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1、1 高考数学填空题解题技巧数学填空题在新课标高考数学试卷中总计4 题， 20 分，占总分的14%。它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给
2、定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题。在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，所以对正确性的要求比解答题更高、更严格，考试说明中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”。为此在解填空题时要做到：快运算要快，力戒小题大作；稳变形要稳，不可操之过急；全答案要全，力避残缺不齐；活解题要活，不要生搬硬套；细审题要细，不能粗心大意。（一）数学填空题的解题方法1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法。它是解填空题的最基本、最常用的方法。使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质
3、，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。例 1、乒乓球队的10 名队员中有3 名主力队员，派5 名参加比赛。3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_种（用数字作答） 。解 ：三名主力队员的排法有33A种，其余7 名队员选2 名安排在第二、四位置上有27A种排法，故共有排法数33A27A=252 种。例 2、102(2)(1)xx的展开式中10 x的系数为。解：10201019281010210101010(2)(1)(242 )(1)xxC xC xC xCx得展开式中10 x的系数为010C2104C=179。例 3、已知函
4、数21)(xaxxf在区间), 2(上为增函数，则实数a的取值范围是。解：22121)(xaaxaxxf， 由复合函数的增减性可知，221)(xaxg在),2(上为增函数， 021a，21a。2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当 特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论。这样可大大地简化推理、论证的过程。例 4、在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，如果 a、b、c 成等差数列，则CA
5、CAcoscos1coscos解法一 ：取特殊值a3, b4, c5 ,则 cosA,54cosC0, CACAcoscos1coscos45。解法二 ：取特殊角ABC600cosAcosC21,CACAcoscos1coscos45。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2 例 5、如果函数2( )f xxbxc对任意实数t都有(2)(2)ftft，那么(1),(2),(4)fff的大小关系是。解 ： 由 于(2)(2)ftft， 故 知( )f x的 对 称 轴 是2x。 可 取 特 殊 函 数2( )(2)f xx
6、， 即 可 求 得(1)1,(2)0,(4)4fff。(2)(1)(4)fff。例 6、已知 SA，SB，SC 两两所成角均为60，则平面SAB 与平面 SAC 所成的二面角为。解： 取 SA=SB=SC，则在正四面体SABC 中，易得平面SAB 与平面 SAC 所成的二面角为1arccos3。例 7、已知,m n是直线，,是平面，给出下列命题：若,，则；若,nn，则；若内不共线的三点到的距离都相等，则；若,nm，且n，m，则；若,m n为异面直线，n，n，m,m，则。则其中正确的命题是。 （把你认为正确的命题序号都填上）解： 依题意可取特殊模型正方体AC1（如图），在正方体 AC1中逐一判断
7、各命题，易得正确的命题是。3、 数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能 根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到 数中思形，以形助数，并通过对图形的 直观 分析、 判断 ，则往往可以简捷地得出正确的结果。例 8、已知向量ar=)sin,(cos， 向量br=)1,3(，则|2arbr|的最大值是解：因| 2 | |2abrr，故向量2ar和br所对应的点A、B 都在以原点为圆心，2 为半径的圆上，从而|2arbr|的几何意义即表示弦AB 的长，故 |2arbr|的最大值为4。例 9、 如果不等式xaxx) 1(42的解集为 A， 且20|xxA， 那么实数a的取值范围是。解：根据不
8、等式解集的几何意义，作函数24xxy和函数xay)1(的图象（如图） ，从图上容易得出实数a的取值范围是,2a。例 10、 设函数f(x) 13x312ax2 2bx c若当x（ 0，1）时， f( x)取得极大值； x（ 1，2）时， f(x)取得极小值，则b- 2a - 1的取值范围是解：f (x) x2 ax 2b，令f ( x)0，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，f(1)0f(2)0， 得a+2b+10a+b+20，在 aob 坐标系中，作出上述区域如图所示，而b- 2a - 1的几何意义是过两点P(a，b)与 A(1，2)的直线斜率，而P(a，
9、b)在区域内，由图易知 kPA（14，1） 4、等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果。例 11、 不等式23axx的解集为),4(b，则a_，b_。解：设tx，则原不等式可转化为：,0232tat a 0，且 2 与)4(bb是方程0232tat的两根，a b o A (1,2) (3,1) (1,0) 2 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页3 A B C D A1B1C1D1 由此可得：36,81ba。例12、不论k为何实数，直线1kxy与圆04222
10、22aaaxyx恒有交点，则实数a的取值范围是。解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆42)(22ayax，31a。5、构造法： 根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法。例 13、如图，点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PDABCD ，PD=AD ，则 PA 与 BD 所成角的度数为。解：根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得 PA 与 BD 所成角为60。例 14、4 个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的 4 个盒中，则只有1 个空盒的放法共有种（用数字作答）。解：符合条件的放法是：有一个盒中放2
11、 个球，有 2 个盒中各放1 个球。因此可先将球分成3 堆（一堆2 个，其余 2 堆各 1 个，即构造了球的“堆”） ，然后从4 个盒中选出3 个盒放3 堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有2344144C A（种） 。例 15、椭圆x29+ y24=1 的焦点 F1、F2，点 P 是椭圆上动点，当F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是解：构造圆 x2y25，与椭圆x29+ y24=1 联立求得交点x02 95x0（355，355）6、分析法： 根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论。例 16、 如右图，在直四棱柱1111ABCDA B C D中，当 底 面 四 边 形
12、满 足 条 件时，有111ACB D（填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能性的情形）。解 ： 因 四棱柱1111ABCDA B C D为直四棱柱，故11AC为1A C在面1111A B C D上的射影， 从而要使111ACB D，只要11B D与11AC垂直，故 底面四边形1111A B C D只要满足条件11B D11AC即可。例 17、以双曲线2213xy的左焦点F，左准线 l 为相应的焦点和准线的椭圆截直线3ykx所得的弦恰好被x轴平分，则k 的取值范围是。解：左焦点 F 为（ 2，0） ，左准线l：x 32，因椭圆截直线3ykx所得的弦恰好被x 轴平分，故根据椭圆的对称性知，
13、椭圆的中心即为直线3ykx与 x 轴的交点3(,0)k，由32k，得 0 k 32。（二）减少填空题失分的检验方法1、回顾检验例 18、 满足条件且21cos的角的集合为。错解：,2134cos,2132cos.3432或检验： 根据题意，答案中的34不满足条件，应改为32；其次，角的取值要用集合表示。故正确答案为.32,322、赋值检验。若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误。例 19、 已知数列na的前 n 项和为1232nnSn，则通项公式na= 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页
14、，共 5 页4 错解：, 161)1(2) 1(3123221nnnnnSSannn.16nan检验： 取 n=1 时，由条件得611Sa，但由结论得a1=5。故正确答案为).2( 16),1(6nnnan3、逆代检验。若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错。例 20、 方程izz31|3的解是。错解： 设),(Rbabiaz，则ibibaa313)3(22，根据复数相等的定义得.33,1322bbaa解得.1,431, 0baba或。故.43iziz或检验： 若iz，则原方程成立；若iz43，则原方程不成立。故原方程有且只有一解z=-
15、i. 4、估算检验。当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误。例 21、 不等式xxlg1lg1的解是。错解： 两边平行得21lg(1lg)xx，即lg(lg3)0, 0lg3xxx，解得3110 x。检验：先求定义域得1lg1, 1lg11.101xxxx则若，原不等式成立；若xxxlg1lg1,1101时，原不等式不成立，故正确答案为x1。5、作图检验。当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错。例 22、 函数|1|log|2xy的递增区间是。错解：)., 1(检验： 由),1( |)1 (log|),1
16、( |)1(log|22xxxxy作图可知正确答案为).,2)1,0和6、变法检验 。一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误。例 23、 若),(191Ryxyx，则yx的最小值是。错解：, 6,692911xyxyxyyx.122 xyyx检验： 上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到。换一种解法为：,169210910)91)(yxxyyxxyyxyxyx.16的最小值为yx7、极端检验。当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误。例 24、 已知关于 x 的不等式01)2()4(22xaxa的解集是空集，求实数a 的取值范围。错解： 由0)4(4)2(22aa，解得.562a检验： 若 a=- 2，则原不等式为01，解集是空集，满足题意；若56a，则原不等式为02580642xx，即0)58(2x，解得85x，不满足题意。故正确答案为.562a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5 切记：解填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，“一知半解”。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页