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1、精品资料欢迎下载函数的单调性与最值【知识要点】1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1， x2当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是增函数当 x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数， 那么就说函数y f(x)在这一区间具有(严格的 )单调性，区间D 叫做函数yf(x)的单调区间（ 3）判断函数单调性的方法根据定义；
2、 根据图象； 利用已知函数的增减性；利用导数； 复合函数单调性判定方法。2函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意xI，都有 f(x) M；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M. (3)对于任意 xI，都有 f(x) M ；(4)存在 x0I，使得 f(x0) M. 结论M 为最大值M 为最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页精品资料欢迎下载求函数最值的方法：若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，
3、然后利用单调性求最值；基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。【复习回顾】一次函数(0)ykxb k具有下列性质：(1)当0k时，函数y 随 x 的增大而增大(2)当0k时，函数y 随 x 的增大而减小二次函数yax2bxc(a0) 具有下列性质：(1)当 a0 时， 函数 yax2bxc 图象开口向上， 对称轴为直线x2ba； 当 x2ba时，y 随着 x 的增大而减小；当x2ba时， y 随着 x 的增大而增大；(2)当 a0 时， 函数 yax2bxc 图象开口向下， 对称轴为直线x2ba； 当 x2ba时，y 随着 x 的增大而增大；当x2ba时， y 随着 x 的
4、增大而减小；提出问题 : 如图所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和 y=-x2的图象 ,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? 这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？定义：一般地，设函数f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页精品资料欢迎下载自变量的值x1、 x2， 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)， 那么就说函数f(x)
5、在区间 D 上是增函数 . 简称为：步调一致增函数. 几何意义：增函数的从左向右看, 图象是的。 定义： 一般地， 设函数 f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1、x2，当 x1f(x2)，那么就说函数f(x) 在区间 D 上是减函数 .简称为：步调不一致减函数. 几何意义：减函数的从左向右看, 图象是的 . 例 如图是定义在区间5，5上的函数y=f(x) ，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：函数 y=f(x) 的单调区间是 -5,2),-2,1), 1,3), 3,5.其中函数y=f(x) 在区间 -5,2
6、),1,3)上是减函数，在区间-2,1),3,5上是增函数 . 点评：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 【典例精讲】题型一函数单调性的判定与证明(1)单调性的证明函数单调性的证明的最基本方法是依据函数单调性的定义来进行，其步骤如下：第一步：设元，即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；第二步：作差，即作差f(x1)f(x2)；第三步： 变形，即通过因式分解、 配方、有理化等方法， 向有利于判断差的符号的方向变形；第四步：判号，即确定f(x1)f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；第五步：定论，即根
7、据单调性的定义作出结论其中第三步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式利用单调性定义的等价形式证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页精品资料欢迎下载设 x1，x2m，n，x1 x2，那么(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)x1x20f(x)在区间 m，n上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)x1x20f(x)在区间 m，n上是减函数(2)复合函数yf(g(x)的单调性：g(x)f(x)f(g(x) 增增增增减减减增减减减增复合函数的单调性可
8、简记为“ 同增异减 ” ，即内层函数g(x)与外层函数f(x)的单调性相同时 yf(g(x)是增函数，单调性相反时yf(g(x)是减函数(3)判断复合函数单调性的步骤：以复合函数yf(g(x)为例可按下列步骤操作：将复合函数分解成基本初等函数：yf(t)，tg(x)；分别确定各个函数的定义域；分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则yf(g(x)为增函数；若为一增一减，则yf(g(x)为减函数例 1 用定义法求证函数3( )fxx在 R 为增函数变式 1 用定义法求证函数( )21f xx在(0,)增函数精选学习资料 - - - -
9、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页精品资料欢迎下载变式 2 证明：函数2( )1f xxx在定义域上是减函数例 2 求函数 yx2x6的单调区间题型二图像法求函数的单调区间例 3 求出下列函数的单调区间：（1）2( )3f xxx；（2）1( )f xxx. （3）34)(2xxxf；（4）34)(2xxxf. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页精品资料欢迎下载变式 1 用图像法求下列函数的单调区间(1)32( )2xf xx(2)2( )|2 |f xxx(3)2
10、( )2 |1f xxx变式 2 求函数532xxy的单调区间和值域。题型三抽象函数的单调性例 4(1)已知函数( )f x是减函数，则2(1)f xx与3()4f的大小关系是(2)已知函数( )f x是减函数，解不等式(21)(2)fxf x(3)已知( )f x是定义在 (0,+ )上的减函数，若22(21)(341)faafaa成立，则a 的取值范围是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页精品资料欢迎下载变式函数 f(x) 对任意的a,bR，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1 ，并且当x0 时，
11、f(x) 1. (1)求证： f(x) 是 R 上的增函数；(2)若 f(4)=5 ，解不等式f(3m2-m-2) 3. 题型四已知函数的单调性求参数的取值范围例 5 已知函数21,2( ),2axxf xxx在 R 上是增函数，则a 的取值范围是变式 1若 f(x)x2 2(a1)x4是区间 ( ， 4上的减函数，则实数 a的取值范围是_变式 2 (1)画出已知函数2( )23f xxx的图象；(2)证明函数2( )23f xxx在区间 (- ,1 上是增函数；(3)当函数 f(x) 在区间 (- ,m 上是增函数时，求实数m 的取值范围 . 题型五函数的最值例 6 如图所示，是函数2221
12、,1,)( )yxxyxxyf x、的图象 .观察这三个图象的共同特征. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页精品资料欢迎下载在函数 y=f(x)的图象上任取一点A( x,y)，如图所示， x 的范围是函数的,y 的范围是函数的。图 1-3-1-12 怎样理解函数图象最高点的?设点 C 的坐标为 (x0,y0)，用数学符号解释：函数 y=f(x) 的图象有最高点 C？函数最大值的定义？一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的xI，都有 f(x) M；(2)存在 x0I，使得 f(
13、x0)=M. 那么，称M 是函数 y=f(x)的最大值 . 函数最大值的定义中( )fxM即0( )()f xf x，这个不等式反映了函数y( )f x的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？函数最大值的几何意义是什么？ 函 数21 ,(1 ,yxx最 大 值 吗 ？ 为 什 么 ？ 点( 1,3)是 不 是 函 数21 ,(1 ,yxx的最高点？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页精品资料欢迎下载由 这个问题你发现了什么值得注意的地方？类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义. 例 7 求函数
14、y=12x在区间2 6 ，上的最大值和最小值. 例 8 求函数xxy4,3 ,21x的最值。变式函数 y=11x在 2,3上的最小值为( ) A.2 B.12C.13D.- 12【课堂练习】1下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是( ) A.y=-x+1 B.y=xC.y=x2-4x+5 D.y=2x2如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间 (- ,4 上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. -3,+ ) B.(-, -3C.(- ,3 D. 3,+ )3.若一次函数y=f(x) 在区间 -1,2上的最小值为1，最大值为3，则函数f(x) 的解析式为_. 4.设 x1， x2为 yf(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：(x1x2)f(x1)f(x2)0 ；(x1x2)f(x1)f(x2)0；fx1fx2x1x20 且 f(x)在(1， ) 内单调递减，求a 的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页