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1、精选优质文档-倾情为你奉上思想方法专题数形结合思想 【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与
2、图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5构建立体几何模型研究代数问题；6构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7构建方程模型，求根的个数；8研究图形的形状、位置关系、性质等。三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1准确画出函数图象，注意函
3、数的定义域；2用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。【核心要点突破】 要点考向1：利用数学概念或数学式的几何意义解题例1：实系数一元二次方程x2+ax+
4、2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：（1）点（a,b）对应的区域的面积；（2）的取值范围；（3）(a-1)2+(b-2)2的值域思路精析：列出a,b满足的条件画出点(a,b)对应的区域求面积根据的几何意义求范围根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内，由此可得不等式组由，解得A（-3，1）由，解得C（-1，0）在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区
5、域为ABC（不包括边界）（1）ABC的面积为（h为A到Oa轴的距离）（2）几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率由图可知（3）(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方，注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（1）连线的斜率；（2）之间的距离；（3）为直角三角形的三边；（4）图象的对称轴为x=只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法要点考向2：用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题例2：（1）已知：
6、函数f(x)满足下面关系：f(x+1)=f(x-1);当x-1,1时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（ ）(A)5 (B)7 (C)9 (D)10(2)设有函数f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x-4,0时，恒有f(x)g(x)，求实数a的范围思路精析：（1）画出f(x)的图象画出y=lgx的图象数出交点个数（2）f(x)g(x)变形为画出的图象画出的图象寻找成立的位置解析：（1）选C由题间可知，f(x)是以2为周期，值域为0，1的函数又f(x) =lgx，则x（0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共9个交点（2）f(x)g(x)，即，变形得，令，变形
7、得，即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆；表示斜率为，纵截距为1-a的平行直线系设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为，则有tan=,要使f(x)g(x)在x-4,0时恒成立，则成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1-a6,a-5注：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数（2）解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选
8、择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标要点考向2：数形结合在解析几何中的应用例3：已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是（）求椭圆的方程；（）若椭圆在第一象限的一点的横坐标为，过点作倾斜角互补的两条不同的直线，分别交椭圆于另外两点，求证：直线的斜率为定值；（）求面积的最大值解析：（）设椭圆的方程为由题意 2分解得 ， 所以椭圆的方程为4分（）由题意知，两直线，
9、的斜率必存在，设的斜率为，则的直线方程为.由得 .6分设，则，同理可得， 则，.所以直线的斜率为定值. 8分（）设的直线方程为.由得.由，得.10分此时，.到的距离为， 则.因为使判别式大于零，所以当且仅当时取等号，所以面积的最大值为13分注：1数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效2此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组），从而将问题解决要点考向2：数形结合在立体几何中的应用例4：如图1,在直角梯形中, 为线段
10、的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.() 求证:平面；() 求二面角的余弦值.解析:（）在图1中,可得,从而,故.取中点连结,则,又面面,面面,面,从而平面. 4分，又,.平面. 6分（）建立空间直角坐标系如图所示,则,. 8分设为面的法向量,则即,解得.令,可得.又为面的一个法向量，.二面角的余弦值为.注：1应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算2立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条
11、件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口【跟踪模拟训练】一、选择题（每小题6分，共36分）1.方程lgx=sinx的根的个数( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2已知全集U=R，集合A=x|x2-3x-103,则右图中阴影部分表示的集合为( )A(3,5) B(-2,+) C(-2,5) D(5,+ )3在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A=(x,y)|x+y1,且x0,y0，则平面区域B=(x+y,x-y)|(x,y)A的面积为（ ） (A)2 (B)1 (C) (D) 4函数图象如图，则函数 的单调递增区间为（ ）23yx0AB CD5不等式组有解，则
12、实数的取值范围是（ ）AB CD6已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是 （ ） 二、填空题（每小题6分，共18分）7复数(x-2)+yi，其中x、y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是 8.已知关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不相等的实根，则实数m的范围是_.9.设A=(x,y)|x2+(y-1)2=1,B=(x,y)|x+y+m0，则使AB成立的实数m的取值范围是_.三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分）10如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，且，点、分别在侧棱、上，且 （）
13、求证：平面；（）若，求平面与平面的所成锐二面角的大小 11如图，是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称M到L1、L2的距离分别是2 km、4km，N到L1、L2的距离分别是3 km、9 kin （1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程； （）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于km求 此厂离点0的最近距离（注：工厂视为一个点）12已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.(1)求f(x)在区间t,t+
14、1上的最大值h(t);(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案1【解析】选C.在同一坐标系中作出y=lgx与y=sinx的图象，如图.其交点数为3.2答案：B3作出不等式组表示的平面区域B，如图所示，根据图形可知该区域为等腰直角三角形，可求出面积，所以平面区域B的面积为14答案：D5答案：A6【解析】选B.根据对称性画出f(x)在（-3,0）上的图象如图，结合y=cosx在(-3,0), (0,3)上函数值的正负,易知不等式f(x)cosx0的解集是7【解析】由题意知，设，则k为过圆(x-2)
15、2+y2=1上的点及原点的直线斜率，作图如下：又由对称性，可得答案：答案：8【解析】令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1，其图象如图. 画直线y=m,由图象知当1m5时，方程有四个不相等的实根.答案：（1，5）9【解析】由于集合A，B都是点的集合,故可结合图形进行分析、求解.集合A是一个圆x2+(y-1)2=1上的点的集合,集合B是一个不等式x+y+m0表示的平面区域内的点的集合, 要使AB，则应使圆被平面区域所包含（如图），即直线x+y+m=0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有故m的取值范围是m-1.答案：m-110解：（）建立如图所示的空间直角坐标系又PA
16、=AD=2，则有P（0，0，2），D（0，2，0） 3分（）又7分（）设则有同理可得即得9分由而平面PAB的法向量可为故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的大小为12分11解析：（1）分别以、为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2，4），N（3，9）设MN所在抛物线的方程为，则有，解得所求方程为（23）5分 （说明：若建系后直接射抛物线方程为，代入一个点坐标求对方程，本问扣2分） （2）设抛物线弧上任意一点P（，）（23）厂址为点A（0，）（5t8，由题意得07分令，23，49对于任意的，不等式0恒成立（*）8分设，8.要使（*）恒成立，需0，即010分解得，的最小值为所以，该厂距离点
17、O的最近距离为6.25km12分12【解析】（1）f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.当t+14即t4时，f(x)在t,t+1上单调递减（如图），h(t)=f(t)=-t2+8t.(2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.(x)=x2-8x+6lnx+m,当x(0,1)时(x)0,(x)是增函数;当x(1,3)时,(x)0,(x)是增函数;当x=1或x=3时，（x）=0.(x)极大值=（1）=m-7,(x)极小值=（3）=m+6ln3-15.当x充分接近0时，（x）0,要使(x)
18、的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，即7mc (B)bc或bc中至少有一个正确 (C)bc (D)不能确定【解析】选C.f(x)=|x2+2x|的图象如图.要使关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数根，则关于f(x)的一元二次方程f2(x)+bf(x)+c=0有两个不同的根.且一个根在（0,1）内，另一个根为1.bc.5.若直线y=kx-1与曲线y=有公共点，则k的取值范围是_.【解析】曲线y=的定义域为1,3，且其图象为圆(x-2)2+y2=1的下半圆，如图所示，则直线y=kx-1要与曲线有公共点，则直线只能处于l1,l2之间，且可与l1、l2重合，则k的取值范围是0，1
19、.答案：0，16.已知有向线段PQ的起点P与终点Q的坐标分别为P(-1,1)，Q（2,2）.若直线l:x+my+m=0与有向线段PQ延长线相交，求实数m的取值范围. 8.集合A=x|-1x1,B=x|xa,(1)若AB=,求a的取值范围;(2)若AB=x|x1,求a的取值范围.【解析】(1)如图所示：A=x|-1x1B=x|xa,且AB=，数轴上点x=a在x=-1左侧,a-1.(2)如图所示：A=x|-1x1,B=x|xa且AB=x|x1,数轴上点x=a在x=-1和x=1之间，-1a1.9.如图,l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN.(1)证明ACNB;(2)若ACB=60,求NB与平面ABC所成角的余弦值.【解析】如图，建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1,则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0).(1)MN是l1、l2的公垂线，l1l2,l2平面ABN，l2平行于z轴.故可设C(0,1,m).于是 专心-专注-专业