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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
2、参考公式：样本数据12,nx xx的方差2211niisxxn，其中11niixxn柱体的体积VSh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高锥体的体积13VSh，其中 S是锥体的底面积，h 是锥体的高一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 1,0,1,6A，|0,Bx xxR，则ABI. 2已知复数(2i)(1i)a的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a 的值是. 3下图是一个算法流程图，则输出的S的值是. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页4函数276yxx
3、的定义域是. 5已知一组数据6，7， 8，8，9，10，则该组数据的方差是. 6从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是. 7在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yxbb经过点（ 3， 4)，则该双曲线的渐近线方程是. 8已知数列*()nanN是等差数列，nS是其前 n 项和 .若25890,27a aaS，则8S的值是. 9如图，长方体1111ABCDA B C D的体积是120， E 为1CC的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是. 10在平面直角坐标系xOy中， P 是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点P
4、 到直线x+y=0 的距离的最小值是 . 11在平面直角坐标系xOy中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点 （-e，-1)(e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页12如图，在ABC中， D 是 BC 的中点， E 在边 AB 上， BE=2EA，AD 与 CE 交于点O.若6AB ACAO ECu uu r uuu ruu u r u uu r，则ABAC的值是. 13已知tan23tan4，则sin24的值是. 14设( ),( )f xg
5、 x是定义在 R 上的两个周期函数，( )f x的周期为4，( )g x的周期为2，且( )f x是奇函数 .当2(0,x时，2( )1(1)f xx，(2),01( )1,122k xxg xx，其中 k0.若在区间 (0，9上，关于x 的方程( )( )f xg x有 8 个不同的实数根，则k 的取值范围是. 二、解答题：本大题共6小题，共计 90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c（1）若 a=3c，b=2，cosB=23，求 c 的值；（2）若sincos2ABab，求sin
6、()2B的值16（本小题满分14 分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， D，E 分别为 BC，AC 的中点， AB=BC求证：（ 1）A1B1平面 DEC1；（2）BEC1E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页17（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C:22221(0)xyabab的焦点为F1（1、 0） ，F2（1，0）过 F2作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方， l 与圆 F2:222(1)4xya交于点 A，与椭圆C 交于点 D.连结 AF1并延长交圆F2于点 B，连结 BF
7、2交椭圆 C 于点 E，连结 DF1已知 DF1=52（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标18（本小题满分16 分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥 AB （AB是圆 O 的直径） 规划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求 :线段 PB、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆 O 的半径已知点A、B 到直线 l 的距离分别为AC 和 BD（C、D 为垂足），测得AB=10，AC=6， BD=12（单位 :百米）（1）若道路PB 与桥 AB 垂直，求道路PB 的长；精选学习资料 - - - - - - - -
8、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页（2）在规划要求下，P和 Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和 QA 的长度均为d（单位：百米） .求当 d 最小时， P、Q 两点间的距离19（本小题满分16 分）设函数( )()()(), , ,Rfxxaxbxca b c、( )f x 为 f（x）的导函数（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；（2）若 ab，b=c，且 f（x）和( )f x 的零点均在集合3,1,3中，求f（ x）的极小值；（3）若0,01,1abc,，且 f（x）的极大值为M，求证 :M42720
9、（本小满分16 分）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M数列” . （1）已知等比数列an*()nN满足：245324,440a aaaaa，求证 :数列 an为“ M数列”；（2）已知数列 bn满足 :111221,nnnbSbb，其中 Sn为数列 bn 的前 n 项和求数列 bn的通项公式；设 m 为正整数，若存在“M数列” cn*()nN，对任意正整数k，当 km 时，都有1kkkcbc剟成立，求m 的最大值数学 ( 附加题 ) 21 【选做题】本题包括A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
10、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页骤A. 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分）已知矩阵3122A（1）求 A2；（2）求矩阵 A的特征值 . B.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,2,42AB，直线 l的方程为sin34. （1）求 A，B两点间的距离；（2）求点 B到直线 l的距离 . C.选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分10分）设 xR ，解不等式| |+|2 1|2xx. 【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域
11、内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 设2*012(1),4,nnnxaa xa xa xnnNL. 已 知23242aa a. （1）求 n的值；（ 2）设(13)3nab，其中*,a bN ，求223ab 的值 . 23. （本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，设点集(0,0),(1,0),(2,0),(,0)nAn，(0,1),( ,1),(0,2),(1 ,2),(2,2),( ,2),.nnBnCnnNL令nnnnMABCUU.从集合 Mn中任取两个不同的点，用随机变量 X表示它们之间的距离. （1）当 n=1时，求
12、X的概率分布；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5分，共计 70分. 1.1,62.2 3.5 4.1,75.536.7107.2yx8.16 9.10 10.4 11.(e, 1)12.313.21014.12,34二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力 .满分 14分. 解： （1）因为23 ,2,cos3ac bB，由余弦定理
13、222cos2acbBac，得2222(3 )(2)32 3cccc，即213c. 所以33c. （2）因为sincos2ABab，由正弦定理sinsinabAB，得cossin2BBbb，所以cos2sinBB. 从而22cos(2sin)BB，即22cos4 1cosBB，故24cos5B. 因为sin0B，所以cos2sin0BB，从而2 5cos5B. 因此2 5sincos25BB. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分 14 分. 证明： （1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，所以 EDAB. 在
14、直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以 A1B1ED. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页又因为 ED? 平面 DEC1， A1B1平面 DEC1，所以 A1B1平面 DEC1. （2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以BEAC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面 ABC. 又因为 BE? 平面 ABC，所以 CC1 BE. 因为 C1C? 平面 A1ACC1，AC? 平面 A1ACC1，C1CAC=C，所以 BE平面 A1ACC1. 因为 C1E? 平面 A1ACC1，
15、所以 BEC1E. 17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 14 分 . 解： （1）设椭圆C 的焦距为2c. 因为 F1(1，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1. 又因为 DF1=52，AF2x 轴，所以 DF2=222211253()222DFF F，因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2. 由 b2=a2-c2，得 b2=3. 因此，椭圆C 的标准方程为22143xy. （2）解法一：由（ 1）知，椭圆C：22143xy，a=2，因为 AF2 x 轴，所以
16、点A 的横坐标为1. 将 x=1 代入圆 F2的方程 (x-1) 2+y2=16，解得 y=4. 因为点 A 在 x 轴上方，所以A(1，4). 又 F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2. 由22()22116yxxy，得256110 xx，解得1x或115x. 将115x代入22yx，得125y，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页因此1112(,)55B.又 F2(1， 0)，所以直线BF2：3(1)4yx. 由221433(1)4xyxy，得276130 xx，解得1x或137x. 又因为 E 是线段
17、 BF2与椭圆的交点，所以1x. 将1x代入3(1)4yx，得32y.因此3( 1,)2E. 解法二：由（ 1）知，椭圆C：22143xy.如图，连结EF1. 因为 BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB，从而 BF1E=B. 因为 F2A=F2B，所以 A=B，所以 A=BF1E，从而 EF1F2A. 因为 AF2 x 轴，所以EF1x 轴. 因为 F1(-1，0)，由221431xxy，得32y. 又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以32y. 因此3( 1,)2E. 18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识
18、分析和解决实际问题的能力.满分 16分. 解：解法一：（ 1）过 A作AEBD，垂足为 E. 由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6,8DEBEACAECD. 因为 PBAB，所以84cossin105PBDABE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页所以12154cos5BDPBPBD. 因此道路 PB的长为 15（百米） . （2）若 P在D处，由（ 1）可得 E在圆上，则线段BE上的点（除 B，E）到点 O的距离均小于圆 O的半径，所以 P选在 D处不满足规划要求. 若 Q在 D处，连结 AD，由（ 1）知2
19、210ADAEED，从而2227cos0225ADABBDBADAD AB，所以 BAD为锐角 . 所以线段 AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 . 因此， Q选在 D处也不满足规划要求. 综上， P和Q均不能选在 D处. （ 3）先讨论点 P的位置 . 当 OBP90 时，在1PPB中，115PBPB. 由上可知， d15.再讨论点 Q的位置 . 由（ 2）知，要使得QA15 ，点 Q只有位于点 C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，22221563 21CQQAAC.此时，线段 QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
20、归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页综上，当 PBAB，点 Q位于点 C右侧，且 CQ=3 21时， d最小，此时 P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3 21. 因此， d最小时， P，Q两点间的距离为17+3 21（百米） . 解法二：（ 1）如图，过 O作OH l，垂足为 H. 以 O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系. 因为 BD=12，AC=6，所以 OH=9，直线 l的方程为 y=9，点 A，B的纵坐标分别为3，- 3. 因为 AB为圆 O的直径， AB=10，所以圆 O的方程为 x2+y2=25. 从而 A（ 4，3）， B（-
21、4，- 3），直线 AB的斜率为34. 因为 PBAB，所以直线 PB的斜率为43，直线 PB的方程为42533yx. 所以 P（ - 13， 9），22( 134)(93)15PB. 因此道路 PB的长为 15（百米） . （2）若 P在D处，取线段 BD上一点 E（- 4，0），则 EO=45，所以 P选在 D处不满足规划要求 . 若 Q在 D处，连结 AD，由（ 1）知 D（- 4，9），又 A（4，3），所以线段 AD：36( 44)4yxx剟. 在线段 AD上取点 M（3，154），因为22221533454OM，所以线段 AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 . 因此 Q选在 D
22、处也不满足规划要求. 综上， P和Q均不能选在 D处. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页（ 3）先讨论点 P的位置 . 当 OBP90 时，在1PPB中，115PBPB. 由上可知， d15.再讨论点 Q的位置 . 由（2）知，要使得 QA 15，点Q只有位于点 C的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15时，设Q （a， 9） ， 由22(4)(93)15(4)AQaa， 得a=43 21， 所以 Q （43 21，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径 . 综上，当 P（- 13，9），
23、Q（43 21，9）时， d最小，此时 P，Q两点间的距离43 21( 13)173 21PQ. 因此， d最小时， P，Q两点间的距离为173 21（百米） . 19本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力满分16分解：（ 1）因为abc，所以3( )()()()()f xxaxbxcxa因为(4)8f，所以3(4)8a，解得2a（2）因为bc，所以2322( )()()(2 )(2)f xxa xbxab xbab xab，从而2( )3()3abf xxbx令( )0f x，得xb或23abx因为2, ,3aba b，都在集合 3,1,
24、3中，且ab，所以21,3,33abab此时2( )(3)(3)f xxx，( )3(3)(1)f xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页令( )0f x，得3x或1x列表如下：x(, 3)3( 3,1)1 (1,)( )f x+ 0 0 + ( )fxZ极大值极小值Z所以( )f x的极小值为2(1)(13)(13)32f（3）因为0,1ac，所以32( )()(1)(1)f xx xbxxbxbx，2( )32(1)f xxbxb因为01b，所以224(1)12(21)30bbb，则( )f x有 2个不同
25、的零点，设为1212,x xxx由( )0f x，得22121111,33bbbbbbxx列表如下：x1(,)x1x12,x x2x2(,)x( )f x+ 0 0 + ( )fxZ极大值极小值Z所以( )f x的极大值1Mfx解法一：321111(1)Mfxxbxbx221111211(1)32(1)3999bbxbb bxbxbx23221 (1)(1)2127927bbbb bbb23(1)2(1) (1)2(1)1)272727b bbbb b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页(1)24272727b b
26、因此427M解法二：因为01b，所以1(0,1)x当(0,1)x时，2( )()(1)(1)f xx xbxx x令2( )(1) ,(0,1)g xx xx，则1( )3(1)3g xxx令( )0g x，得13x列表如下：x1(0,)3131(,1)3( )g x+ 0 ( )g xZ极大值所以当13x时，( )g x取得极大值，且是最大值，故max14( )327g xg所以当(0,1)x时，4( )( )27f xg x，因此427M20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16分解：（ 1）设等
27、比数列an的公比为 q，所以 a10，q 0. 由245321440a aaaaa，得244112111440a qa qa qa qa，解得112aq因此数列na为“ M数列” . （2）因为1122nnnSbb，所以0nb由1111,bSb得212211b，则22b. 由1122nnnSbb，得112()nnnnnb bSbb，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页当2n时，由1nnnbSS，得111122nnnnnnnnnb bbbbbbbb，整理得112nnnbbb所以数列 bn是首项和公差均为1的等差数列
28、. 因此，数列 bn的通项公式为bn=n*nN. 由知， bk=k，*kN. 因为数列 cn 为“ M数列 ” ，设公比为 q，所以 c1=1，q0. 因为 ck bk ck+1，所以1kkqkq，其中 k=1，2，3， m. 当k=1时，有 q1；当k=2，3， m时，有lnlnln1kkqkk设f（x）=ln(1)xxx，则21 ln( )xf xx令( )0f x，得 x=e.列表如下：x(1,e)e (e， +) ( )f x+ 0 f （x）极大值因为ln 2ln8ln9ln 32663，所以maxln3( )(3)3f kf取33q，当 k=1，2，3，4， 5时，lnlnkqk,
29、，即kkq，经检验知1kqk也成立因此所求 m的最大值不小于5若m6 ，分别取 k=3，6，得 3 q3，且 q56 ，从而 q15 243 ，且 q15 216 ，所以 q不存在 .因此所求 m的最大值小于6. 综上，所求 m的最大值为 5数学 ( 附加题 )参考答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页21【选做题】A选修 42：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力满分10分解：（ 1）因为3122A，所以231312222A=3 31 23 1 1 22 3222 12 2=
30、115106（2）矩阵 A的特征多项式为231( )5422f. 令( )0f，解得 A的特征值121,4. B选修 44：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10分解：（ 1）设极点为 O.在 OAB中， A（3，4）， B（2，2），由余弦定理，得AB=223(2)2 32cos()524. （2）因为直线 l的方程为sin()34，则直线 l过点(3 2,)2，倾斜角为34又( 2,)2B，所以点 B到直线 l的距离为3(3 22)sin()242. C选修 4 5：不等式选讲 本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分1
31、0分解：当 x0时，原不等式可化为122xx，解得 x2，即 x12时，原不等式可化为x+2x 12，解得 x1. 综上，原不等式的解集为1|1 3x xx或. 22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分解：（ 1）因为0122(1)CCCC4nnnnnnnxxxxnL，所以2323(1)(1)(2)C,C26nnn nn nnaa，44(1)(2)(3)C24nn nnna因为23242aa a，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)26224n nnn nn nnn，解得5n（2）由（ 1）知，5n5(13)(13)n0122
32、334455555555CC3C ( 3)C ( 3)C ( 3)C ( 3)3ab解法一：因为*,a bN，所以024135555555C3C9C76,C3C9C44ab，从而222237634432ab解法二：50122334455555555(13)CC (3)C (3)C (3)C (3)C (3)0122334455555555CCC ( 3)C ( 3)C ( 3)(3C3)因为*,a bN，所以5(13)3ab因此225553(3)(3)(13)(13)( 2)32ababab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，
33、共 18 页23【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力满分10分解：（ 1）当1n时，X的所有可能取值是1225， ，X的概率分布为22667744(1),(2)C15C15P XP X，22662222(2),(5)C15C15P XP X（2）设()A a b，和()B cd，是从nM中取出的两个点因为()1()P XnP Xn，所以仅需考虑Xn的情况若bd，则ABn，不存在Xn的取法；若01bd， 则22()11ABacn， 所以Xn当且仅当21ABn，此时0acn，或0anc，有 2 种取法； 若02bd， 则22()44ABacn， 因为 当3n时 ，2(1)4nn， 所 以Xn当 且 仅 当24ABn， 此 时0acn，或0anc，有 2 种取法；若12bd， 则22()11ABacn， 所以Xn当且仅当21ABn，此时0acn，或0anc，有 2 种取法综上，当Xn时，X的所有可能取值是21n和24n，且2222242442(1),(4)CCnnP XnP Xn因此，222246()1(1)(4)1CnP XnP XnP Xn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页