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1、方阵最小多项式的性质探究摘要 ：讨论方阵最小多项式的几个性质及相关的几个简单应用关键词 ：方阵，最小多项式，零化多项式，特征多项式定义 1：设方阵 A，若 f(x) F(x)，使 f(A)=0 ，则称 f(x) 为 A 的零化多项式。命题 1：方阵的零化多项式是存在的。证明：设A为 nn 方阵，nMF表示域F 上的所有 nn方阵的集合，构一线性空间，它的维数为2n，A属于nMF，由22,nE A AA这21n个向量必定线性相关。则存在一组不全为零的数：201,na aa,使得22010nna Ea Aa A，作多项式2201( )nnf xaa xa x,且( )0f x，有()0f A,即n
2、MF中的任意向量A来说，零化多项式是存在的。定义 2：次数最低首项为1 的零化多项式称为最小多项式。由命题1 的证明过程，我们知道最小多项式是存在的。只要由,kE AA，随k增大往上找。但是这也只能说方阵A的最小多项式的次数最多不超过2n,这个估计是比较粗糙的，我们可以估计得更精确些。命题 2：（cayley-Hamilton 定理）设A是数域P 上一个nn矩阵，( )f xEA是A的特征多项式，则11122()()( 1)0nnnnnfAAaaaAA E证明：详见北大数教材高等代数P303。也就是说可以把方nn方阵的最小多项式的次数缩小到不超过名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
3、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - n。下面介绍几个最小多项式的性质：命题 3：矩阵 A 的最小多项式是唯一的。命题 4：设 g(x)为方阵 A 的最小多项式，那么f(x) 以 A 为根当且仅当 g(x)整除 f(x). 命题 5:相似矩阵具有相同的最小多项式。证明：设方阵A的最小多项式是( )m x,矩阵B最小多项式是n(x),由A与B相似知，有1BPAP，其中P为可逆阵。则11()()( )0m Bm PAPP m A P由 命 题4 得( )n x整 除(
4、)m x， 同 理 可 证( )m x整 除( )n x， 且( )m x，( )n x都是首一的。所以( )( )m xn x。得证命题 6：设A是一个分块矩阵，12sAAAA，A的最小多项多等于iA的最小多项式的最小公倍式，1,2,is。证 明 ： 设iA的 最 小 多 项 式 为( )ifx，A的 最 小 多 项 式 为( )f x,( )ifx的 最 小 公 倍 式 是( )g x, 由( )ifx整 除( )g x知()0ig A，1,2,is。故12()()( )0()sg Ag Ag Ag A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
5、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 因此( )f x整除( )g x（可由命题 4 得）。又因为12()()( )0()sf Af Af Af A因此对于每一个i有()0if A，即( )ifx整除( )f x。而( )g x是( )ifx的最小公倍式。故( )g x整除( )f x，综上所得( )( )f xg x。因为每一个复数域上的方阵，都可以相似于一个分块矩阵，即 Jordan标准型，所以利用Jordan 标准型求最小多项式也是证明中常用的方法。命题 7：方阵A的最小多项式是A的最后一个不变因子
6、。证明此定理前先给出一个引理：k级若当块11aaJa的最小多项式为()kxa。证明：J的特征多项式为()kxa,而01010JaE，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 1000()00100kJaE, 所 以J的 最 小 多 项 式 为()kxa。下面证明命题7：证明：存在可逆矩阵P，使121sJJPAPJ其中1,1,2,1iiiiinJis。由命题6 知，J的最小多项式为的最小多项式的公倍式，且由引理知iJ的最小多
7、项式为()inix，1,2,is。从而J的最小多项式1212( )() ,() ,()( )snnnJsAgxxxxgx为A的最小多项式。由于一个初等因子决定一块Jordan块，且由初等因子的定义知它是不变因子分解在互不相同的一次因式的方幂。我们知道1iidd整除，1,2,in。 因 此 有()()Angxdx整除，又由最小公倍式定义得( )( )nAdxgx整除，且( )ndx与( )Agx都是首一的。所以可推得( )( )nAdxgx。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
8、第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 命题 8：数域 P 上的 n 级矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件为 A 的最小多项式是P上的互素的一次因式的乘积。证明参见北大教材P323。推论 ：复数域上的矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式无重根。命题 9 :设 n阶矩阵 A 的全体实系数我项式所成的线性空间W，则 W 的维数等于A 的最小多项式m(x)的次数 k。证明：假设()WK维,则1,kE AA这 k 个矩阵必相关，存在不全为零的数011, ,klll，使10110kkl El AlA与( )m x为最小多项式矛盾。则()WK维 . 下证()WK维,只
9、要证明()mAmk，可由1,kE AA线性表出即可。若( )km xx，显然成立。若( )km xx，由代余除法知：存在Rx 上的多项式( )P x，( )r x,使得( )( )( )mxP x m xr x，次数( )r xk或者( )0r x。则( )()( )( )mAP A m Ar Ar A，即mA可由1,kE AA线性表出。所以()WK维。综上所得()WK维。命题 10：设 A 是 n 阶方阵，则A 的特征多项式f(x)与 A 的最小多项式 m(x)的根相同，当A 的特征值互异时，则f(x)=m(x). 证明：一方面，因为( )( )m xf x整除故 A 的最小多项式( )m
10、x的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 根是( )f x的根。另一方面，由( )( )nm xdx，12( )( )( )( )nf xxEAd x dxdx。设0 x是( )f x的根，则0()xx整除( )f x。于是必有i，使0()xx整除( )id x。又是( )idx整除( )ndx，故0 x为( )m x的根。综上所得( )m x与( )f x有相同的根。若12( )()()()nf xxEAxxxxxx
11、,其中12,nx xx互 不 相 同 ， 由 前 面 知( )m x与( )f x有 相 同 的 根 。 知( )( )m xf x。命题 11 :设 A 是 n 级矩阵，( )f x是次数大于零的多项式，( )m x是 A 的最小多项式：（1）如果( )f x整除( )m x，那么( )fA退化的。（2）如果( )d x是( )f x和( )m x的最大公因式，那么( )f A与( )d A的秩相等。（3）( )f A为非退化的充分必要条件是( )m x和( )f x互素。证 明 ： （ 1 ） 假 设( )f A退 化 。 由 已 知 存 在( )q x（( )m x次q(x)次）, (
12、)( ) ( )m xf x q x则()() ()0()()0m AfA q AfAq A可逆与( )m x为最小多项式矛盾。（2）由已知存在(),uxvx，使( )( ) ( )( )( )d xu x f xv x m x，()( )()()()( )()d Au A f Av A m Au A f A，则秩（d(A) ） 秩（f(A) ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 又( )d x整除( )f x，则存
13、在( )P x，使( )( ) ( )f xd x P x即( )( ) ( )f Ad A P A，则秩（d(A) ） 秩（f(A) ）综上可得秩（d(A) ） 秩（f(A) ）。（3）必要性：设( )( ),( )d xf x m x，由（ 2）知，秩（d(A) ） 秩（f(A) ）=n， 若( )0d x次， 由( )d x整 除( )m x，存在( )q x，使( )( ) ( )m xd x q x，则由( )( ) ( )0m Ad A q A( )( )0d Aq A可逆，而( )q x次次m(x)与( )m x为最小多项式矛盾。所以( ( ),( )1f x m x。充分性：(
14、 ),( )1f x m x，则存在( ), ( )u x v x使得( ) ( )( )( )1u x f xv x m x，则()uAfA则( ) ( )u A f AE，则( )f A非退化。命题 12：非奇异（退化）矩阵A的最小多项式与1A的最小多项式之间的关系。证 明： 设 非奇 异 矩 阵A的最 小多 项 式为11( )mmmf xxa xa， 设1A的 最 小 多 项 式 为11( )sssg xxb xb。由( )f x为A的 最 小 多 项 式 得( )0f A， 即110mmmAa Aa E，由非奇异知0ma，则上式可名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
15、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 化为1111() )0mmmmmaa AEAAaa，得1111()0mmmaEAAaa。令11( )mmmaP xxxaa，由1()0P A，则( )g xP整除（ X），知( )g xP次次（ X），即sm。由1()0g A，即1111()()0sssAb Ab E，两边同时乘sA，得10ssEb Ab A，由0sb得11110ssssssbbEAAAbbb，则( )f x整除1111ssssssbbxxxbbb，知( )f xs次，
16、即ms综上所述ms。又( )P x与( )g x都是首一多项式且( )g x整除( )P x，所以( )( )P xg x。所以1A的最小多项式为11( )mmmaP xxxaa由观察知( )f x的系数倒过来排再同除以常数项即为( )g x。同理可推知，*A的最小多项式为：1111()()( )mmmmmmmmA aAaAh xxxxaaa。二、几个简单应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例：设矩阵210013
17、00,200iAwww，设( )( ),Vf xf xR xR是实数域，求维 (V)=? 证：2213( )(1)()() ,2if xxEAxxw xww三个互异特征值，由命题10知2( )(1) ()()fxxEAxxwxw（( )m x为 A 的最小多项式）再由命题9知维（）次（( )m x）。例：判断以下三种矩阵是否可对角化？2AE；2AA；0mA，（ m为整数），但0mA。（）2AE，2( )1(1)(1)f xxxx为的零化多项式且无重根，由命题4 知，的最小多项式( )Agx整除( )f x，则( )Agx无重根，由命题知，可对角化。（）2AA，同理证。（）由于0mA，0mA则的最小多项式为mx，1m，即的最后一个不变因子为mx，则有一个初因子为mx，（有重根）则不可对角化。参考文献：、高等代数北京大学数学系几何与代数教研室编高教出版社。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -