loglg() 3lg(lg3ff，选（ C）。6设函数)(xf对任一实数x满足：)7()7(),2()2(xfxfxfxf且0)0(f。求证：0)(xf的根在区间30,30上至少有 13 个，且)(xf是以 10 为周期的周期函数。证明：由题设知，函数)(xf图象关于直线2x和7x对称，所以0)0()22()22()4(ffff0)4()37()37()10(ffff，于是0)(xf在10,0(上至少有两个根。另一方面，有)()22()22()4()37()37()10(xfxfxfxfxf

28、xfxf,所以)(xf是以 10 为周期的周期函数，因此0)(xf的根在区间30,30上至少有13126个要。评述：设函数的定义域为D，若对任意的Dx，都有)()(xafxaf（a为常数），则函数)(xf图象关于直线ax对称。7函数)(xfy定义在整个实数轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角2后不变。（1）证明：方程xxf)(恰有一个解，（2）试举一个具有上述性质的函数的例子。解：（1）设)0(f0y，则（ 0，0y）是函数)(xfy的图象上的点，把该点按同一方向绕原点旋转两次，每次旋转角为2，得到的点（0，0y），仍在)(xfy的图象上，所以，0y=)0(f0y于是0y=0，即)0(

29、f0。也就是说x=0 是方程xxf)(的一个解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 12 页共 36 页另一方面 ,设x=0 x是方程x=)(xf的一个解 ,即)(0 xf=0 x，因此点（0 x，0 x）在函数)(xfy的图象上，它绕原点旋转三个2后得到（0 x，0 x）,且此点也在)(xfy的图象上 ,所以0 x=)(0 xf=0 x,0 x=0. 从上面的讨论可知,方程xxf

30、)(恰有一个解x=0。（2）构造函数如下：时当时当时当kkkkxxxxxxf4|42,242|4,210, 0)(第四讲二次函数二次函数在中学数学中起着十分重要的作用，也是初等数学中遇到比较多的函数之一，形如)0()(2acbxaxxf的函数，它的图象简单，性质易于掌握，又与二次方程、二次不等式有联系，与之相关的理论如判别式，韦达定理，求根公式等又是中学教材的重点内容，因此有必要进一步认识二次函数的性质，研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧二次函数)0()(2acbxaxxf的主要性质：定义域为R；图象是对称轴平行于y轴（或与y轴重合）的抛物线；当a0 时，抛物线开口向上方，函数的

31、值域是,442abac，当x（ ,ab2）时,)(xf是减函数 ,当xab2, 时，)(xf是增函数；当a0 时，抛物线开口向下方，函数的值域是abac44,2，当x（ ,ab2）时,)(xf是增函数 ,当x,）时，)(xf是减函数当acb420时，函数的图象与x轴有两个不同的交点，它们分别是（0,242aacbb），（0,242aacbb）；acb42=0 时，函数的图象与x轴有两个重合的交点（ab2,0）,这名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

32、 - - - - - 第 12 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 13 页共 36 页时也称抛物线与x轴相切 , acb420 时,函数的图象与x轴没有交点函数)0()(2acbxaxxf的图象是连续的一个有用的结论是，在区间qp,端点处的函数值异号，即)()(qfpf0 时,方程)(xf=0 在（qp,）内恰有一个实根抛物线的凸性也有一定用途，a0 时，函数的图象是下凸形曲线，即对于任意Rxx21,，有)2(21xxf2)()(21xfxf；a0 时, 函数的图象是上凸形曲线，即对于任意Rxx21,，有)2(21xxf2)()(21xfx

33、f利用二次函数图象的凸性和单调性，在某些与二次方程的范围有关的问题中可避免使用判别式和求根公式一含有参变数的二次函数对于二次函数)0()(2acbxaxxf，当a、b、c固定时，此二次函数唯一确定，它的图象是一条抛物线；若b、c固定时，a可以在某个范围内变动，则它的图象可能是“一族”抛物线，对于a、b、c的不同范围和条件，得到的抛物线族具有不同的特征，如何确定这些特征，就因题而异了例题分析：1 集合A=42|2xxyy，B=axaxyy42|2，AB，求实数a的取值集合解：A、B分别表示函数422xxy与函数axaxy422的值域由3) 1(4222xxx3 知A=3，）

34、而B受参数a的影响，要进行讨论a=0 时，xy2，值域是R符合条件ABa0 时，)(xf=axax422是二次函数，如果a0，该函数的值域为aa14,，这时A B不成立如果a0 时，由3， aa14， ,得3140aaa0a1 综上所述 , a的可取值集合为a|0a1。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 14 页共 36 页说明：参数a的取值决定了函数)(xf=axax422的类

35、别及性质，因而对该函数的值域有影响为了由AB求出a的允许值范围，必须对参数a分情况讨论2 考察所有可能的这样抛物线22baxxy，它们与坐标轴各有三个不同的交点，对于每一条这样的抛物线，过其与坐标轴的三个交点作圆证明：所有这些圆周经过一定点证明：设抛物线22baxxy与x轴的交点为（1x， 0）、（2x，0）由韦达定理知221bxx0 (因为b=0,则axxy2与坐标轴只有两个不同的交点),故点（1x，0）、（2x，0）在坐标原点的两侧又因为1|221bxx，由相交弦定理的逆定理知，点（1x，0）、（2x，0）、（0，2b），（0，1）在同一个圆周上，即过抛物线与坐标轴的

36、三个交点（1x，0）、（2x， 0）、（0，2b）的圆一定过定点（0，1）于是所有的这些圆周均经过一定点（0，1） 3 抛物线cbxxy2的顶点位于区域 10.10|),(yxyxG内部或边界上，求b、c的取值范围解：抛物线的顶点坐标为（44,22bcb），故14401202bcb1440222bcbb，上式即为b、c的取值范围二二次函数的最值4 设x=p时，二次函数)(xf有最大值5，二次函数)(xg的最小值为2，且p 0，)(xf+)(xg=13162xx,)( pg=25求)(xg的解析式和p值解：由题设)(pf=5，)( pg=25，)()(pgpf=13162pp，所以13

37、162pp=30，解得p=1 （p= 17 舍去）由于)(xf在x=1 时有最大值5，故设)(xf=0,5) 1(2axa所以)(xg=13162xx)(xf=axaxa8)8(2)1(2，因)(xg的最小值为2，故2)1(4) 3(4)8)(1 (42aaaa,所以2a从而)(xg=101232xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 15 页共 36 页5 已知 0 x1, )(

38、xf=)0(22aaaxx,)(xf的最小值为m（1）用a表示m；（2）求m的最大值及此时a的值解：（ 1）把)(xf改写成)(xf=42)2(22aaax于是知)(xf是顶点为（42,22aaa），开口向上的抛物线又因为x0,1, 故当02a1，即0a 2 时，)(xf的最小值为42)2(2aaaf；当2a 1,即a2 时，)(xf有最小值21)1 (af于是)2(,21)20(,422aaaaam（2）当a2 时，21a的值小于0，而当 0a2 时，422aa=41)1(412a，它的最大值为41（当a=1 时取得），故m的最大值为41，此时a=1说明：对于某些在给定区间上的二次函数

39、最值问题，往往需要把顶点和区间端点结合起来考虑6 函数)(xf=4943322mxx，xm,1m,该函数的最大值是25,求该函数取最大值时自变量的值分析：限定在区间 m,1m上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况当x可取任意实数时，二次函数4943322mxx的图象是对称轴为21x开口向下的抛物线，21与区间 m,1m的位置关系决定了已知函数的单调状况，因此要分区间讨论当21m,1m,即2321m时,最大值应是34)21(2mf由342m=25, m2=222|211m得,不符合2321m的条件可见m23,21当21 1m,即m23时，函数)(xf=4943322mxx，xm,1m是

40、增函数，可见254159)1(2mmmf，解之得m=25或m=223其中m=223不合m名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 16 页共 36 页23的条件，舍去可见1m=125=23当21m，即m21时,函数)(xf=4943322mxx是 m,1m是减函数 ,可见25493)(2mmmf,解之得m=27或m=213其中m=27不合m21的条件 ,舍去 ,由此知m=213综上所述

41、,当x=23或x=213时, 函数)(xf有最大值25说明：由点21与区间 m,1m的位置关系引起的分类讨论是“形” 对 “数” 的引导作用本题中虽然只是求函数取最大值时的自变量x的值，没有问m的值，但这个x值与m值有直接关系，所以要先求m再求x7 一幢k（ 2）层楼的公寓有一部电梯，最多能容纳k 1 个人，现有k1 个学生同时在第一层楼乘电梯，他们中没有两人是住同一层楼的电梯只能停一次停在任意选择的一层而对每一个学生而言，自已往下走一层感到一分不满意，而往上走一层感到2 分不满意，问电梯停在哪一层，可使不满意的总分达到最小？解：设电梯停在第x层，则不满意的总分为S=（12, x2） 2

42、（12, kx）=1)54(32122kkxkx,所以当x=)654(kN时，S最小，其中)(aN表示最接近于a的整数例如,4)6.3(,3)3(NN32) 5. 2(,2) 1. 2(或NN,故当电梯停在)654(kN时，不满意总分最小三利用二次函数的性质8 已知方程)1() 1(222xaax，其中a1，证明：方程的正根比1 小，负根比1 大证明：原方程整理后，得222122aaxxa=0，令)(xf=222122aaxxa，则)(xf是开口向上的抛物线，且01)0(2af，故此二次函数)(xf=0 有一个正根，一个负根要证明正根比1 小，只须证0)1(f，要证明负

43、根比 1 大，只须证)1(f 0 因为0) 1(122)1(0)1(122)1 (222222aaaafaaaaf从而命题得证9 若抛物线22axxy与连接两点M（0，1），N（2，3）的线段（包括M、N两点）有两个相异的交点，求a的取值范围解：易知过两点（0，1）、（2，3）的直线方程为1xy，而抛物线22axxy与线段MN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 1

44、7 页共 36 页有两个交点就是方程22axx1x在区间 0 ， 2 上有两个有两个不等的实根令1) 1()(2xaxxf 则032)2(, 01)0(04) 1(,22102affaa解得a的范围为23a1说明：利用二次函数来研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段10设31|xxA，又设X是关于x的不等式组0520222bxxaxx的解集，试确定ba,的取值范围，使得XA分析：本题以二次曲线为背景，它的通法是先求不等式组的解集X，然后再来考虑A与X的包含关系，则必然导致浩繁的讨论，但如果由数想形，构造函数，就可简捷获解解：设22222)5()

45、(52)(),1()1(2)(bbxbxxxgaxaxxxf要使XA时，则必使)(),(xgxf在1，3上的函数图象落在x轴下方，即30) 3(0) 1(aff；30)3(0) 1(bgg 设一元二次方程)0(02acbxax的两个实根为21, xx，且21xx结论 10021xx000421212acxxabxxacb,0021xx00)0(0042bcfaacb或000042bcaacb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 36 页 - - - - - -

46、 - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 18 页共 36 页结论 20021xx000421212acxxabxxacb,0021xx00)0(0042bcfaacb或000042bcaacb结论 31x02x0)0(af结论 41x=0, 2x000abc且；1x0, 2x000abc且设一元二次方程)0(02acbxax的两个实根为21, xx，且21xx，k为实常数结论 1k1x2x20)(042kabkafacb；结论 21x2xk20)(042kabkafacb结论 31xk2x0)(kaf；结论 4 有且仅有0)()()(212211kfkfkxxk或结论 50)(,0

47、)(0)(,0)(00)(,0)(0)(,0)(021212121221211pfpfkfkfapfpfkfkfapxpkxk或结论6212121212221120)(,0)(020)(,0)(004kabkkfkfaorkabkkfkfaacbkxxk11设1x2x3x4x 2 ，且2x3x4x1x，证明：4321243214)(xxxxxxxx证明：令a2x3x4x,432xxxb,则原不等式为bxax1214)(,即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，

48、共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 19 页共 36 页2121)2( 2axbax=0，令)(xf=22)2(2axbax,则只需证明)(1xf0因)(164)2(422abbaba，而424332432432111xxxxxxxxxxxxba143414141，所以ab,从而0，)(xf与x轴有两个不同的交点易知这两个交点为)(22)(22abbabvabbabu，下证1xvu,331axa,31aax，只需证aa,3vu,即vaau,3,由于aababbabv2)(22，)3134()1()()()(222222aababaabbaabbab

49、babu所以1xvu,，从而必有)(1xf0解法二：只需证明)(1xf 0 ，而axa13，因此只需证0)3(, 0)(afaf而)(4)(baaaf，)34(94)3(baaaf，由43ba可证得0)3(,0)(afaf说明：通过构造二次函数，然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题，往往会使问题简化12在边长为10 的正三角形ABC中，以如图所示的方式内接两个正方形（甲、乙两个正方形有一边相重叠，都有一边落在BC上，甲有一顶点在AB上，乙有一顶点在AC上），试求这样内接的两个正方形面积和的最小值解：设甲、乙两正方形的边长分别为yx,，易知BC边上的四条线段之

50、和为：10)331 ()331(yx，记k331，则xky10，设两正方形面积之和为S，则有222250)5(2)10(kkxxkxS，当ykx)33(255时，S取得最小值，其最小值是222min)33(225)33(45050kS13定义在R上的奇函数)(xf，当x0 时，)(xf=xx22另一个函数y=)(xg的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 36 页 - - - - - - - - - 集合（数学竞赛讲稿）袁坚第 20 页共 36 页定义域为

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