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1、第 1 页 共 9 页高考导数题型分析及解题方法本知识单元考查题型与方法：与切线相关问题（一设切点，二求导数= 斜率=2121yyxx，三代切点入切线、曲线联立方程求解）；其它问题（一求导数，二解)(xf=0 的根若含字母分类讨论，三列3 行 n列的表判单调区间和极值。结合以上所得解题。）特别强调： 恒成立问题转化为求新函数的最值。导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造，一对多涉及到求和转化。关注几点：恒成立：（1）定义域任意 x 有( )f xk, 则min( )f x常数 k；（2）定义域任意 x 有( )f xk, 则max( )f x常数 k恰成立：（1）对定义域内任意 x 有(
2、 )( )f xg x恒成立，则min( )- ( )0,f x g x【】（2）若对定义域内任意 x 有( )( )f xg x：恒成立，则max( )- ( )0f x g x【】能成立：（1）分别定义在 a,b 和c,d 上的函数( )( )f xg x和，对任意的1 , ,xa b存在2 ,xc d使得12()()f xg x，则maxmax( )( )f xg x（2）分别定义在 a,b 和c,d 上的函数( )( )fxg x和，对任意的1 , ,xa b存在2 ,xc d使得12( )()f xg x，则minmin( )( )f xg x一、考纲解读考查知识题型：导数的概念，导
3、数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值；证明不等式、求参数范围等二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。132( )32f xxx在区间1,1上的最大值是 2 2已知函数2)()(2xcxxxfy在处有极大值，则常数c 6 ；3函数331xxy有极小值1 ,极大值 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页第 2 页 共 9 页题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线34yxx在点1, 3处的切线方程是2yx2若曲线xxxf4)
4、(在 P点处的切线平行于直线03yx，则 P点的坐标为（1，0）3若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂直，则l的方程为430 xy4求下列直线的方程：（1）曲线123xxy在 P(-1,1)处的切线；（2）曲线2xy过点 P(3,5) 的切线；解： （1）123|yk231) 1 , 1(1x/2/23上，在曲线点xxyxxyP所以切线方程为0211yxxy即，（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00yxA，则200 xy又函数的导数为xy2/，所以过),(00yxA点的切线的斜率为0/2|0 xykxx，又切线过),(00yxA、P(3,5) 点，所以有35200
5、0 xyx，由联立方程组得，255110000yxyx或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201xk；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202xk；所以所求的切线有两条，方程分别为251012)5(1025)1(21xyxyxyxy或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1已知函数)1(, 1()(,)(23fPxfycbxaxxxf上的点过曲线的切线方程为y=3x+1 （）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；（）在（）的条件下，求函数)(xfy在 3，1 上的最大值；（）若函数)(xfy在区间 2，1 上单调递增，求实数b 的取值范围解： （1）由.23)(
6、,)(223baxxxfcbxaxxxf求导数得过)1(, 1()(fPxfy上点的切线方程为：).1)(23() 1(),1)(1() 1(xbacbayxffy即而过.13)1(, 1)(xyfPxfy的切线方程为上故3023323cabacaba即124,0)2(,2)(bafxxfy故时有极值在由得 a=2 ，b=4，c=5 .542)(23xxxxf（2）).2)(23(443)(2xxxxxf当; 0)(,322; 0)(,23xfxxfx时当时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页第 3 页 共 9 页13
7、)2()(.0)(,132fxfxfx极大时当又)(,4) 1(xff在 3，1 上最大值是13。（ 3）y=f(x)在 2，1 上单调递增，又,23)(2baxxxf由知 2a+b=0。依题意)(xf在 2，1 上恒有)(xf0，即.032bbxx当6, 03)1()(,16minbbbfxfbx时；当bbbfxfbx, 0212)2()(,26min时；当.60,01212)(,1622minbbbxfb则时综上所述，参数b 的取值范围是),02已知三次函数32( )f xxaxbxc在1x和1x时取极值，且( 2)4f(1) 求函数( )yf x的表达式； (2) 求函数( )yf x的
8、单调区间和极值；(3) 若函数( )()4(0)g xf xmm m在区间3, mn上的值域为 4,16，试求m、n应满足的条件解： (1) 2( )32fxxaxb，由题意得，1,1是2320 xaxb的两个根，解得，0,3ab再由( 2)4f可得2c3( )32f xxx (2) 2( )333(1)(1)fxxxx，当1x时，( )0fx；当1x时，( )0fx；当11x时，( )0fx；当1x时，( )0fx；当1x时，( )0fx函数( )f x在区间(, 1上是增函数；在区间 1, 上是减函数；在区间1,)上是增函数。函数( )f x的极大值是( 1)0f，极小值是(1)4f(3)
9、 函数( )g x的图象是由( )f x的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的，所以，函数( )f x在区间 3,nm上的值域为 44,164 mm（0m） 而( 3)20f，4420m，即4m于是，函数( )f x在区间 3,4n上的值域为 20, 0令( )0f x得1x或2x由( )f x的单调性知，142n剟，即36n剟综上所述，m、n应满足的条件是：4m，且36n剟3设函数( )()()f xx xa xb（ 1）若( )f x的图象与直线580 xy相切， 切点横坐标为，且( )f x在1x处取极值， 求实数,a b的值；精选学习资料 - - - - - - - - -
10、名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页第 4 页 共 9 页（ 2）当 b=1 时，试证明：不论a 取何实数，函数( )f x总有两个不同的极值点解： （1）2( )32().fxxab xab由题意(2)5,(1)0ff，代入上式，解之得：a=1，b=1（ 2）当 b=1 时，( )0fx令得方程232(1)0.xaxa因,0)1(42aa故方程有两个不同实根21,xx不妨设21xx，由)(3)(21xxxxxf可判断)(xf的符号如下：当时，1xx)(xf；当时，21xxx)(xf；当时，2xx)(xf因此1x是极大值点，2x是极小值点 ，当 b=1 时，不论a 取
11、何实数，函数( )f x总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象1如右图：是f （x）的导函数，)(/xf的图象如右图所示，则f （x）的图象只可能是（ D ）（ A）（B）（C）（D）2函数的图像为14313xxy( A ) 3方程内根的个数为在)2, 0(076223xx ( B ) A 、0 B、1 C、 2 D、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数.10,3231)(223abxaaxxxf（1）求函数)(xf的单调区间、 极值 .（2）若当2, 1aax时，恒有axf|)(|，试确定 a 的取值范围 . 解： （1）22( )43fxxaxa=(
12、3 )()xa xa，令( )0fx得12,3xa xa列表如下：x （- ， a） a （a， 3a）3a （3a，+）( )fx- 0 + 0 - x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y y 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 6 6 6 6 y x -4 -2 o 4 2 2 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页第 5 页 共 9 页( )f x极小Z极大( )f x在（ a， 3a）上单调递增，在（- ， a）和（ 3a，+）上单调
13、递减xa时，34( )3fxba极小，3xa时，( )fxb极小（ 2）22( )43fxxaxa01a，对称轴21xaa，( )fx在a+1 ， a+2 上单调递减22(1)4 (1)321Maxfaa aaa，22min(2)4 (2)344faa aaa依题|( )|fxa|Maxfa，min|fa即| 21|,| 44 |aaaa解得415a，又01aa 的取值范围是4,1)52已知函数f （x） x3ax2bxc 在 x23与 x1 时都取得极值（1）求 a、 b 的值与函数f （x）的单调区间（ 2）若对 x 1， 2 ，不等式f （x）c2 恒成立，求c 的取值范围。解： （1）
14、f （x） x3ax2bxc，f （x） 3x22axb 由 f （23）124ab093 ，f （1） 32ab0 得 a12，b 2 f （x） 3x2x2（ 3x2） （x1） ，函数 f （ x）的单调区间如下表：x （，23）23（23，1）1 （ 1，）f （x） 0 0 f （x）极大值极小值所以函数f （x）的递增区间是（，23）与（ 1，） ，递减区间是（23， 1）（ 2）f （x） x312x22xc，x 1，2 ，当 x23时， f （x）2227c 为极大值，而f （2） 2c，则 f （2） 2c 为最大值。要使 f （x）c2（x 1，2 ）恒成立，只需c2 f
15、（2） 2c，解得 c 1 或 c 2 题型六：利用导数研究方程的根1已知平面向量av=(3, 1). bv=(21,23). （ 1）若存在不同时为零的实数k 和 t ，使xv=av+(t2 3)bv，yu v=-kav+tbv，xvyu v，试求函数关系式k=f(t) ；(2) 据(1) 的结论，讨论关于t 的方程 f(t)k=0 的解的情况 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页第 6 页 共 9 页解： (1) xvyu v，x yv u v=0 即av+(t2-3) bv (-kav+tbv)=0. 整理后
16、得 -k2av+t-k(t2-3) a bv v+ (t2-3)2bv=0 a bv v=0，2av=4，2bv=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即 k=41t(t2-3) (2) 讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 41t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数 . 于是 f (t)= 43(t2-1)= 43(t+1)(t-1). 令 f (t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时， f(t) 、f(t)的变化情况如下表：t (- ,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ )f(t) + 0 - 0 + F(t) 极大值极小值当 t=
17、1 时， f(t)有极大值， f(t)极大值 =21. 当 t=1 时， f(t)有极小值， f(t)极小值 =21函数 f(t)=41t(t2-3)的图象如图13 21 所示，可观察出：(1) 当 k21或 k21时, 方程 f(t)k=0 有且只有一解；(2) 当 k=21或 k=21时, 方程 f(t)k=0 有两解；(3) 当21k21时, 方程 f(t)k=0 有三解 . 题型七：导数与不等式的综合1设axxxfa3)(,0 函数在), 1 上是单调函数 . （ 1）求实数a的取值范围； （2）设0 x1，)(xf 1，且00)(xxff，求证：00)(xxf. 解： （1）,3)(
18、2axxfy若)(xf在, 1上是单调递减函数，则须,3,02xay即这样的实数a 不存精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页第 7 页 共 9 页在 . 故)(xf在, 1上不可能是单调递减函数. 若)(xf在,1上是单调递增函数，则a23x，由于33,12xx故. 从而 0a3. （ 2） 方法 1、 可知)(xf在,1上只能为单调增函数. 若 1)(00 xfx， 则,)()(000矛盾xxffxf若1)(),()(,)(000000 xfxxfxffxxf即则矛盾，故只有00)(xxf成立 . 方法2：设00)(
19、,)(xufuxf则，,03030 xauuuaxx两式相减得00330)()(xuuxaux020200, 0)1)(xauuxxux1,u 1，30,32020auuxx又，012020auuxx2已知a为实数，函数23( )()()2f xxxa（1）若函数( )f x的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（ 2）若( 1)0f， （）求函数( )f x的单调区间（）证明对任意的12( 1,0)xx、，不等式125|()()|16f xfx恒成立解：3233( )22f xxaxxaQ，23( )322fxxaxQ函数( )fx的图象有与x轴平行的切线，( )0fx有实数解2344
20、302a，292a，所以a的取值范围是332222U（，）( 1)0fQ，33202a，94a，2931( )33()(1)222fxxxxx由( )0,1fxx或12x；由1( )0,12fxx( )f x的单调递增区间是1(, 1),(,)2；单调减区间为1( 1,)2易知( )f x的最大值为25( 1)8f，( )f x的极小值为149()216f，又27(0)8f( )f x在 1 0，上的最大值278M，最小值4916m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页第 8 页 共 9 页对任意12,( 1,0)x x
21、，恒有1227495|()() |81616f xf xMm题型八：导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷的顶点O到底面中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 OO1为x m，则41x由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3xxx， （单位：m）故底面正六边形的面积为：(43622)28xx=)28(2332xx， （单位：2m）帐篷的体积为：)(V228233xxx）（ 1)1(31x)1216(233xx（单位：3m）求导得)312(23V2xx）（。令0V）（x，解得2x（不合
22、题意，舍去） ，2x，当21x时，0V）（x，）（xV为增函数；当42x时，0V）（x，）（xV为减函数。当2x时，）（xV最大。答：当 OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m。2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米 / 小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080yxxx已知甲、乙两地相距100 千米。（ I ）当汽车以40 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（ II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解： （I ）当40 x时，汽车从甲地到乙地行驶了10
23、02.540小时，要耗没313(40408)2.517.512800080（升） 。（II ）当速度为x千米 / 小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x小时，设耗油量为( )h x升，依题意得3213100180015( )(8).(0120),1280008012804h xxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页第 9 页 共 9 页332280080( )(0120).640640 xxh xxxx令( )0,h x得80.x当(0,80)x时，( )0, ( )h xh x是减函数；当(80,120)
24、x时，( )0, ( )h xh x是增函数。当80 x时，( )h x取到极小值(80)11.25.h因为( )h x在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以40 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 升。当汽车以80 千米 / 小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 升。题型九：导数与向量的结合1 设 平 面 向 量3113(),().2222abrr，若 存 在 不 同 时 为 零 的 两 个 实 数s 、 t及 实 数k ， 使，且yxbtasybktax,)(2（ 1）求函数关系式( )Sf t； （2）若函数( )Sf t
25、在，1上是单调函数，求k 的取值范围。解： （1）).23,21(),21,23(ba10aba b?rrrr，2222223,0000 xy xyatk bsatbsat tk btstsk a bstktsf ttkt?ru r ru rrrrrrrrr又，得（）（），即（） - （）。（），故（ ）。（ 2）上是单调函数，）在（且）（132tfkttf则在, 1上有00)(）（或tftf由3)3(3030)(min222ktktkkttf；由223030)(tkkttf。因为在 t , 1上23t是增函数，所以不存在k，使23tk在, 1上恒成立。故k 的取值范围是3k。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页