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1、必修 5 第一章 解三角形1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为 角、C的对边，R为C的外接 圆的半径，则有2sinsinsinabcRC2、正弦定理的 变形公式：2sinaR，2sinbR，2sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC（正弦定理主要用来解决两类问题 ：1、已知两 边和其中一 边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。 ）对于已知两 边和其中一 边所对的角的 题型要注意解的情况。 （一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知 a、b、A（A为锐角）求
2、 B。具体的做法是：数形结合思想画出 图：法一：把a 扰着 C点旋 转，看所得 轨迹以 AD有无交点：当无交点 则 B无解、当有一个交点则 B有一解、当有两个交点则 B有两个解 。法二：是算出CD=bsinA,看 a 的情况：当 absinA ，则 B无解当 bsinAb 时， B有一解注：当 A为钝 角或是直角 时以此 类推既可。3、三角形面 积公式：111sinsinsin222CSbcabCac4、余弦定理：在C中，有2222 cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abc
3、Cab( 余弦定理主要解决的问题：1、已知两 边和夹角，求其余的量。2、已知三 边求角 ) 6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是C的角、C的对边 ，则：若222abc，则90C；若222abc，则90C；若222abc，则90C正余弦定理的综合应用：如 图所示：隔河看两目标 A、B,但不能到达，在岸 边选 取相距3千米的 C 、D两点，并 测得 ACB=75O, BCD=45O, ADC=30O, ADB=45O(A、B、C、D在同一平面内 ) ，求两目 标 A、B之间的距离。本题解答 过程略附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点 . 外心：三角形三边垂直平分 线相交于一点 .
4、内心：三角形三内角的平分线相交于一点 . 垂心：三角形三边上的高相交于一点D bsinA A b a C C A B D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第二章数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数2、数列的 项：数列中的每一个数3、有穷数列： 项数有限的数列4、无穷数列： 项数无限的数列5、递增数列：从第2 项起，每一 项都不小于它的前一项的数列（即：an+1an） 6、递减数列：从第2 项起，每一 项都不
5、大于它的前一项的数列（即：an+10,d0 时，满足001mmaa的项数 m使得ms取最大 值. (2) 当1a0 时，满足001mmaa的项数 m使得ms取最小 值。在解含 绝对值 的数列最 值问题时 ,注意 转化思想的 应用。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 附：数列求和的常用方法1. 公式法 : 适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2. 裂项相消法 :适用于1nnaac其中 na 是各项不为
6、 0 的等差数列， c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。例题：已知数列 an 的通项为 an=1(1)n n, 求这个数列的前n 项和 Sn. 解： 观察后 发现：an=111nn1211111(1)()()2231111nnsaaannn3. 错位相减法 :适用于nnba其中 na 是等差数列，nb是各 项不为 0 的等比数列。例题：已知数列 an 的通项公式 为2nnan，求 这个数列的前n 项之和ns。解：由 题设 得：123nnsaaaa =1231 22 23 22nn即ns=1231 22 23 22nn把式两 边同乘 2 后得2ns=23411 22 23 22nn用 -
7、，即：ns=1231 22 23 22nn2ns=23411 22 23 22nn得23111111 222222(12 )212222(1)22nnnnnnnnsnnnn1(1)22nnsn4. 倒序相加法 : 类似于等差数列前n 项和公式的推 导方法 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 5. 常用结论1）: 1+2+3+.+n = 2)1(nn 2） 1+3+5+.+(2n-1) =2n3）2333)1(2
8、121nnn4）) 12)(1(613212222nnnn5）111)1(1nnnn)211(21)2(1nnnn6）)()11(11qpqppqpq第三章不等式1、0abab；0abab；0abab2、不等式的性 质： abba；,ab bcac；abacbc；,0ab cacbc，,0ab cacbc；,ab cdacbd；0,0abcdacbd；0,1nnababnn；0,1nnabab nn3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式4、含绝对值 不等式、一元二次不等式的解法及延伸（1）整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式：)0)(0(
9、0022110aaxaxaxannnn解法：将不等式化为 a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)0(0”, 则找“线”在 x 轴上方的区 间；若不等式是“b 解的讨论 ；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0) 解的 讨论. 000二次函数cbxaxy2（0a）的 图象+ + -2 1 4 x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 一元二次方程的根002acbxax有两相异 实根)(,2121xxxx有两相等 实根
10、abxx221无实根的解集) 0(02acbxax21xxxxx或abxx2 R 的解集)0(02acbxax21xxxx对于 a0(或)()(xgxf0)；)()(xgxf 0(或)()(xgxf 0) 的形式，2）转化为整式不等式（ 组）0)(0)()(0)()(; 0)()(0)()(xgxgxfxgxfxgxfxgxf例题：求解不等式：11x解：略例题：求不等式11xx的解集。(3). 含绝对值 不等式的解法：基本形式：型如： |x| a (a0) 的不等式的解集 为：|xaxa型如： |x| a (a0) 的不等式的解集 为：|,x xaxa或变型：|(0)|axbc cxcaxbc
11、型的不等式的解集可以由解得。其中 -cax+bc 等价于不等式组axbcaxbc在解-cax+b0) 的实根的分布常借助二次函数图像来分析：设 ax2+bx+c=0 的两根 为、，f(x)=ax2+bx+c, 那么：若两根都大于0，即0,0，则有000对称轴 x=2bay o x 921125 ( )f x=10 y 3o 2 x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 若两根都小于0，即0,0，则有002(0)0b
12、af若两根有一根小于0 一根大于 0，即0，则有(0)0f若两根在两实数 m,n 之间，即mn，则有02()0( )0bmnaf mf n若两个根在三个实数之 间，即mtn，则有()0( )0()0fmftfn常由根的分布情况来求解出现在 a、b、c 位置上的参数例如：若方程222(1)230 xmxmm有两个正 实数根，求m的取 值范围。解：由型得0002224(1)4(23)02(1)0230mmmmmm111,3mmmm或3m所以方程有两个正实数根 时，3m。对称轴 x=2bao x y o y x X=2ban x m o y X=2bay o m t n x 名师资料总结 - - -
13、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 又如：方程2210 xxm的一根大于1，另一根小于1，求m的范 围。解：因 为有两个不同的根，所以由0(1)0f2222( 1)4(1)01110mm552211mm11m5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式 组7、二元一次不等式（组）的解集： 满足二元一次不等式组的x和y的取 值构成有序数 对, x y，所有这样 的有
14、序数 对,x y构成的集合8、在平面直角坐标系中，已知直 线0 xyC，坐 标平面内的点00,xy若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的上方若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的下方9、在平面直角坐标系中，已知直 线0 xyC（一）由B确定：若0， 则0 xyC表示直 线0 xyC上方的区域；0 xyC表示直 线0 xyC下方的区域若0， 则0 xyC表示直 线0 xyC下方的区域；0 xyC表示直 线0 xyC上方的区域（二）由A的符号来确定：先把 x 的系数 A化为正后，看不等号方向：若是“ ”号， 则0 xyC所表示的区域为直线 l: 0 xyC的右 边部
15、分。若是“ ”号， 则0 xyC所表示的区域为直线 l: 0 xyC的左 边部分。（三）确定不等式组所表示区域的步骤：画 线：画出不等式所对应 的方程所表示的直线定 测：由上面（一） （二）来确定求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。例题：画出不等式 组25035250 xyyxyx所表示的平面区域。解：略10、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式 组，是x，y的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小 值所涉及的 变量x，y的解析式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
16、- - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 线性目标函数：目 标函数 为x，y的一次解析式线性规划问题 ：求线性目 标函数在 线性约束条件下的最大值或最小 值问题 可行解： 满足线性约束条件的解, x y可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目 标函数取得最大值或最小 值的可行解11、设a、b是两个正数，则2ab称为正数a、b的算 术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数12、均值不等式定理 ： 若0a，0b，则2abab，即2abab13、常用的基本不等式：222,abab a bR；22,2ababa bR；20,02ababab；222,22aba
17、ba bR14、极值定理： 设x、y都为正数， 则有：若xys（和 为定值） ， 则当xy时， 积xy取得最大 值24s 若xyp（积为定值） ， 则当xy时，和xy取得最小 值2p例题：已知54x，求函数1( )4245f xxx的最大 值。解：54x，450 x由原式可以化为：1111( )4552(54 )3(54 )3(54 )313245545454f xxxxxxxxx当15454xx，即2(54 )1x31(2xx，或舍去）时取到“ =”号也就是 说当1x时有max( )2f x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -