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1、第一章集合与函数概念1. 集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集 .（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一. （4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 描述法： x|x具有的性质 ，其中x为集合的代表元素. 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做
2、空集(). 2. 集合间的基本关系（1）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA（或)ABA 中的任一元素都属于 B(1)AA(2)A(3)若BA且BC，则AC(4)若BA且BA，则AB或真子集AB（或 BA）BA， 且 B 中至少有一元素不属于A（1）A（A 为非空子集）(2)若AB且BC，则AC集合相等ABA 中的任一元素都属于 B，B 中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA（2）已知集合A有(1)n n个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集 . 3. 集合的基本运算名称记号意义性质示意图A(B)BABAA(B)精选学习资料
3、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页交集ABI|,x xA且xB（ 1）AAAI（ 2）AI（ 3）ABAIABBI并集ABU|,x xA或xB（ 1）AAAU（ 2）AAU（ 3）ABAUABBU补集UAe|,x xUxA且1()UAAIe2()UAAUU e4. 含绝对值的不等式的解法不等式解集|(0)xa a|xaxa|(0)xa a|x xa或xa|,|(0)axbc axbc c把axb看 成 一 个 整 体 ， 化 成|xa，|(0)xa a型不等式来求解5. 一元二次不等式的解法判别式24bac000二次函数2(0)y
4、axbxc a的图象一元二次方程20(0)axbxca的根21,242bbacxa（其中12)xx122bxxa无实根20(0)axbxca的解集1|x xx或2xx|x2bxaR20(0)axbxca的解集12|x xxx6. 函数的概念BABAO()()()UUUABABIU痧?()()()UUUABABUI痧?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数( )f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应
5、法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:fAB7. 函数的三要素: 定义域、值域和对应法则8. 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数9.区间的概念及表示法设,a b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做 , a b；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做( , )a b；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做 , )a b，( , a b；满足,xa xa xb xb的实数x的集合分别记做 ,),(,),(, ,(, )aabb注意： 对于集合|x axb与区间( , )a b，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab， （前者可以
6、不成立，为空集；而后者必须成立）10. 求函数的定义域时，一般遵循以下原则：( )f x是整式时，定义域是全体实数( )f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数( )f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1tanyx中，()2xkkZ零（负）指数幂的底数不能为零若( )f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知( )f x的定义域为 , a b，其复合函数( )f g x的定义域应由不等
7、式( )ag xb解出对于含字母参数的函数，求其定义域， 根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义11. 求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法： 将函数解
8、析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数( )yf x可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2( )( )( )0a y xb y xc y，则在( )0a y时，由于, x y为实数，故必须有2( )4 ( )( )0bya yc y，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法： 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函
9、数的单调性法12. 函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系13. 映射的概念设A、B是两个集合， 如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:fAB给定一个集合A到集合B的映射，且,aA bB如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象14. 函数的单调性定义及判定方法函数的
10、性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2, 当 x1 x2时，都有f(x 1)f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、 x2，当 x1f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数（1）利用定义（2）
11、利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数( )yf g x，令( )ug x，若( )yf u为增，( )ug x为增，则( )yf g x为增；若( )yf u为减，( )ug x为减，则 ( )yf g x为增；若( )yf u为增，( )ug x为减，则( )yf g x为减；若( )yf u为减，( )ug x为增，则( )yf g x为减15. 最大（小）值定义一般地，设函数( )yfx的定义域为I， 如果存在
12、实数M满足： （1） 对于任意的xI，都有( )fxM；（2）存在0 xI，使得0()fxM那么，我们称M是函数( )f x的最大值，记作max( )fxM一般地， 设函数( )yf x的定义域为I， 如果存在实数m满足： （1） 对于任意的xI，都有( )fxm； （ 2）存在0 xI，使得0()f xm那么，我们称m是函数( )f x的最小值，记作max( )fxm16. 函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f( x)= f(x) ,那么函数f(x) 叫做 奇函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2
13、）利用图象（图象关于原点对称）y=f(X)yxoxx2f(x )f(x )211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f( x)= f(x) , 那 么 函 数f(x) 叫做 偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数( )f x为奇函数，且在0 x处有定义，则(0)0f奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），
14、两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数17. 平移变换0,0,|( )()hhhhyf xyf xh左移 个单位右移 |个单位0,0,|( )( )kkkkyf xyf xk上移 个单位下移 |个单位18. 伸缩变换01,1,( )()yf xyfx伸缩01,1,( )( )AAyf xyAf x缩伸19. 对称变换( )( )xyf xyf x轴( )()yyf xyfx轴( )()yf xyfx原点1( )( )y xyf xyfx直线( )(|)yyyyf xyfx去掉 轴左边图象保留 轴右边图象，并作其关于轴对称图象( )|( ) |xxyf xyfx保留 轴上方图象将 轴下方图象翻折上去精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页