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1、导数的基础知识一导数的定义：0000000()()( )()|lim()( )( )( )limxxxxf xxf xyfxxxfxyxf xxf xyf xfxyx1.(1).函数在处的导数 : (2).函数的导数 :2. 利用定义求导数的步骤：求函数的增量：00()()yf xxf x；求平均变化率：00()()f xxfxyxx；取极限得导数：00()limxyfxx（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：0()CC为常数；1()nnxnx；11()()nnnxnxx；1()()mmnnnmmxxxn(sin)cosxx；(cos )sinxx()
2、xxee()ln (0,1)xxaaa aa且；1(ln) xx；1(log)(0,1)lnaxaaxa且法则 1：( )( )( )( )f xg xfxgx；( 口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则 2：( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xgx( 口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则 3：2( )( )( )( )( )( )0)( )( )f xfxg xf xg xg xg xg x( 口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数( ( )yf g x的导数求法：换元，令( )ug x，则(
3、)yf u分别求导再相乘( ) ( ) yg xf u回代( )ug x题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、已知22sinfxxx，则0f2、若sinxfxex，则fx3.)(xf=ax3+3x2+2 ，4) 1(f，则 a=（）319.316.313.310.DCBA三导数的物理意义1. 求瞬时速度：物体在时刻0t时的瞬时速度0V就是物体运动规律Sf t在0tt时的导数0ft，即有00Vft。2.Vs/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。四导数的几何意义：函数fx在0 x处导数的几何意义，曲线yfx在点00,P xfx处切线的斜率是0kfx。于是相应的切线方程是：000y
4、yfxxx。题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：（1）曲线yfx在点00,P xfx处切线： 性质：0kfx切线。相应的切线方程是：000yyfxxx（ 2）曲线yfx过点00,P xy处切线：先设切点，切点为( , )Q a b , 则斜率k=( )fa，切点( , )Q a b在曲线yfx上，切点( , )Q a b在切线00yyfaxx上，切点( , )Q a b坐标代入方程得关于a,b 的方程组， 解方程组来确定切点，最后求斜率 k=( )fa，确定切线方程。例题在曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：（1）3) 1x(36x62x3| yk200
5、0 xx0当 x0=-1 时， k 有最小值3，此时 P的坐标为（ -1，-14 ）故所求切线的方程为3x-y-11=0 五函数的单调性：设函数( )yf x在某个区间内可导，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页（1）( )0fx( )f x该区间内为增函数；（2）( )0fx( )f x该区间内为减函数；注意：当( )fx在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，( )f x在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）( )f x在该区间内单调递增( )0fx在该区间内恒成立；（4）( )f x在该区间内单调
6、递减( )0fx在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f (x) 在某一区间上单调性：步骤：（1）求导数)(xfy(2) 判断导函数)(xfy在区间上的符号(3) 下结论( )0fx( )f x该区间内为增函数；( )0fx( )f x该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数)(xfy单调区间的步骤为：（1）分析)(xfy的定义域；（2）求导数)(xfy（3）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一 . （1）( )f x在该区间内单调递增( )0fx在
7、该区间内恒成立；（2）( )f x在该区间内单调递减( )0fx在该区间内恒成立；思路二 . 先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f（x）在（ a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数 ，则x=c 两侧使函数f （x）变号，即x=c 为函数的一个极值点，所以( )0fc例题若函数xxxfln)(，若)5(),4(),3(fcfbfa则( ) A. a b c B. c b a C. c a b D. b a 0,ex- a0, exa,x lna. f(x) 的单调递增区间为（2）f （ x）在 R内单调递增，)(
8、xf0 在 R上恒成立ex- a0，即 aex在 R上恒成立（ex）min，又ex0，（3）由题意知， x=0 为 f(x)的极小值点 . )0(f=0,即 e0- a=0,a=1.例 2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c, 曲线 y=f(x ）在点 x=1 处的切线为l:3x-y+1=0，若 x=32时， y=f(x ）有极值 .（ 1）求a,b,c的值；（2）求 y=f(x ）在 -3 ，1上的最大值和最小值. 解（1）由 f(x)=x3+ax2+bx+c, 得)(xf=3x2当 x=1 时，切线l 的斜率为3，可得当 x=32时， y=f(x)有极值，则32f=0, 可得由解得a
9、=2,b=-4. 由于切点的横坐标为（2）由（ 1）可得 f(x)=x3+2x2- 4x+5,)(xf=3x2+4x-令)(xf=0, 得 x=-2,x=32当 x 变化时， y,y 的取值及变化如下表：x -3 (-3,-2) -2 32, 2321 ,321 y+ 0 - 0 + y 8 单调递增13 单调递减2795单调递增4 y=f （ x）在 -3 ，1上的最大值为13，最小值为.2795例 3. 当0 x，证明不等式xxxx)1ln(1. 证明：xxxxf1)1ln()(，xxxg) 1ln()(，则2)1 ()(xxxf，当0 x时。)(xf在, 0内是增函数，)0()(fxf，
10、即01)1ln(xxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页又xxxg1)(，当0 x时，0)(xg，)(xg在,0内是减函数，)0()(gxg，即0)1ln(xx，因此，当0 x时，不等式xxxx)1ln(1成立 . 点评： 由题意构造出两个函数xxxxf1)1ln()(，xxxg)1ln()(. 利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键. 七定积分求值1定积分的概念设函数( )fx在区间 , a b上连续，则1( )limnbianibaf x dxfn2. 用定义求定积分的一般方法是： 分割：
11、n等分区间,a b； 近似代替： 取点1,iiixx； 求和：1()niibafn；取极限：1( )limnbianibaf x dxfn3. 曲边图形面积：0,bafxSfx dx；0,bafxSfx dx在x轴上方的面积取正，下方的面积取负变速运动路程21( )ttSv t dt；变力做功( )baWF r dr4定积分的性质性质 1babadxxfkdxxkf)()(（其中k是不为 0 的常数）性质 21212( )( )( )( )bbbaaaf xfx dxfx dxfx dx性质 3( )( )( )()bcbaacf x dxf x dxf x dxacb其中（定积分对积分区间的
12、可加性）5. 定理函数( )F x是 , a b上( )f x的一个原函数，即( )( )f xFx则( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a导数各种题型方法总结（一）关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量； 2 变更主元； 3 根分布； 4 判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在（二）分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。（三）同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间
13、、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)(xf得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元） ；例 1：设函数( )yf x在区间D 上的导数为( )fx，( )fx在区间D 上的导数为( )g x，若在区间D 上，( )0g x恒成立，则称函数( )yf x在区间 D 上为“凸函数” ，已知实数m 是常数，4323( )1262
14、xmxxf x（1）若( )yf x在区间0,3上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页（2）若对满足2m的任何一个实数m，函数( )f x在区间, a b上都为“凸函数” ，求ba的最大值 . 解:由函数4323( )1262xmxxf x得32( )332xmxfxx2( )3g xxmx（1）( )yfx在区间0,3上为“凸函数” ，则2( )30g xxmx在区间 0,3上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max( )0gx(0)0302(3)09330gmgm解
15、法二：分离变量法：当0 x时 , 2( )330g xxmx恒成立 , 当03x时, 2( )30g xxmx恒成立等价于233xmxxx的最大值（03x）恒成立，而3( )h xxx（03x）是增函数，则max( )(3)2hxh2m(2) 当2m时( )f x在区间,a b上都为“凸函数”则等价于当2m时2( )30g xxmx恒成立变更主元法再等价于2()30F mmxx在2m恒成立（视为关于 m 的一次函数最值问题）22( 2)023011(2)0230FxxxFxx2ba例 2：设函数), 10(3231)(223Rbabxaaxxxf（）求函数f（x）的单调区间和极值；（）若对任意
16、的,2, 1aax不等式( )fxa恒成立，求a 的取值范围 .（二次函数区间最值的例子）解： （）22( )433fxxaxaxaxa01a令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为（a,3a）令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为（，a）和（ 3a， +）当 x=a 时，)(xf极小值=;433ba当 x=3a 时，)(xf极大值=b.（）由 |)(xf|a，得：对任意的,2, 1aax2243axaxaa恒成立-2 2 3a a ( )f xa 3a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页则等价于( )g x这个
17、二次函数maxmin( )( )gxagxa22( )43g xxaxa的对称轴2xa01a12aaaa（放缩法）即定义域在对称轴的右边，( )g x这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。22( )431,2g xxaxaaa在上是增函数 . （9maxmin( )(2)21.( )(1)44.g xg aag xg aa于是，对任意2, 1aax，不等式恒成立，等价于(2)44,41.(1)215g aaaag aaa解得又, 10a.154a点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：)()(xgxf恒成立0)()()(xgx
18、fxh恒成立；从而转化为第一、二种题型例 3；已知函数32( )f xxax图象上一点(1, )Pb处的切线斜率为3，326( )(1)3(0)2tg xxxtxt（）求,a b的值；（）当 1,4x时，求( )f x的值域；（）当1,4x时，不等式( )( )f xg x恒成立，求实数t 的取值范围。解： （）/2( )32fxxax/(1)31fba，解得32ab（）由（）知，( )fx在 1,0上单调递增，在0, 2上单调递减，在2, 4上单调递减又( 1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff( )f x的值域是4,16（）令2( )( )( )(1)31,42th xf xg x
19、xtxx思路 1：要使( )( )f xg x恒成立，只需( )0h x，即2(2 )26t xxx分离变量思路 2：二次函数区间最值二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1：转化为0)(0)(xfxf或在给定区间上恒成立，回归基础题型解法 2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b） ” ，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例 4：已知Ra，函数xaxaxxf)14(21121)(23（）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小
20、值；（）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围解：)14()1(41)(2axaxxf. 2xa1,2aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页（）( )fx是偶函数，1a. 此时xxxf3121)(3，341)(2xxf，令0)(xf，解得：32x.列表如下：x(, 23) 23(23,23) 23(23,+ )(xf+ 0 0 + )(xf递增极大值递减极小值递增可知：( )f x的极大值为34)32(f，( )f x的极小值为34)32(f. （）函数)(xf是),(上的单调函数，21( )(1)(
21、41)04fxxaxa，在给定区间 R 上恒成立判别式法则221(1)4(41)204aaaa，解得：02a. 综上，a的取值范围是20aa. 例 5、已知函数3211( )(2)(1) (0).32f xxa xa x a（I）求( )f x的单调区间；（II）若( )f x在 0，1上单调递增，求a 的取值范围。子集思想（I）2( )(2)1(1)(1).fxxa xaxxa1、20,( )(1)0,afxx当时恒成立当且仅当1x时取“ =”号，( )(,)f x 在单调递增。2、12120,( )0,1,1,afxxxaxx当时由得且单调增区间：(, 1),(1,)a单调增区间：( 1,
22、1)a（II）当( )0,1,f x 在上单调递增则0,1是上述增区间的子集：1、0a时，( )(,)f x 在单调递增符合题意2、0,11,a，10a1a综上， a 的取值范围是 0，1。三、根的个数问题提型一 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点 =即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 6、已知函数232)1(31)(xkxxf，kxxg31)(，
23、且)(xf在区间),2(上为增函数（1）求实数k的取值范围；（2）若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围解： （1）由题意xkxxf)1()(2)(xf在区间),2(上为增函数，0)1()(2xkxxf在区间),2(上恒成立（分离变量法）即xk1恒成立，又2x，21k，故1kk的取值范围为1k（2）设312)1(3)()()(23kxxkxxgxfxh，) 1)() 1()(2xkxkxkxxha-1 -1 ( )f x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页令0)(xh得kx或1x由（ 1）
24、知1k，当1k时，0) 1()(2xxh，)(xh在 R上递增，显然不合题意当1k时，)(xh，)(xh随x的变化情况如下表：x),(kk)1 ,(k1), 1()(xh00)(xh极大值312623kk极小值21k由于021k，欲使)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，即方程0)(xh有三个不同的实根，故需0312623kk，即0)22)(1(2kkk02212kkk，解得31k综上，所求k的取值范围为31k根的个数知道，部分根可求或已知。例 7、已知函数321( )22f xaxxxc（1）若1x是( )f x的极值点且( )f x的图像过原点，求( )f x的极值；（2）若21( )
25、2g xbxxd，在（ 1）的条件下，是否存在实数b，使得函数( )g x的图像与函数( )f x的图像恒有含1x的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。解： （1）( )f x的图像过原点，则(0)00fc2( )32fxaxx，又1x是( )f x的极值点，则( 1)31201faa2( )32(32)(1)0fxxxxx3( )( 1)2fxf极大值222( )()37fxf极小值（2）设函数( )g x的图像与函数( )f x的图像恒存在含1x的三个不同交点，等价于( )( )fxg x有含1x的三个根，即：1( 1)( 1)(1)2fgdb3221112(1)22
26、2xxxbxxb整理得：即：3211(1)(1)022xbxxb恒有含1x的三个不等实根（计算难点来了：）3211( )(1)(1)022h xxbxxb有含1x的根，则( )h x必可分解为(1)()0 x二次式，故用添项配凑法因式分解，3x22xx211(1)(1)022bxxb2211(1)(1)(1)022xxbxxb221(1)(1)2(1)02xxbxxb十字相乘法分解：21(1 )(1 )(1 )102xxbxbx211(1)(1)(1)022xxbxb3211(1)(1)022xbxxb恒有含1x的三个不等实根23-1 ( )f x精选学习资料 - - - - - - - -
27、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页等价于211(1)(1)022xbxb有两个不等于-1 的不等实根。2211(1)4(1)04211( 1)(1)(1)022bbbb(, 1)( 1,3)(3,)b题型二：切线的条数问题=以切点0 x为未知数的方程的根的个数例 7、已知函数32( )f xaxbxcx在点0 x处取得极小值4，使其导数( )0fx的x的取值范围为(1,3)，求： （1）( )f x的解析式；（2）若过点( 1,)Pm可作曲线( )yf x的三条切线，求实数m的取值范围（1）由题意得：2( )323 (1)(3),(0)fxaxbxca xxa
28、在(,1)上( )0fx；在(1,3)上( )0fx；在(3,)上( )0fx因此( )f x在01x处取得极小值44abc，(1)320fabc，(3)2760fabc由联立得：169abc，32( )69f xxxx（2）设切点Q( ,( )t f t，,( )( )()yf tftxt232( 3129)()(69 )yttxtttt222( 3129)(3129)(69)ttxtttt tt22( 3129)(26 )ttxttt过( 1,)m232( 3129)( 1)26mtttt32( )221290g ttttm令22( )66126(2)0g ttttt，求得：1,2tt，方
29、程( )0g t有三个根。需：( 1)0(2)0gg23 129016122490mm1611mm故：1116m；因此所求实数m的范围为：( 11,16)题型三：已知( )f x在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数解法：根分布或判别式法例 8、解：函数的定义域为R（）当m4 时， f (x)13x372x210 x，( )fxx27x10，令( )0fx， 解得5,x或2x. 令( )0fx， 解得25x可知函数 f(x)的单调递增区间为(,2)和（ 5，），单调递减区间为2,5（）( )fxx2(m3)xm6, 要使函数 yf (x)在（ 1，）有两个极值点,( )fx x2
30、(m3)x m 6=0 的根在（ 1，）根分布问题：则2(3)4(6)0;(1)1(3)60;31.2mmfmmm， 解得 m31 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页例 9、已知函数23213)(xxaxf，)0,(aRa（ 1）求)(xf的单调区间； （2）令( )g x14x4f（x） （xR）有且仅有 3 个极值点，求a 的取值范围解： （1）) 1()(2axxxaxxf当0a时，令0)(xf解得01xax或，令0)(xf解得01xa，所以)(xf的递增区间为),0()1,(a，递减区间为)0,1(a. 当
31、0a时，同理可得)(xf的递增区间为)10(a，递减区间为),1()0 ,(a. （2）432113)42(gaxxxx有且仅有 3 个极值点223(1( )axxxxxxagx=0 有 3 个根，则0 x或210 xax，2a方程210 xax有两个非零实根，所以240,a2a或2a而当2a或2a时可证函数( )yg x有且仅有3 个极值点其它例题：（一）最值问题与主元变更法的例子. 已知定义在R上的函数32( )2f xaxaxb）（0a在区间2,1上的最大值是5，最小值是11. （）求函数( )f x的解析式；（）若1 ,1t时，0(txxf）恒成立，求实数x的取值范围 . 解： （）3
32、22( )2,( )34(34)f xaxaxbfxaxaxaxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页令( )fx=0, 得1240,2,13xx因为0a，所以可得下表：x2,00 0,1( )fx+ 0 - ( )f x极大因此)0(f必为最大值 , 50 ）（f因此5b，( 2)165, (1)5,(1)( 2)fafaff，即11516)2(af，1a，. 52(23xxxf）（）xxxf43)(2，0(txxf）等价于0432txxx，令xxxttg43)(2，则问题就是0)(g t在1 ,1t上恒成立时，
33、求实数x的取值范围，为此只需0)10)1(（gg，即005322xxxx，解得10 x，所以所求实数x的取值范围是0 ，1. （二）根分布与线性规划例子例：已知函数322( )3f xxaxbxc() 若函数( )f x在1x时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30 xy平行 ,求)(xf的解析式；( ) 当( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值时, 设点(2,1)M ba所在平面区域为S, 经过原点的直线L 将 S 分为面积比为1:3 的两部分 , 求直线 L 的方程 . 解：().由2( )22fxxaxb, 函数( )f x在1x时有极值, 220a
34、b(0)1f1c又( )f x在(0,1)处的切线与直线30 xy平行 , (0)3fb故12a3221( )3132f xxxx. 7 分() 解法一 : 由2( )22fxxaxb及( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值 , (0)0(1)0(2)0fff即0220480babab令( ,)Mxy, 则21xbya12aybx20220460 xyxyx故点M所在平面区域S 为如图 ABC, 易得( 2,0)A, ( 2,1)B, (2,2)C, (0,1)D, 3(0,)2E, 2ABCS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
35、- - - -第 11 页，共 14 页同时 DE 为 ABC 的中位线 , 13DECABEDSS四边形所求一条直线L 的方程为 :0 x另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将 S分为面积比为1:3 的两部分 , 设直线 L 方程为ykx,它与 AC,BC 分别交于 F、G, 则0k, 1S四边形 DEGF由220ykxyx得点 F 的横坐标为 :221Fxk由460ykxyx得点 G 的横坐标为 :641GxkOGEOFDSSS四边形 DEGF61311222214121kk即216250kk解得 : 12k或58k(舍去 ) 故这时直线方程为:12yx综上 ,所求直线方程为:0 x或1
36、2yx . . .12 分() 解法二 : 由2( )22fxxaxb及( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值 , (0)0(1)0(2)0fff即0220480babab令( ,)M xy, 则21xbya12aybx20220460 xyxyx故点M所在平面区域S 为如图 ABC, 易得( 2,0)A, ( 2,1)B, (2,2)C, (0,1)D, 3(0,)2E, 2ABCS同时 DE 为 ABC 的中位线 , 13DECABEDSS四边形所求一条直线L 的方程为 :0 x另一种情况由于直线BO 方程为 :12yx, 设直线 BO 与 AC 交于 H , 由1
37、2220yxyx得直线 L 与 AC 交点为 :1( 1,)2H2ABCS, 1112222DECS, 11222211122HABOAOHSSSAB 所求直线方程为:0 x或12yx（三）根的个数问题例 已知函数32f(x)axbx(c3a2b)xd (a0)的图象如图所示。（）求cd、的值；（） 若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3xy110，求函数 f ( x )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页的解析式；（）若0 x5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。解：由题知：2f
38、 (x)3ax2bx+c-3a-2b（）由图可知函数f ( x )的图像过点 ( 0 , 3 )，且1f= 0 得332c320dabab03cd（）依题意2f= 3 且 f ( 2 ) = 5 124323846435abababab解得 a = 1 , b = 6 所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3 （）依题意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a 0 ) xf= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由5f= 0b = 9a若方程 f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当满足f ( 5 )8af ( 1 ) 由得 25a
39、 + 38a7a+ 3111a3 所以当111a3 时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。12 分（四）根的个数问题例：已知函数321( )1()3f xxaxxaR（1）若函数( )f x在12,xx xx处取得极值，且122xx，求a的值及( )fx的单调区间；（2）若12a，讨论曲线( )f x与215( )(21)( 21)26g xxaxx的交点个数解： （1）2( )21f xxax12122 ,1xxa xx22121212()4442xxxxx xa0a2 分22( )211fxxaxx令( )0fx得1,1xx或令( )0fx得11x( )f x的单调递增区间为(
40、, 1)，(1,)，单调递减区间为( 1,1) 5 分（2）由题( )( )fxg x得3221151(21)326xaxxxax即32111()20326xaxax令32111( )()2( 21)326xxaxaxx6 分2( )(21)2(2 )(1)xxaxaxa x令( )0 x得2xa或1x7 分12a当22a即1a时x2( 2,1)1( )x( )x982aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页此时，9802a，0a，有一个交点；9 分当22a即112a时，x2( 2,2 )a2a(2 ,1)a1(
41、)x0( )x982a221(32 )36aaa221(32 )036aa, 当9802a即9116a时,有一个交点；当98002aa，且即9016a时，有两个交点；当102a时，9802a，有一个交点13 分综上可知，当916a或102a时，有一个交点；当9016a时，有两个交点14 分（五）简单切线问题已知函数23)(axxf图象上斜率为3 的两条切线间的距离为5102，函数23( )( )3bxg xf xa（）若函数)(xg在1x处有极值，求)(xg的解析式；（）若函数)(xg在区间1 , 1上为增函数，且)(42xgmbb在区间1 , 1上都成立，求实数m的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页