《2022年小学数学奥赛教学中关于整除问题的教学设计 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年小学数学奥赛教学中关于整除问题的教学设计 .pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、在小学数学奥赛教学中关于整除问题的教学设计教学内容：整除问题的有关知识。教学目标：使学生灵活掌握整除的性质和有关特征，熟练解决生活中的一些有关整除的问题，培养学生积极思考的精神。教学方法：精讲多练，认真分析，逐类旁通课时安排： 4 课时（一对一）教学过程：知识回顾：整除就是若整数 “a” 除以大于 0 的整数 “b”，商为整数，且余数为零。我们就说 a 能被 b 整除（或说 b 能整除 a），记作 b|a，读作 “b 整除 a” 或“a 能被 b整除” 注意 a 或者 b 作除数的其一为 0，则不叫整除整除的性质：1、 如果 a 与 b 都能被 c 整除，那么 a+b 与 a-b 也能被 c
2、整除；2、 如果 a 能被 b 整除， c 是任意整数，那么积ac 也能被 b 整除；3、 如果 a 同时被 b 与 c 整除，并且 b 与 c 互质，那么 a 一定能被积 bc 整除，反过来也成立。数的整除特征：1、能被 2 或 5整除的数的特征：一个整数的个位上的数能被2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除。2、能被 4 或 25 整除的数的特征：一个整数的十位和个位所组成的数能被4或 25 整除，这个数就能被4 或 25 整除。3、能被 8 或 125 整除的数的特征：一个整数的百位、十位、个位所组成的数能被 8 或 125 整除，这个数就能被8 或 125 整除。4、能被 3
3、 或 9 整除的数的特征； 一个数的各位上的数的和能被3 或 9 整除，这个数就能被 3 或 9 整除。5、能被 11整除的数的特征： 一个数的奇数位上数字的和与偶数位上的数字和的差能被 11 整除，这个数就能被11整除。6、能被 7、11或 13 整除的数的特征：一个数的末三位所组成的数与除末三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页位数外所有数字组成的数的差能被7、11或 13 整除，这个数就能被7、11 或 13整除。例题精讲例 1、在内填上适当的数，使五位数297能被 4 整除，也能被 3 整除。例 2、有这样两
4、个五位数，一个能被11整除，一个能被7 整除。它们的前四位都是 9876，而末位数字不同。求这两个五位数的和。巩固练习：1、在 235 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5 整除。这个六位数最小是多少？2、有一个四位数 3AA1 ，它能被 9 整除。 A 代表的数字是几？3、在内填上合适的数，使六位数812能被 125整除，也能被 9 整除。4、一个自然数与 19 的积的最后三位数是321，求满足条件的最小的自然数。5、一个三位数能被 3 整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？提高练习：精选学习资料 - - - - - - - - -
5、名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页1、在内填上合适的数，使五位数210能被 72整除。2、已知 87654321这个十位数能被36整除，那么这个数个位上最小是几？3、有 9、7、2、1、0 五个数字，用其中的四个数字，组成能同时被2、3、5 整除的最小的四位数是（）。4、一个六位数 1234是 88 的倍数，这个数除以88所得的商是多少？分解质因数一个自然数的因数中，为质数的因数叫做质因数。把一个数写成若干个质因数相乘的形式叫做分解质因数。用分解质因数的方法可以解答很多生活趣题。例题精讲：例 1：把 18 个苹果平均分成若干份，每份大于1，小于 18。一共有多少种
6、不同分法？（思路：只要把 18 分解质因数即可。）例 2：写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。例 3：将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。2、5、14、24、27、55、56、99 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页思路：先将它们分别分解质因数， 通过观察， 共含有 8 个 2、6 个 3、2 个 5、2 个 7 和 2 个 11。因为要把它们分成两组，且乘积相等，则一组中应有4 个 2、3 个 3、1 个 5、1个 7 和 1 个 11。例 4：王老师带领同学去植树，如果王老师和学生每人植树
7、一样多，那么他们一共植了 539 棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？思路：把 539 分解质因数为 5397711，如果每人植7 棵，则有 76 人，如果每人植 11 棵，则有 48 人。如果每人植 49 棵，则有 10 人。巩固练习：1、有 60 个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6 人，不多余 15 人，有哪几种分法？2、 195 个同学排成长方形队伍做早操， 行数和列数都大于1， 共有几种站法？3、有一个长方体，它的长宽高是一个连续的自然数，且体积是39270 立方厘米，求这个长方体的表面积。4、有 4 个孩子，恰好一个比一个大1 岁，4 人的年龄积是 3024。
8、问这 4 个孩子各是多少岁？提高练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页1、有三个自然数 a、b、c，已知 ab30，bc35，ca42。求 abc是多少？2、把 40、44、45、63、65、78、99、105 这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等。3、植树节，老师带领同学去植树，已知老师和学生每人植树的棵数相等，一共植了 111 棵。求有多少个同学？4、3、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大 6，小青买的电影票是几排几号？5、下面的算式里，（）里数字各不相同，求这四
9、个数字。（）（）（ ）（）1995 5、小英参加小学数学竞赛，她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得的名次乘起来是 3916，满分是 100 分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？最大公约数与最小公倍数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页例题精讲：例 1 甲班有 42 名学生，乙班有 48 名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组， 并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？例 2 有一张长 150 厘米、宽 60 厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。能分割
10、成多少个正方形？例 3 用长 36厘米，宽 24 厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？例 4 有一个不足 50人的班级，每 12 人分为一组余 1 人，每 16 人分为一组也余 1 人。这个班级有多少人？巩固练习：1、某校有男生 234 人，女生 146 人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、女生各剩3 人。要使组数最少，每组应是多少人？能分成多少组？2、把 330 个红玻璃球和 360 个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？3、一个数除 40 不足 2，除 68也不足 2。这个数最大是多少？4、一个两位数除 472
11、，余数是 17。这个两位数是多少？提高练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页5、李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了1.04元，第二筐卖了 1.95 元，第三筐卖了 2.34 元。每 1 千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。 问三筐白菜各是多少千克， 李明一共卖了多少千克白菜？6、有一个长方体的方木，长是3.25 米，宽是 1.75 米，厚是 0.75 米。如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？7、有三
12、根绳子，第一根长45 米，第二根长 60米，第三根长 75 米。现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？课后练习：1、 王光用长 6 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？2、某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔8 分钟发一次车；第二条线路每隔10分钟发一次车； 第三条线路每隔 12 分钟发一次车。 三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？3、有一筐鸡蛋， 4 个 4 个地数余 2 个，5 个 5 个地数余 3 个，6 个 6 个地
13、数余 4 个。这筐鸡蛋最少有多少个？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页4、文化路小学举行了一次智力竞赛。参加竞赛的人中，平均每15 人有 3个人得一等奖，每8 人有 2 个人得二等奖，每12 人有 4 个人得三等奖。参加这次竞赛的共有 94 人得奖。求有多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？5、有一个电子钟，每到整点响一次铃，每走9 分钟亮一次灯。中午12 点整时，电子钟既响铃又亮灯。求下一次既响铃又亮灯是几点钟？6、王勇从山脚下登上山顶， 再按原路返回。 他上山的速度为每小时3 千米，下山的速度为每
14、小时5 千米。他上、下山的平均速度是每小时多少千米？7、某工厂生产一种零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时做50 个；第二道工序每个工人每小时做30 个；第三道工序每个工人每小时做25个。在要求均衡生产的条件下，这三道工序至少各应分配多少名工人？8、五 1 班同学上体育课，排成3 行少 1 人，排成 4 行多 3 人，排成 5 行少1 人，排成 6 行多 5 人。问上体育课的同学最少多少名？ ( 最小公倍数同少一个数) 余数问题（一）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页在平时解题中， 我们经常会遇到把着眼点
15、放在余数上的问题。如：现在时刻是 7 时 30 分，再过 52 小时是几时几分？我们知道一天是 24 小时，也就是说 52 小时里包含两个整天再加上 4 小时，这样就在 7 时 30 分的基础上加上 4 小时，就是 11时 30 分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。又如：五年级学生排队出操，如果8 人排一行，多出一个人；如果11 人排一行，同样多出一个人。这五年级最少共有多少人？（提示：如果把总人数减去一人那么人数就能被8 和 11 整除了。 ）1. 同余的表达式和特殊符号37 和 44同除以 7，余数都是 2，把除数 7 称作“模 7”，37、44 对于模 7 同余。记作：（mod7
16、）“”读作同余。一般地，两个整数 a 和 b，除以大于 1的自然数 m所得的余数相同， 就称 a、b 对于模 m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，则（这称为同余的传递性）（4）若，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（5）（称为同余的可乘性）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页（6）若，则，n 为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被 k 整除）例 1. 用 412、133和 257除以一个相同的自然数，所得
17、的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为 412、133和 257除以 a 所得的余数相同，所以，说明 a 是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。所以 a 最大是 31。例 2、除以 19，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。所以例 3、有一个 1997 位数，它的每个数位都是2，这个数除以 13，商的第 100 位是几？最后余数是几？分析与解答：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
18、 -第 10 页，共 15 页这个数除以 13，商是有规律的。商是 170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“ 170940”的第 4 个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100 位是 9。余数是几呢？则所以商的个位数字应是“ 170940”中的第 4 个，商应是 9，相应的余数是 5。练习巩固：1. 求下列算式中的余数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页（1）（2）（3）（4）2. 6254 与 37的积除以 7，余数是几？3. 如果某数除 482，992，1094 都余 74，这个数是几？余数问题
19、（二）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页例 1、一个自然数除以3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 1，这个自然数最小是几？例 2、在求 51173526被 7 除的余数时，小明这样做：例 3、除以 3 的余数是几？为什么？练习巩固：1、 今天是星期日，再过天又是星期几？2、 求除以 3 所得的余数。3、 某数除 680，970 和 1521，余数相同，这个数最大是几？4、 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是 7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997 个数被 3 除，余数是
20、几？课后练习：1、若将一批货物共千克装入纸箱，每箱装10 千克，最后余多少千克？若每箱装 17 千克，最后还余多少千克？2、1309被一个质数相除，余数是21，求这个质数。3、1796被一个质数相除，余数是24，求这个质数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页4、求 123345+234456 除以 11 的余数。5、有一个大于 1 的整数，它除 1000、1975、2001都得到相同的余数，那么这个整数是多少？6、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱， 第一组 6.3元，第二组 7.7 元，第
21、三组 6.3 元，第四组 9.1 元，又知道每本练习本价格都超过 1 角，求数学学习小组共有多少人？（提示：练习本单价是总价的公约数。）提高练习：1、若 2836，4582，5164，6522 四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为（） 。 （2001小学数学奥林匹克试题决赛B 卷）2、一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 2，除以 7 余 5，除以 9 余 5，除以 11 余 4，则满足这些条件的最小自然数是（257 ） 。 （1996年我爱数学少年冬令营试题）3、某数除以 11 余 8，除以 13 余 10，除以 17 余 12，那么这个数的最小可能值
22、是（） 。 （1998年小学数学奥林匹克试题预赛A 卷）4、一个小于 200 的数，它除以 11 余 8，除以 13 余 10，那么这个数是（） 。（1998年小学数学奥林匹克试题预赛B 卷）5、在一道有余数的除法算式中，被除数、除数，商和余数的和是599，已知商是 15，余数是 12，请问，题目中的除数是多少？（厦门实小2000-2001 学年第精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页二学期数学科竞赛卷B组）6、一个数被 5 除余 3，被 10 除余 8，被 11除余 9，这个数最小是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页