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1、学习-好资料更多精品文档四?知识分析【知识梳理】数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察一- 归纳一 - 猜想证明”的思维模式，就显得特别重要。般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行: (1) ( 归纳奠基 ) 证明当n取第一个值n= n 时命题成立；(2)( 归纳递推 )假设n = ) 时命题成立，证明当 舟二上+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命
2、题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。【要点解析】1、 用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n = k + 1时为什么成立，n = k + 1时成立是利用
3、假设n= k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n = k + 1时成立，而不是直接代入，否则n = k + 1时也成假设了，命题并没有得到证明。用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。2、 运用数学归纳法时易犯的错误(1) 对项数估算的错误，特别是寻找n= k与门=k + 1的关系时，项数发生什么变化被弄错。（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的, 桥梁断了就通不过去了。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -
4、- - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习-好资料更多精品文档（3）关键步骤含糊不清，“假设n= k时结论成立，利用此假设证明n =k+ 1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。【典型例题】1 1 1 n- b_ + + - - - = _ 例1.用数学归纳法证明:f时，丨：_ 1 _1 _ 1 _ 1 解析：当二，时，左边一，右边一一: ，左边=右边，所以等式成立。丄丄i k假设 靳二 - 时等式成立，即有I“丿点丄M 则当 : - : I时，1 I 1
5、I k I - - +- + + - - +- = - - +- - 1x3 3x5 （2k -1）（ 2k + 1）（2k + 12k + 3） 2k + 1 （2k + l）（2k + 3）k（2k + 3）+ 1 2k2 + 3k+ 1 （2k + l）（2k + 3广（2k + l；（2k + 3）k+1 k+1 2k + 3= 2（k + l ） +l 所以当二三 - 一时，等式也成立。由，可知，对一切二11等式都成立。点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取 值是否有关，由匕 到时等式
6、的两边会增加多少项，增加怎样的项。（2）在本例证明过程中，（I ）考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II ）步骤在由至V 的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。本题证明二丄一时若利用数列求和中的拆项相消法，即精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习-好资料更多精品文档（2k -11 （ 2k + 1）+（2k + l ）（2k + 3）二卜 2 爲
7、证。k + 1卜2k +3，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪(3)在步骤的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑” 结论，关键是明确. ；1时证明的目标，充分考虑由二L到1-N时，命题形式之间的区别和联系。,111 1 1 1 1 1 例2.=1_1=1 =1 解析：（1）当丨时，左边J 一，右边一，命题成立。（2）假设当二上时命题成立，即.1 1 1 1 1I-+ - +- -2 3 4 2kl 2k1 1 1=- 4- - + + ，那么当 :-一时，,111 1 1 1 1 =+HI + M - + 左边一一，一1 -一- 1 1 1 1 1= - * + - +
8、+ + - - - k + 1 k + 2 2k 2k +1 2k+ 21 1 1 1 = +- + + - +- 0上式表明当二三 - 时命题也成立。由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。_ J4於 + 张 + 4 J4kf+ 8k + 3 _ 72k + 3 -V2k+l 272k + 1 2j2k + l2_j2k+7 J2(k + 0+1?. Ir 1时，不等式也成立。由，知，对一切大于1的自然数n, 不等式都成立。点评：（1）本题证明命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式k+J V2（k + 1）+1 . il: 成立。（2
9、）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第步?成立是推理的基础，第步 kl- 是推理的依据（即I成立，则一成立，】成立，从而断定命题对所有的自然数均成立）。另一方面，第步中，验证中的二未必是1, 根据题目要求，有时可为2, 3等；第步中，证明时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法*L 1 1 1 31 5Ji血-1丿成立。解析：当1_-_时，左=_V5 ，右一二，左右，二不等式成立。f1V i、1+-1 + I 31力L 2k - 1J2k+1（n1 i+-1 3i+-1 51 Tr 2k- 1J2k + l 272k +1泅+ 12k+2那么当二丄一时, 精品
10、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习-好资料更多精品文档用上归纳假设。1 t1 j1 (丄1、a例4.若不等式 对一切正整数n都成立 , 求正整数a的最大值，并证明你的结论。1 1 1 _ 26 解析：取一 -】，丨，一 _ 026a令，得二I , 而_ I , 所以取 二，下面用数学归纳法证明，1 1 1 25- + + 一u 2 二一丨1 1 ，(1)- 丨时，已证结论正确(2)假设 二m:时，1 1 1 25 - +- + +
11、+ -、 - k +1 k + 2 3k +1 24则当二丄 ?一时，有 I (k + 1)+ 1+(k + l)+ 2+ +3k + l+ 3k + 2 +3k + 3 +3k +1)+ 1 1 1 1】1 1 1 1 1* + * 十+ M+ - HI - + - - - - + 2 3k + 3 3k+ 4 k + ljQ 亠 _ 24 l3k+2 3k + 4 3(k + l)* 1 血 + 1) 2 因为J： ：1丄- J ； ：J1-. - /1 1 2 n - F - - (所以 1 * ：，1 1 1 25| -a|s. I ?a|a i. - - - / I所以I- - I:
12、 / . ? . : - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习-好资料更多精品文档即二丄一时，结论也成立，由（1）（2）可知，对一切1 ., 1 1 1 25 - 4- - + +- 1 都有L . U 2 二一丨1 ,故a的最大值为25。例5.用数学归纳法证明：匚， 能被9整除。解析：方法一：令山 二上工八；（1）y- ： - -能被9整除。（2）假设I1能被9整除，则f（k+l）-f（k）= （3k + 4）7k+1 -l-3
13、k + l） T1* -1=9（2k + 3）7k? 能被9整除。由（1）（2）知，对一切二1，命题均成立。方法二：（1）丨，原式 - 厂i-.i能被9整除，（2）若 : 匸二一 . 、： ，二 - 1能被9整除，则 .1-N时3（k + 1） +1-7-1 -（3k+l ） +3 （ l+6） 7k-l=（3k+l ） 7k-l +（3k + l） 6 7k +2l-7k訂（3k + l）乎一i + i8k?护+27 乎?二一时也能被9整除。由（1），（2）可知，对任何二1，二 - 1能被9整除。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳
14、- - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 学习-好资料更多精品文档点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出二丄时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。例6.求证：I L- 一 能被 - ：、r 1整除， 八二 . 。解析： (1) 当二 - 时， 厂亠 ，命题显然成立。(2) 设ji *时， r ； 1广 能被 厂1整除，则当二一时，严+触1严“ # + 蝕( 讪严4=聲 + (a+ 1严+ (a+ l)a(a+1严. 希 + 严：I,. -.r?:o由归纳假设，上式中的两项均能被； 1整除，故1
15、-1时命题成立。由(1)(2)可知，对 -.，命题成立。例7.平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成个部分。解析： | - 时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立。假设jl y 时，二个圆将平面分成J : 一 - 个部分，当. 1-N时，第k+1个圆1 H交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆1 分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k+1个圆将平面分成 - 上个部分，即mr也N,：-个部分。故:.1 . 时，命题成立。由，可知，对二命题成立。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -