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1、1 高等流体力学练习题第一章 场论基本知识第一节 场的定义及其几何表达1、（RX21） 设点电荷 q 位于坐标原点， 则在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产 生 的 电场 强度 ，由 电 学 知 为 ：34qErr， 其中 为 介 质系 数 ，rxiyjzk为 M 点的矢径， rr 。求电场强度的矢量线。2、（RX22） 求矢量场22()Axziyzjxyk， 通过点 M(2, -1, 1)的矢量线方程。第二节 梯度1、（RX32）设222rxyz 为点 M(x, y, z)的矢径的模，试证明：rgradrr。2、（RX33） 求数量场 u=xy2+yz3在点 （2， 1， 1） 处
2、的梯度及在矢量22lijk方向的方向导数。3、（RX34）设位于坐标原点的点电荷q，由电学知，在其周围空间的任一点M(x, y, z)处所产生的电位为：4qvr，其中 为介质系数，rxiyjzk为 M 点的矢径， rr 。求电位 v 的梯度。4、（BW7）试证明ddrgrad，并证明，若ddra，则 a必为grad。5、（BW8）若 a grad，且是矢径 r 的单值函数，证明沿任一封闭曲线L的线 积分0La dr，并证明，若矢量a 沿任一封闭曲线L 的线 积分0La dr，则矢量 a必为某一标量函数的梯度。第三节 矢量的散度1、（RX39）设由矢径rxiyjzk构成的矢量场中，有一由圆锥面x
3、2+y2=z2及平面 z=H(H0)所围成的封闭曲面S。试求矢量场从 S内穿出 S的通量。2、（RX41）在点电荷q 所产生的电场中，任何一点M 处的电位移矢量为34qDrr，其中， r 为从点电荷 q 指向 M 点的矢径， rr 。设 S 为以点电荷为中心， R 为半径的球面，求从内穿出S 的电通量。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2 3、（RX44）若在矢量场A内某些点（或区域）上有0di
4、vA，而在其他点上都有0divA，试证明穿过包围这些点（或区域）的任一封闭曲面的通量都相等，即为一常数。4、（RX44）在点电荷 q 所产生的电场中， 求电位移矢量34qDrr在任何一点M 处的散度。5、（RX46）已知xyze，求()divr第四节 矢量的旋度1、（RX51） 设有平面矢量场Ayixj， l 为场中的星形线 x=Rcos3 ， y=Rsin3 。求此矢量场沿 l 正向的环量。2、（RX55）求2222sinyAxy z izyjx e k的旋度。3、（RX57）设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为123ijk 。由 运 动 学 我 们 知 道 ， 刚 体 上 某 一 点
5、处 的 线 速 度 为233112()()()vrzy ixz jyx k ，求此线速度场的旋度。4、（BW18）证明 rotgrad=0，并证明，若 rot a0，则 a必为grad。第五节 哈密尔顿算子1、（RX80）已知 u=3xsinyz，求()ur2、（RX80）设32422Axz ix yzjyz k，求该矢量在点M(1, 2, 1)处的旋度。3、（RX80）证明()2lSardla dS，其中 a为常矢。第六节 场论基本运算公式（见P67）1、 （BW19）证明场论各基本运算公式。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳
6、精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 3 第二章 张量基本知识第一节 指标1、 什么是自由指标和哑指标？2、 试简述约定求和法则。第二节 张量及其表示法1、 试简述二价张量的定义。2、 什么是零阶张量？它有几个分量？3、 试写出2223xxyzxAxyzyx yz xyyz的实体表示形式。第三节 几个特殊的张量1、 试写出单位张量的分量表示形式2、 （BW63）试证明二价张量可以唯一的分解为一个对称张量和一个反对称张量之和。第四节 二阶张量的运算1、 证明 ijjninABa b ee2、 证明当
7、 B为对称张量时，则a BBa3、 证明 Iaa4、 若将反对称张量 B写成：323121000B，证明B aa5、 证明 :iiIBb6、 证明pp7、 证明p ApApA8、 证明TVV ，其中TV为V的转置张量。9、 证明:P VP VPV第五节 各向同性张量1、 什么是各向同性张量？2、 证明二阶各向同性张量的形式必为ij，为标量。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 4 第三章 流体力学的
8、基本概念第一节 流体力学的基本研究方法1、试简述流体质点的概念和连续性假设。2、试分别简述描述流体流动的两种方法。第二节 流体微团的运动分析1、（LJ50）设初始时刻流体质点的速度与它到某固定界面的距离x。间的关系为：u=kx0/(x0+1)。k 为常数，此后流体质点各自都作等速直线运动。速度方向与该固定截面垂直。 (1)求速度场； (2)求变形速度张量；2、试简述亥姆霍兹速度分解定理。3、（QZC31）给定平面流场的极坐标表达式：vr=u(r, )，v=v(r, )，求流动平面上径向和周向的线变形率，以及平面上的角变形率。4、（GZ54）设 u=cy，v=0，w=0，求其变形张量和旋转张量。
9、第三节 作用在流体上的表面力1、试表述P n所表达的意义。2、试证明应力张量的对称性。3、（GZ61）设流体中的应力张量由下式给出000000pgzPpgzpgz，设有一平行于坐标轴的六面体，求（1）六面体六个面上的应力分布； （2）求作用于 z=0 及 x=0 面上的合力。4、（ GZ62） 流 体内 某处 的应 力 张 量 为012120201P，试 问 作 用于 平面x+3y+z=1 外侧（离开原点的一侧） 上的应力矢量是什么？这个平面上的应力向量的法向和切向分量是什么？第四节 随体导数1、（FY24 ）已知用拉格朗日变数表示的速度场为： u=(a+1)et-1 v=(b+1)et-1
10、式中： a,b 是 t=0 时刻流体质点的直角坐标值。试求： （1）t=2 时刻流场中质点的分布规律；（2）a=1,b=2 这个质点的运动规律；（3）流体质点的加速度场表达式。（4）欧拉变数下的速度和加速度表达式。2、（QP44 ）已知用欧拉变数表示的速度场为：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 5 u=x+t v=y+t 试求： （1）一般的迹线方程，令t=0 时的坐标为 a,b 。（2）在 t
11、=1 时刻过（ 1，2）点的质点的迹线。（3）在 t=1 时刻过（ 1，2）点的流线。（4）以拉格朗日变数表示的速度分布。3、证明DdVdDtt第五节 广义牛顿内摩擦定律1、试简述斯托克斯所提出的三个假设。2、试写出张量形式的应力本构方程。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 6 第四章 流体动力学基本方程第一节 四大基本方程1、（FY42 ）油从一铅垂管向下流到静止的水表面上，油漂浮在水面上形成如
12、图 所 示 的 对 称 图案。假设油与水永远不相混合，即油水之间有明显的分界面，试导出描述油在水面上蔓延开来的连续性方程。2、（GZ128 ）试对柱坐标形式的微六面体建立运动方程。3、试推导熵形式的能量方程。第二节 基本方程组及其定解条件1、（LX226 ）证明 0 2、互不参混流体的界面边界条件是什么？第三节 一些特殊形式的方程1、什么是正压流体？什么是斜压流体？2、试推导VVVFpVt。3、试写出不可压缩流体的运动微分方程。4、（LX139 ）在理想、不可压缩流体的平面定常流动中，若质量力有势，试证明沿流线涡量 保持不变。第四节 基本方程的求解思路1、（QZD59）如图所示的由上下两平行平
13、板所组成的槽道内充满了不可压缩流体的库埃特流动，上平板以速度U 相对于下平板运动。设槽道中同时存在x方向的压力梯度 dp/dx。流动为二维恒定流动。求该流场的速度分布。2、（QZD62）如图所示的二维槽道中的恒定流动，设槽道中同时存在 x 方向的压力梯度 dp/dx。求该流场的速度分布。3、（QZD77）如图所示的在两个倾斜的平行平板之间的库埃特名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 7 流动，下平板
14、固定， 上平板在 x 方向以速度 u 运动。当只考虑重力作用时，求其速度分布。4、试简述大雷诺数流动的边界层方法求解思路。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 8 第五章 正交曲线坐标系中的流体力学运动方程组第一节 正交曲线坐标1、什么是拉梅系数？2、（RX87）对于正交曲线坐标系，证明一般曲线的弧微分ds 与坐标曲线的弧微分 ds1, ds2, ds3之间有关系：2222123dsdsdsds。第
15、二节 柱面坐标和球面坐标1、（RX90）证明柱面坐标系和球面坐标系都是正交曲线坐标系。2、（RX91）求柱面坐标系和球面坐标系的拉梅系数。3、（RX92）求矢量2Ayzixzjxyk在柱面坐标系中的表达式。第三节 正交曲线坐标系的基本运算法则1、试写出哈密尔顿算子在曲线坐标系中的表达式2、试写出13eq和22eq的计算式。第四节 梯度、散度和旋度表达式。1、（GZ368）证明梯度、散度和旋度在曲线坐标系中的表达式。第五节 常用矢量、张量及方程组在曲线坐标系中的表达式1、（GZ370）证明算子 及（b）在曲线坐标系中的表达式。2、（GZ371）证明速度梯度张量、应变张量和旋转张量在曲线坐标系中的
16、表达式。3、（GZ372）证明 div P在曲线坐标系中的表达式。4、（GZ373）证明流体力学基本方程组在曲线坐标系中的表达式。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 9 第六章 不可压缩理想流体恒定流动的求解第一节 不可压缩理想流体恒定流动的求解思路1、不可压缩理想流体恒定流动的求解总思路是什么？2、（QZC38）试证明不可压缩理想流体恒定流动速度场散度和旋度确定速度场的唯一性定理。3、（QZC9
17、3）若壁面 的解析式为 F（x,y,z,t）0，速度为Vuivjwk时，试证明固体壁面得不可穿透条件变为：0FFFFuvwtxyw。4、（QZC99）试证明 Lamb 方程：212VVVFpt。5、（QZC94）写出流体绕过半径为R 的固定圆球表面的边界条件。6、（QZC95）写出椭球在流体中沿其长轴方向运动时，椭球面上理想流体运动边界条件。7、（QZC99）对于理想、正压流体恒定流动，质量力有势时，试证明沿涡线或流线有：20(,)( )2VP p LUiL8、（FY142 ）一个半径为R1的固定不动的大球壳中充满着不可压缩流体，有个半径为 R2的小球以速度 U(t) 在其中运动，试建立 t
18、时刻在固壁上所对应的边界条件。第二节 给定流场散度求速度场的特解1、（QZC39） 设速度场散度 (, , )是-函数， 即0, ,1Dd d d，D0是包含原点的任意域；当( , , )(0,0,0)时， (, , )0。求该速度场散度所产生的速度场。2、（QZC45）原静止无界无旋流场中，给定当arb时，Vqc；当 rb或 ra时，q=0。式中 a,b,c为常数，求速度场。第三节 给定流场旋度求速度场的特解1、（QZC41）设在无界流场中有一无限长的细直涡管，涡管强度为，求该涡管周围的诱导速度。2、（GZ232）求圆周形涡所感应的速度场。第四节 无旋无散度速度场的解1、试证明 Helmho
19、ltz 方程：0DVDt2、试简述 Friedman定理3、试简述有界单连域中 解的唯一性条件名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 10 4、试简述有界双连通域中解的唯一性条件5、试简述无界单连域中 解的唯一性条件6、试简述无界双连通域中解的唯一性条件7、试证明偶极流的势函数：2cos4Mr8、试证明三维半体绕流的势函数：cos4QUrr9、试证明兰金体绕流的势函数：12cos44QQUrrr10、
20、试证明圆球绕流的势函数：32cos2aUrr11、试证明圆球绕流：20291sin142pppCU名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 11 第七章 复变函数基本知识（西交大）第一节 复数及其运算详细学习掌握复变函数习题全解全析 . 精品课堂中有关下列内容的相应例题：一、复数的概念二、复数的几何表示三、复数的乘幂和方根第二节 复变函数的概念详细学习掌握复变函数习题全解全析 . 精品课堂中有关下列内
21、容的相应例题：一、复变函数二、映射的概念第三节 解析函数详细学习掌握复变函数习题全解全析 . 精品课堂中有关下列内容的相应例题：一、解析函数的概念二、函数解析的充要条件三、初等函数第四节 共形映射详细学习掌握复变函数习题全解全析 . 精品课堂中有关下列内容的相应例题：一、共形映射的概念二、分式线性映射三、几个初等函数所构成的映射四、施瓦兹克里斯托费尔映射名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 12
22、第八章 不可压缩理想流体恒定平面无旋流动速度场的复变函数求解第一节 复势函数1、试写出复速度的表达式2、试证明均匀直线流的基本解为：iW zV ez3、试证明源汇流的基本解为：0ln2QW zzz4、试证明点涡的基本解为：0ln2W zzzi5、试证明涡源的基本解为：0ln22QW zzzi第二节 镜像法1、（HM116 ）设 x 轴是固壁，在上半平面的点 （0，b）处有一个强度为 Q的点源。试求壁面上的速度分布式，并指出其最大值时的位置。2、（HM133 ）设有一个半径为 a 的圆柱体， 在点（b，0）有一个强度为 Q的点源，在点（ -a ，0）和点（ a，0）各有一个强度为Q/2 的点汇，
23、求流动的速度势。（0ba） ，试求点涡的运动速度以及圆周上的速度分布。第三节 共形映射法的基本理论1、（GZ308）通过 =F(z)，把物理平面 z 上比较复杂的边界映射到辅助平面上比较简单的边界，证明平面上的等势线与流线对应到物理平面上仍为等势线与流线。2、（GZ309）通过 =F(z)，把物理平面 z 上比较复杂的边界映射到辅助平面上比较简单的边界，证明平面上的速度环量与流量对应到物理平面上具有相同的速度环量和流量。3、（QP229 ）分别求下两图所示流场的复势，在A3点有流量 Q流入域中。4、（FY268 ）求下图所示流场的复势。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -
24、 - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 13 5、（FY269 ）求矩形渠道入口处流动的复势。第四节 儒可夫斯基翼型的求解1、试简述库塔儒可夫斯基条件及其原因2、证明在平面无旋流动中绕库塔-儒可夫斯基翼型的环量为： =-2aVsin(+)。3、试简述儒科夫斯基升力定理名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共
25、16 页 - - - - - - - - - 14 第九章 边界层的求解第一节 边界层理论1、试写出二维、忽略质量力、不可压缩流体、定常流动的边界层微分方程2、试简述边界层的流动特点第二节 边界层微分方程的相似性解1、什么是边界层方程的相似解？2、试证明对 m 为常数的 U=Cxm流动，在21xgmU坐标下具有相似性解。3、（HM257 ）试求势流为点汇流动的边界层相似解。如图所示， 点汇位于坐标原点，x 轴为壁面，势流速度为U(x)=-A/x 。4、（LX261 ）半无限长平板吹气层流边界层，壁面上吹气规律如图所示 已知平板上侧边界层内流动具有相似性解，试用相似变换式建立关于f( ) 的方程
26、及边界条件第三节 边界层的近似解1、（QZC292）试推导卡门动量积分方程22(2)2feecdudHdxudx2、在伯尔豪森法边界层的近似求解中，采用那些边界条件来确定速度分布23401234uaaaaaU中的常数？3、（HM259 ）设平面边界层的来流速度为U，板面上有连续分布的小孔。通过小孔吸气，使流体以速度v0（常数）沿小孔流出，试证明这种吸吮壁面的平板边界层动量积分关系式为：200UUvdxd（注：莱布尼兹积分式为dx)x(dA)A,x(fdx)x(dB)B, x(fdyxfdy)y,x(fdxd)x(B)x(A)x(B)x(A）4、（HM261 ）若平板层流边界层的速度分布式为u/
27、U=2-23+4, 试用动量积分关系式计算其边界层厚度及壁面切应力关系式。5、（SM506 ）已知空气以 V15m s 的速度平行流过光滑平板，空气的运动粘性系数 =1.5105m2s，试确定：(1) 在离平板前缘 200mm 处的边界层厚度，(2) 在 200mm 处的边界层中，速度u 达到 0.5V值时的位置离板面的距离名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 15 h，(3) 在 200mm 处
28、的边界层中，在离扳面h 距离处 v 速度分量的大小。6、（LJ263）在一些工程问题中， 为防止边界层分离或考虑物体的受热能力，在物面上开有许多小孔，利用特殊装置，通过小孔吸气或放气，这时物面上流体质点将有法向速度设某不可压缩流体以常速度U纵向绕此平板流动时，平板表面流体的法向速度为常数。试导出边界层的动量积分关系如果把速度剖面近似地表示为u/U=y/ 。 是边界层厚度， 试确定 随 x 的变化规律。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 16
29、 页 - - - - - - - - - 16 第十章 紊流的求解第一节 紊流及其基本方程1、层流和紊流的主要区别有哪些？2、工程上为什么不能用原已推导的连续性方程和运动方程直接求解紊流流动？第二节 雷诺应力及相关方程1、试说明粘性和雷诺应力的机理相同和不同之处。2、试简述紊流的平均动能方程和脉动动能方程中各项的物理意义。3、试从雷诺方程出发，推导二维不可压缩流体紊流边界层的运动微分方程。第三节 紊流模式理论1、试写出雷诺应力的一般表达式2、什么是 Boussinesq零方程模型？它的适用条件是什么？3、什么是 Prandtl 零方程模型？它的适用条件是什么？4、试写出一方程模型中涡粘度的表达
30、式5、试写出二方程模型中涡粘度的表达式第四节 边界条件1、试简述紊流边界层的分层结构2、试写出时均速度的壁面定律3、试根据紊流边界层的脉动动能方程1121221222()()jiijijuuuuKKpuuu uuKxxxxxxx， 说明影响脉动动能的因素及其能量输运规律。4、试推导21KUC5、试写出紊动能耗散率的边界条件6、试简述自由边界的边界条件第五节 平面、忽略质量力、不可压、定常、自由紊流射流的求解1、平面、忽略质量力、不可压、定常、自由紊流射流的基本特点是什么？2、试推导20FFF名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -