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1、模块七不等式考纲解读高考大纲考试内容要求层次A B C 不等关系与不等式不等式的解法解一元二次不等式简单的线性规划用二元一次不等式组表示平面区域简单的线性规划问题利用基本不等式求最值用基本不等式解决简单的最大（小）值问题不等式的综合运用分析解读（1）了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用，明确各个性质中结论成立的前提条件. （2）掌握一元一次、一元二次不等式的解法. （3）会求含有参数的一元二次不等式. （4）会解简单的分式不等式、绝对值不等式等. （5）多考查线性目标函数的最值问题，兼顾面积、距离、斜率等问题. （6）能用线性规划的方法解决重要的实际问题，使收到的效益最大，耗
2、费的人力、物力资源最少 . （7）能够利用基本不等式求函数的最值，能熟练运用比较法、综合法证明不等式，注意掌握变形过程中的一些常用技巧；能够运用配方法思想、函数思想、 分类讨论思想来证明不等式. （8）求函数的定义域、值域；比较大小；确定参数的取值范围；利用不等式探讨函数的性质；利用不等式求最值；解决实际应用性问题. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页知识导航不等式实数的大小比较不等式的性质重要的不等式不等式的证明解不等式不等式的应用比较法分析法综合法反证法数学归纳法有理不等式无理不等式绝对值不等式指数不等式和对数
3、不等式考点剖析考点一不等式的概念和性质1. 不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2. 不等式的基本性质（1）（对称性）；（2）（传递性）（3）（加法单调性）（4）（同向不等式相加）.0;0;0babababababaabbacacbba,cbcabadbcadcba,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页（5）（异向不等式相减）（6）（7）（乘法单调性）（8）（同向不等式相乘）（异向不等
4、式相除）（倒数关系）（11）（平方法则）（12）（开方法则）3. 几个常用不等式（1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当abc时，取等号） ；（3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题） 。考点二不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解 . 特例：一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a 0) 解的讨论 . （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解dbcadcba,bcac
5、cba0,.bcaccba0,bdacdcba0,0(9)0,0ababcdcd11(10),0ab abab) 1,(0nZnbabann且) 1,(0nZnbabann且()()0()()0()()0;0()0()()fx gxfxfxfx g xg xg xg x()0()()()0()()fxfxgxg xfxgx定义域0)(0)()()(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对
6、值不等式 1 应用分类讨论思想去绝对值； 2 应用数形思想； 3 应用化归思想等价转化考点三不等式的证明1、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。2、常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1nnn nnn nnn11111121kkkkkkkkk考点四简单的线性规划1、涉及到的概念（1） 目标函数 : P=2x+y是一个含有两个变量 x 和 y 的 函数，称为目标函数. （2）可行域 : 约束条件所表示的平面区域称为可行域. 2)()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgx
7、f()()()()()(1)( )( );(01)( )( )(0,0)( ) lglgfxg xfxgxfxaaafxg xaaaf xg xab abfxab( )0( )0log( )log( )(1)( )0;log( )log( )(01)( )0( )( )( )( )aaaaf xf xf xg x ag xf xg xag xf xg xf xg x)()()()(0)()0)(),(0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
8、- - - - -第 4 页，共 14 页（3）整点 : 坐标为整数的点叫做整点（4）线性规划问题 : 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决（5）整数线性规划: 要求量取整数的线性规划称为整数线性规划. 2、方法技巧（1）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线（2）确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合， 则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域若直线不过原点，通常选择原点代
9、入检验（3）平移直线y=-kx+p 时，直线必须经过可行域（4） 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点（5）简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出， 其求解的格式与步骤是不变的：寻找线性约束条件， 线性目标函数；由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；在可行域内求目标函数的最优解. 考点六不等式的综合应用1. 利用均值不等式求最值：如果a1，a2R+，那么. 注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17 字方针。2. 求函数定义域、值域、方
10、程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等. 这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式. 3. 涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值. 4、不等式的恒成立, 能成立 , 恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和 “分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）（1）恒成立问题abba2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页若不等式Axf在区间D上恒成立 , 则等价于
11、在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上maxfxB（2） 能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立 , 则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立 , 则等价于在区间D上的minfxB. （3）恰成立问题若不等式Axf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Axf的解集为D；若不等式Bxf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Bxf的解集为D. 真题演练1.【2012 北京 ,1,5 分】已知集合A=x R|3x+2 0, B=xR|（ x+1）(x-3) 0 . 则 A B= A （-， -1） B （-1，-） C （
12、-,3 ） D (3,+) 举一反三1.1 【2012 重庆 ,2,5分】不等式0121xx的解集为 ( ) A.1 ,21 B.1 ,21 C.,121. D., 121,1.2 【 2012 山东 ,13,4分 】若 不等 式42kx的 解集 为13xx， 则实 数k_. 1.3【2011 辽宁 ,11,5分】函数)(xf的定义域为R，2)1(f，对任意Rx，2)(xf，则42)(xxf的解集为A （1，1）B （1，+）C （，1）D （， +）2323精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页2. 【2012 北京
13、 ,2,5分】设不等式组20, 20yx，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2 的概率是（A）（B）（C）（D）举一反三2.1 【 2011 福建 ,8,5分】已知O 是坐标原点，点A(-1,1） ，若点( , )M x y为平面区域212xyxy上的一个动点，则OA OM的取值范围是A.-1.0 B.0.1 C.0.2 D.-1.2 2.2 【2012 江苏 ,14,5分】已知正数a bc， ，满足：4ln53lnbcaacccacb，则ba的取值范围是。3. 【2008 北京 ,5,5分】若实数xy，满足1000 xyxyx，则23xyz的最小值是（）A0
14、 B1 C3D9 举一反三3.1 【2012 福建 ,9,5分】若函数 y=2x图像上存在点（ x，y）满足约束条件mxyxyx03203，则实数 m的最大值为422644精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页A12 B.1 C. 32 D.2 3.2 【2012 全国 ,13,5分】若x， y 满足约束条件则 z=3xy 的最小值为_ 3.3 【2012 四川 ,9,5分】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1 桶需耗A原料 1 千克、B原料 2 千克；生产乙产品1 桶需耗A原料 2 千克，B原料 1 千克。
15、每桶甲产品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400 元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12 千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元4.【2010 北京 ,7,5分】设不等式组1103305390 xyxyxy表示的平面区域为D，若指数函数xya的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（A） (1,3（B） 2,3（C） (1,2（D） 3,)举一反三4.1 【2012 山东 ,5,5分】已知变量, x y满足约束条件222441xyxyxy，
16、则目标函数3zxy的取值范围是（A）3,62（B）3, 12（C） 1,6（D）3 6,2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页4.2 【2012 安徽 ,11,5分】 若,x y满足约束条件：02323xxyxy； 则xy的取值范围为_4.3 【2012 江西 ,8,5分】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50 计，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量 / 亩年种植成本 / 亩每吨售价黄瓜4 吨1.2 万元0.55 万元韭菜6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利
17、润（总利润=总销售收入减去总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为A50，0 B30， 20 C20，30 D0，50 5.【2009 北京 ,10,5分】 若实数, x y满足2045xyxy则syx的最小值为 _. 举一反三5.1 【2012 辽宁 ,8,5分】设变量x，y 满足,15020010yyxyx则yx32的最大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 5.2 【2012 广东 ,5,5分】已知变量x， y 满足约束条件112yxyxy，则 z=3x+y 的最大值为A.12 B.11 C.3 D.-1 精选学习资料 - - - - - - -
18、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页5.3 【2012 陕西 ,14,5分】设函数，是由轴和曲线及 该 曲 线 在 点处 的 切 线 所 围 成 的 封 闭 区 域 ， 则在上 的 最 大 值为6. 【 2009 北京 ,13,5分】若函数1,0( )1( ) ,03xxxf xx则不等式1|( )|3f x的解集为_. 举一反三6.1【2011 辽宁 ,9,5分】设函数1,log11,2)(21xxxxfx，则满足2)(xf的x的取值范围是A1，2 B0 ，2 C1 ，+ D0 ，+ 6.2 【2009 天津 ,10,5分】ab10, 若关于x 的不等式
19、2()xb2()ax的解集中的整数恰有 3 个，则（A）01a（B）10a（C）31a（ D）63a6.3 【2012 浙江 ,17,4分】设aR，若x 0 时均有 (a1)x 1( x 2ax1) 0，则a_7.【2008 北京 ,13,5 分】已知函数2( )cosf xxx，对于 2 2，上的任意12xx，有如下条件：ln ,0( )21,0 xxf xxxDx( )yf x(1,0)2zxyD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页12xx；2212xx； 12xx其中能使12()()f xf x恒成立的条件序
20、号是举一反三7.1 【2012 浙江 ,9,5分】设 a 大于 0， b 大于 0.A若 2223abab ，则 ab B若 2223abab ，则 ab C若 2223abab ，则 abD若 2223abab ，则 ab7.2 【2012 湖北 ,6,5分】设是正数，且，则A B CD7.3【2012 江苏 ,13,5分】已知函数2( )()f xxaxb a bR，的值域为0)，若关于x 的不等式( )f xc的解集为(6)mm，则实数c 的值为轻松驿站令今人汗颜的杨一清数学政治思维明朝的历史真相被雪藏了许久，本世纪初明朝的价值得以被迅速扩大化。然而， 物极必反。当目光全部都投入到了帝王
21、将相的尔虞我诈、金戈铁马的时候，许多历史真实被人们忽略了。特别是在这个虚浮的时代。(摘自： 白银帝国：翻翻明朝的老账弘治十七年也就是公元1504 年的某一天，都察院左副都御史、督理陕西政马茶法、茶马互市的杨一清， 伏案看着奏报， 他是越看越高兴， 不禁提笔向皇帝陛下写了封奏章。他说：因为贩私茶的现象严重，早已经陈旧的茶马法规、贸易法则根本无法实行。此次，我用了 1570 余两银子收购茶叶78820 斤，换得马900 多匹。如果用银直接买马的话则至少需要 7000 余两。因为目前的茶叶价格是0.02 两一斤，马价一般为7.78 两，每匹马就要折茶, , , , ,a b c x y z22210
22、abc22240 xyz20axbyczabcxyz14131234精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页389 斤。而本次交易中，每匹马仅折茶87 斤左右，折算成银的话，每匹马仅值1.74 两，净利润约 6.04 两，净利润率高达347%。所以，万岁呀，为了国家急缺的战马，为了增加国家税收， 防止巨额利润流入奸商、走私犯手中， 朝廷应该实行招商买茶制度。国家不再统购统销，而是由商人自行买茶到指定地点销售，照章纳税。这次上书之后， 弘治皇帝批准了户部的建议，决定召集陕西、 山西的富商们进行茶叶招商引资。其后，杨一清再
23、次上书，再次为皇帝算了几道数学题。他说：招商买茶能否成功全赖定价。茶商为了利润绝对不会抬高收购价格，这样， 只要我们控制好运输价格，朝廷就能得利。当然，也不能为了得利，而故意让商人赔本，这样就没人买茶运茶了。 经过臣的测算，官商都满意的最佳点是，每 1000 斤运到茶马司给银50 两，其中茶价银 25 两、加工费和运费25 两。然而， 还有一个问题， 如果某一两家大型茶商买茶数量过多，就会挤占其他中小茶商的利益。这样，政府就可能被一两家或几家大型茶商钳制，从而影响国家法律施行。所以，每名茶商买茶不能超过1 万斤。按照以前的做法，官银1 万两，战马不过1000 匹(马价上升 )。按照上述方法，官
24、银1万两，可以买茶20 万斤 (茶价上升到每斤0.05 两 )，可买马将近3000 匹，平均67 斤茶叶换一匹马，差价为133 斤。由此，净利润高达200%。明代中前期， 明政府最大的心腹之患就是北方蒙古部落。到了弘治年间， 蒙古部落再次崛起，边关告急。弘治皇帝命令边关积极备战，然而却忽然发现战马不够了。明初茶马贸易每年可换来几十万匹马，而此时马匹却少得不够用了。为了增加战马， 孝宗急需能人来整顿茶马互市和苑马寺。经过考查， 兵部尚书刘大夏推荐南京太常卿杨一清为都察院左副都御史，督理陕西的茶法和马政。弘治十五年(1502 年)杨一清走马上任。杨一清发现，在边关对茶马贸易的管理本应是一体的，但实
25、际却是分头领导。例如，马政由太仆寺、 苑马寺负责， 由巡抚兼管， 茶马司由巡茶御史主持。二者各自为政， 互不配合。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页如此造成的结果是，茶马司只管以茶易马，只注意完成换马的数量却不重视马的质量。苑马寺只管将马分配给官军，不管马匹能否上阵。许多战马买来之后，相继病倒。为此，杨一清主张合二为一，统一管理，由巡茶御史统一管理。与此同时，他罢了苑马寺卿李克恭的官职，这家伙在任三年竟然使6400 多匹战马被人盗卖；还撤了灵武监正李谦，这家伙在北京借了高利贷，为了还钱到了灵武后四处搜刮。在罢免了
26、七八名办事不力的官员后，他又大举提拔一些资历比较浅的官员，如平凉通判张檄、泾荆州知州岳思忠等。他还把山西行太仆寺卿王琰与陕西行太仆寺卿袁宏进行对调。王琰的特点是作风凶悍，袁宏是作风稳健。显然，对于身处改革之中的他来说，王琰比袁宏更合适在他手下工作。除此之外， 对于在任上一直兢兢业业的陕西马政官员们，杨一清则为他们请功嘉奖，例如对苑马寺卿车霆等人。经过一番努力，陕西马政官场风气为之一变。同理，对茶政杨一清也如法炮制。然而， 上述努力只是处理了表面问题，本质的问题还没有涉及。根本问题是没有茶没有马怎么办呢？明初开始施行的开中制已经完全失效。当时，陕西的茶税只有2.6 万多斤，即使大规模地打击私茶之
27、后，也不过 4 万多斤。因此，他一方面查实陕西茶园实际面积、产量、茶户数等， 进行补税， 由此增加将近2 万斤的茶税； 另一方面则开始施行案例中提到的招商买茶制度。因为盐茶是商业税中的两大重点，在明代关于茶叶的法规和盐是相仿的。盐施行开中制，茶也是如此。 “ 招商纳米粮支茶引” 也是官方垄断生产、运输、销售的重要形式。但在边关地区，官府垄断是占主体，像盐那样商售的情况则主要在内地。杨一清在边关施行的招商买茶制度，解决了官方买茶中的腐败成本、运茶中的侵夺商民利益的问题。封建社会政府的话就是一切，尽管表面上说会给商民运费，然而，实际上很多地方政府应给的钱流进了官府或个人腰包，从而让商民运茶变成了一
28、种强制性徭役。在这方面， 朱元璋也曾经做过一些很流氓的事情。例如，为了应对边关安全问题，朱元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页璋曾经实行过 “ 运茶支盐 ” 制度，然而等到边关钱粮盐安顿好之后，又将其废除，致使大量商人受到伤害。直到弘治后期，杨一清才实行招商买茶制度，由商人进行运输，完成之后给予报酬或盐引等其他商品售卖权。从杨一清改革之后，官方运茶卖茶的比重越来越低，最低的时候只占 20%。当然，这是动态的比例。杨一清之所以对茶叶如此看重，朱元璋之所以甚至不惜杀了女婿也要整顿茶叶市场，除了边关贸易关系政权兴衰的原因之外，为了保证政府税收也是很重要的一个方面。很不幸的是，同盐一样，茶自明代初期开始就面临着走私问题。因为，利润非常大，许多人为此铤而走险。杨一清就差点被他的手下们杀害。（来源：东北网）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页