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1、名师精编优秀教案学习内容与过程重难点归纳1直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法” 设而不求， 将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共
2、点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切； 对于双曲线来说， 平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切直线和椭圆、 双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y ，k( 斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：1、
3、中点坐标公式：1212,y22xxyyx，其中, x y是点1122(,)(,)A xyB xy，的中点坐标。2、弦长公式：若点1122(,)(,)A xyB xy，在直线(0)ykxb k上，则1122ykxbykxb，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx221212(1)()4kxxx x或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk2121221(1)()4yyy yk。3、两条直线111222:,:lyk xb lyk xb垂直：则121
4、k k两条直线垂直，则直线所在的向量120v v精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师精编优秀教案4 、 韦 达 定 理 ： 若 一 元 二 次 方 程20(0)axbxca有 两 个 不 同 的 根12,x x， 则1212,bcxxx xaa。题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1 ）和平分（中点坐标公式）。例题 2、过点 T(-1,0) 作直线l与曲线 N ：2yx交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存
5、在一点E(0 x,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出0 x；若不存在，请说明理由。分析： 过点 T(-1,0) 的直线和曲线N ：2yx相交 A、B 两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的32倍。运用弦长公式求弦长。练习 1：已知椭圆)0(1:2222babyaxC过点)23, 1 (，且离心率21e。（）求椭圆方程；（）若直线)0(:kmkxyl与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点)0
6、,81(G，求k的取值范围。分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到,a b的关系式，再根据“过点)23, 1(”得到,a b的第 2 个关系式，解方程组，就可以解出,a b的值，确定椭圆方程。第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出,k m的不等式，再根据韦达定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页名师精编优秀教案理，得出弦MN 的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点)0 ,81(G，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得,k m的等
7、式，用k 表示 m 再代入不等式，就可以求出k 的取值范围。支招 ：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：ykxm，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。题型三：动弦过定点的问题圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多
8、以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了， 其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师精编优秀教案例题 4、已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，且在 x 轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线:(2)lxt t与 x 轴交于点 T,点 P 为直线l上异于点T 的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交
9、于M、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。分析 ：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线 PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和 M，通过韦达定理，可以求出点M 的坐标，同理可以求出点N 的坐标。动点 P 在直线:(2)lxt t上，相当于知道了点P 的横坐标了， 由直线 PA1、 PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的 t2，就可以了，否则就不存在。、方法总结 ：本题由点A1(-2,0)的横坐标 2 是方程22
10、2121(14)161640kxk xk的一个根， 结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M的横坐标：21121281 4kxk，再利用直线A1M的方程通过同点的坐标变换，得点M的纵坐标：1121414kyk；其 实 由222(2)44ykxxy消y 整 理 得222222(14)161640kxk xk， 得 到22222164214kxk， 即222228214kxk，2222414kyk很快。不过如果看到： 将21121164214kxk中的12kk用换下来，1x前的系数 2 用 2 换下来，就得点N 的坐标2222222824(,)1414kkkk，如精选学习资料 - - - - - -
11、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师精编优秀教案果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。本题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线1A M上也在直线A2N上，进而得到12122kkkkt，由直线 MN的方程121121yyyyxxxx得直线与x 轴的交点，即横截距211212x yx yxyy，将点 M 、N 的坐标代入，化简易得4xt，由43t解出4 33t，到此不要忘了考察4 33t是否满足2t。另外：也可以直接设P(t，y0)，通过A1，A2的坐标写出直线PA1，PA2的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达
12、定理求出M、N 的坐标，再写出直线MN 的方程。再过点F，求出 t 值。题型四：过已知曲线上定点的弦的问题若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程） ，考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。例题 6、已知点A、B、C 是椭圆 E：22221xyab(0)ab上的三点，其中点A(2 3,0)是椭圆的右顶点，直线 BC 过椭圆的中心O，且0AC BC，2BCAC，如图。(I)求点 C 的坐标及椭圆E 的方程；(II) 若椭圆 E 上存在两点P、 Q，使得直线PC 与直线
13、 QC 关于直线3x对称，求直线PQ 的斜率。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师精编优秀教案方法总结：本题第二问中，由“直线PC与直线 QC关于直线3x对称”得两直线的斜率互为相反数，设直线 PC的斜率为k，就得直线QC的斜率为 -k 。利用3是方程222(1 3)6 3 (1)91830kxkk xkk的根，易得点P的横坐标：2291833(1 3)Pkkxk，再将其中的k 用 -k 换下来，就得到了点Q的横坐标：2291833(1 3)Qkkxk，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。接下来，
14、如果分别利用直线PC 、QC的方程通过坐标变换法将点P、Q的纵坐标也求出来，计算量会增加许多。直接计算PQyy、PQxx，就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一想，如何解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页名师精编优秀教案山东 2006 理双曲线C与椭圆22184xy有相同的焦点，直线y=x3为C的一条渐近线。（I）求双曲线C的方程；(II)过点P(0,4)的
15、直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）。当12PQQAQB，且3821时，求Q点的坐标。解：（）解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零。设l的方程：114,(,)ykxA xy，22(,)B xy则4(,0)Qk1PQQA11144(, 4)(,)xykk111111114444()44xkkxkkyy11)(,A xy在双曲线C上，2121111616()10k222211161632160.3kk2221116(16)32160.3kk同理有：2222216(16)32160.3kk若2160,k则直线l过顶点，不合题意.2160,k12,是二次方程22
16、216(16)32160.3kxxk的两根 . 122328163k24k，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页名师精编优秀教案此时0,2k. 所求Q的坐标为( 2,0). 解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程，11224,(,),(,)ykxA xyB xy，则4(,0)Qk. 1PQQA，Q分PA的比为1. 由定比分点坐标公式得1 111111111144(1)14401xxkkyy下同解法一解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程：11224,(,),(,)ykxA xyB xy
17、，则4(,0)Qk. 12PQQAQB，111222444(, 4)(,)(,)xyxykkk. 11224yy，114y，224y，又1283，121123yy即12123()2yyy y将4ykx代入2213yx得222(3)244830kyyk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师精编优秀教案230k，否则l与渐近线平行。212122224483,33kyyy ykk。222244833233kkk2k( 2,0)Q解法四：由题意知直线l 得斜率 k 存在且不等于零，设l的方程：4ykx，1122(,),(,
18、)A xyB xy则4(,0)Qk1PQQA, 11144(, 4)(,)xykk。1114444kkxxk同理1244kx1212448443kxkx. 即2121225 ()80k x xk xx（* ）又22413ykxyx消去 y 得22(3)8190kxkx. 当230k时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k。由韦达定理有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师精编优秀教案12212283193kxxkx xk代入（ * ）式得24,2kk所求 Q 点的坐标为( 2,0)。练习： 已知椭圆
19、 C 的中心在原点， 焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24xy的焦点，离心率等于2 55。（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点 P 为椭圆上一点， 弦 PA、PB 分别过焦点F1、F2， （ PA、PB 都不与 x 轴垂直， 其点 P的纵坐标不为0） ，若111222,PFF A PFF B，求12的值。18.如图，在平面直角坐标系xoy中，M,N 分别是椭圆12422yx的顶点，过坐标原点的直线交椭精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师精编优秀教案圆于 P,A两点，其中点 P 在第一象限，过P 作x轴的垂线，垂足为C。连结 AC，并延长交椭圆于点 B。设直线 PA的斜率为 k 。（1）若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值；(2) 当2k时，求点 P到直线 AB 的距离 d ；（3）对任意的0k，求证：PBPA。C解析：本题主要考查椭圆的标准方程及椭圆的几何性质、直线方程、直线的垂直关系，点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是B、C 级要求的综合，中档题。恰当应用椭圆的概念和几何性质，可以提高运算效率xyBPOAMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页