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1、 硕士学位论文 论文题目： 森 林病虫 害治理的 脉冲微 分 方程模型 作者姓名 高贝贝 指导教师 王定江 学科专业 数 学 所在学院 理学 院 提交日期 2015 年 5 月 25 日 _ 浙 江 工业 大 学 学 位 论文 原 创性 声 明 本 人 郑 重 声 明 ： 所 提 交 的 学 位 论 文 是 本 人 在 导 师 的 指 导 下 ， 独 立 进 行 研 究工 作 所 取 得 的 研 究 成 果 。 除 文 中 已 经 加 以 标 注 引 用 的 内 容 外 ， 本 论 文 不 包 含 其 他 个 人 或 集 体 已 经 发 表 或 撰 写 过 的 研 究 成 果 ， 也 不 含
2、为 获 得 浙 江 工 业 大 学 或 其 它 教 育 机 构 的 学 位 证 书 而 使 用 过 的 材 料 。 对 本 文 的 研 究 作 出 重 要 贡 献 的 个 人 和 集 体 ， 均 已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 作者签名： 日期： 年 月 日 学 位 论文 版 权使 用 授权 书 本 学 位 论 文 作 者 完 全 了 解 学 校 有 关 保 留 、 使 用 学 位 论 文 的 规 定 ， 同 意 学 校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。 本人授 权 浙 江 工 业 大 学 可 以 将 本 学 位 论 文 的 全
3、部 或 部 分 内 容 编 入 有 关 数 据 库 进 行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1、保密，在_ 年解密后适用本授权书。 2、不保密。 （请在以上相应方框内打“” ） 作者签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日 _浙江工业大学硕士学位论文 I 森林病虫害治理的脉冲微分 方程 模型 摘 要 众所周知，害虫是森林 系统的大 敌，每年 因森林病 虫害致死 的 树 木不计其 数，利用 数学模型 能够帮助 定量 分析 如何更好 的实施害 虫 综 合治理，比 如人工 机械等物 理防治、 控制喷洒 杀虫剂的 化学防治 和 投 放害
4、虫天 敌的生物 防治等措 施 。很多 文献利用 脉冲微分 方程理论 建 立 了脉冲喷 洒杀虫剂 的微分方程 模型， 或者脉冲 喷洒杀虫 剂和脉冲 投 放 天敌相结 合的害虫 综合治理 模型，并 得到了许 多有意义 的结果， 但 是 多数 都没 有考虑病 虫害发生 率和森林 树木总数 变化的情 况。本文研究 内容主要 包括： 第三 章研究脉 冲喷洒杀 虫剂的植 物病虫害 模型。考 虑在传染 率 随 时间周期 变化和森 林树木总 数保持不 变的条件 下，讨论 具有垂直 传 播 的一类具 有单个 种 群的脉冲 喷洒农 药 的 SIRS 模 型，根 据单值算 子和 Bohl-Brouaser 不 动
5、点理论证 明了无 病 周期解存 在性， 并 且利用单 值矩 阵， Floquet 理论得 到其基本 再生数 并 且给出了 其无病虫害 周期解 局部 渐近稳定 的条件 。 第四章讨论具有垂直传 播的一类 具有单个 种群的脉 冲喷洒农 药 的 SIRS 模型， 考虑传 染率随时 间周期 变 化， 森林 树木 总量也 随时间 变化 的条件下 ， 根据单 值 算子和 Bohl-Brouwer 不动点理 论证明 了 无病周期 解存在性， 并且利 用单值矩 阵， Floquet 理论得 到其基 本再 生数并且 给 出了其无 病周期 解 局部渐 近 稳定的 条 件。进一 步，利 用 脉冲微 分 方程 _浙江
6、工业大学硕士学位论文 II 比较理论 讨论了病 虫害相对 根除和完 全根除的 周期解的 全局渐近 稳 定 性。 最 后， 根据实 际 意义选取 参数 ， 用 MATLAB 进 行数值 模拟 验证结论 的正确性 。 第 五 章 考 虑 植 物 、 害 虫 和 害 虫 天 敌 三 种 群 之 间 的 关 系 ， 在 人 工 喷 洒杀虫剂作用下， 建立一类新的三种 群的植物病虫害模 型。给出了模 型无天敌 病虫害 平 衡点和有 天敌病 虫 害平衡点 ，利用 Hurwitz 定理和 稳定性第一近似方 法讨论了平衡点的 稳定性，得到了两 类平衡点渐近 稳定的充 分条件， 并 用 Matlab 进 行了数
7、 值模拟， 验 证了结 论 的正确性 。 关键词： 病 虫害， 脉冲 喷洒 农药， 平 衡点，无 病周期 解 ，稳定性 _浙江工业大学硕士学位论文 III IMPULSIVE DIFFERENTIAL MODEL OF INTEGRATED PEST MANAGEMENT ABSTRACT As we all know that pest is the enemy of forest system. Each year,countless trees suffer serious damage by pests. Using the mathematical model can help to
8、 quantitatively analyze how to better implement integrated pest control. Using the impulsive control approach,such as artificial or mechanical physical control, chemical control of spraying insecticide, biological protection of releasing natural enermies and so on,many articles set up models of impu
9、lsive spraying pesticide and obtain a lot of meaningful results.however many of them neglect the fact that the transmission rate of plant insect pest and the total number of plants are change over time.This paper mainly include: In the third chapter, considering that the infection rate evolves perio
10、dically with time and the total number of forest trees remain unchanged, we dicuss the SIRS model of impulsive spraying pesticide with vertical transmission and single species. Firstly , according to the Monodromy operator and Bohl - Brouwer fixed point theory, we _浙江工业大学硕士学位论文 IV demonstrate the ex
11、istence of a disease-free periodic solution of the system. Secondly,taking advantage of Monodromy matrix and Floquet theory, we obtain a basic reproductive rate of the model. Lastly, we work out the conditions of locally asymptotic stability of disease-free periodic solution of the model. In the for
12、th chapter, we discuss the SIRSmodel of pulse spraying pesticide with vertical transmission and single species.Suppose that the incidence rate periodically change over time and the total number of forest trees also vary with time. Firstly,according to the monodromy operator and Bohl - Brouwer fixed
13、point theory,we demonstrate the existence of disease-free periodic solution and taking advantage of monodromy matrix and floquet theory,we obtain the condition of local asymptotical stability(LAS) for the disease-free periodic solution.In addition, we study the impulsive model stability by means of
14、piecewise continuous Lyapunov function and differential inequality theories. As the results,we obtain conditions of global asymptotic stability(GAS)for the periodic solution of pests being relatively or totally eradicated.Lasty, we select appropriate datas and use numerical examples shows the correc
15、t of the conclusions. In the fifth chapter, Dicuss the SIRSmodel of pulse spraying pesticide with vertical transmission and single species.Suppose that the incidence rate periodically change over time and the total number of forest trees also vary with time. Firstly,according to the monodromy operat
16、or and Bohl - Brouwer fixed point theory,we demonstrate the existence of disease-free periodic solution and taking advantage of monodromy matrix _浙江工业大学硕士学位论文 V and floquet theory,we obtain the condition of local asymptotical stability(LAS) for the disease-free periodic solution.In addition, we stud
17、y the impulsive model stability by means of piecewise continuous Lyapunov function and differential inequality theories. As the results,we obtain conditions of global asymptotic stability(GAS) for the periodic solution of pests being relatively or totally eradicated.Lasty, we select appropriate data
18、s and use numerical examples shows the correct of the conclusions. KEY WORDS: insect pests, equilibrium points,stability, the periodic solution,impulsive _浙江工业大学硕士学位论文 VI 目 录 摘要 .I ABSTRACT .III 目录. . .VI 第一章 绪论. .1 1.1 论文 选题 背景.1 1.2 国内 外研 究现 状. .1 1.3 本文 研究 问题 和 主要结 果. .3 第二章 预备知识.5 2.1 脉冲 微分 系统 .
19、5 2.2 脉冲 微分 方程 的解.7 2.3 脉冲 微分 不等 式.7 2.4 脉冲 微分 系统 的稳 定 性定义. .8 2.5 利用Lyapunov 函 数判 断稳定 性. .9 2.6 周期 脉 冲 微分 系统. .10 第三章 脉冲喷洒杀虫剂的植物病虫害模型的周期解.12 3.1 模型 的引 入.12 3.2 系统 的无 病周 期解.13 3.3 系统 无病 周期 解的 局 部渐近 稳定 性.15 3.4 结言.17 第四章 具有脉冲喷洒杀虫剂的单种群模型.18 4.1 模型 的建 立.18 4.2 无病 周期 解 的 渐近 稳 定性.20 4.3 系统 无病 周期 解全 局 渐近稳
20、 定性.21 4.4 数值 模拟.24 4.5 结言.26 第五章 含三种群的植物病虫害模型的稳定性.27 5.1 模型 的建 立.27 5.2 系统 的平 衡点.27 5.3 平衡 点的 稳定 性.28 5.3.1 无害虫天敌平衡点的渐 近稳定性.29 5.3.2 病虫害平衡点的渐近 稳定性.30 5.4 数值 模拟.31 5.5 结言. . . .34 第六章 总结与展望. .35 参考文 献 .36 致谢 .39 攻读学位期间发表的学术论文.40 _浙江工业大学硕士学位论文 1 第 一 章 绪 论 1.1 选题背景 生 物 数 学 是 生 物 学 与 数 学 之 间 的 边 缘 交叉学科
21、， 它 以 数 学 方 法 研 究 和 解 决生 物 学 问 题 ， 并 对 与 生 物 学 有 关 的 数 学 方 法 进 行 理 论 研 究 。 传 染 病 动 力 学 与 种 群 动 力 学 是 近 年 来 发 展 比 较 快 且 理 论 积 淀 比 较 丰 富 的 生 物 数 学 的 两 大 分 支 。 而 在 传 染 病 动 力 学 和 种 群 动 力 学 中 有 很 多 生 命 现 象 以 及 人 们 对 某 些 生 命 现 象 的 管 理 并 非 是 一个连续的过程1-5， 比如， 在传染病动力学中的预防、 传染病的定期接种疫苗、 癌 细 胞 的 定 期 放 疗 和 化 疗 等
22、等 。 在 种 群 动 力 学 中 ， 许 多 种 群 的 出 生 是 季 节 性 或 瞬 时 的 ， 例 如 ， 许 多 鱼 类 都 是 季 节 产 卵 ， 因 此 鱼 苗 会 在 短 时 间 内 剧 增 。 另 外 在 人 们 对 生 物 资 源 的 开 发 利 用 中 ， 种 群 数 目 发 生 瞬 间 变 化 的 现 象 也 很 普 遍 ， 诸 如 在 渔 业 生 产 中 ， 鱼 苗 的 投 放 或 收 获 也 都 不 是 连 续 发 生 的 。 在 林 业 、 农 业 生 产 中 ， 人 们 经 常 通 过 定 期 喷 洒 农 药 或 投 放 天 敌 来 治 理 害 虫 ， 从 而
23、引 起 害 虫 和 害 虫 天 敌 在 短 时 间 内 数 目 引 起 明 显 的 变 化 。 这 些 现 象 的 发 生 不 能 单 纯 地 用 微 分 方 程 或 差 分 方 程 来 描 述，而需要用脉冲微分方程描述更合适。 脉冲微分方程的研究是在常微分方程的基础上展开的， 脉冲微分方程的理论 始于20 世纪60 年代Milman V D 和 Myshkis A D 的工作，并在 80 年代以后得到 了较大的发展。20 世纪90 年代， 众多学者致力于脉冲微分方程理论的完善工作， 逐步建立了脉冲微分方程 解的存在性基本定理、脉冲微分、积分不等式和脉冲微 分方程稳定性的基本理论等。在这期间，
24、大多数研究工作都集中于研究脉冲时刻 固定的脉冲微分系统。对该类系统的研究主要包括两个方面：一是系统方面的拓 广，如脉冲摄动微分系统、脉冲混合 系统、脉冲泛函微分系统等，其中脉冲泛函 微分系统是研究的热点；二是稳定性概念方面的推广，如脉冲微分方程的实用稳 定性、指数稳定性、全局稳定性、严格稳定性等。 1.2 国内外 研究现 状 近 年 来 ， 人 类 传 染 病 动 力 学 系 统 研 究 文 献 十 分 丰 富6-7 ， 大 量 的 数 学 模 型 和近代数学理论被运用到传染病动力系统的研究中，而以此为基础，人们所研究 _浙江工业大学硕士学位论文 2 的范围也拓宽到许多领域8-10。比如最近人
25、们相继把许多重要的现代数学理论 应用到森林发展系统的研究上并取得了重要成果。而这些丰富的理论结果和研究 方法，为我们研究森林害虫综合治理提供了重要参 考。但是到目前为止，还是很 少有人能结合传染病动力学原理，建立更合理的森林脉冲微分方程模型。 人 类 在 控 制 森 林 病 虫 害 时 常 用 的 手 段 之 一 是 化 学 防 治11-13 ， 即 给 植 物 喷 洒 杀 虫 剂 以 达 到 杀 死 害 虫 的 目 的 （ 喷 洒 杀 虫 剂 相 当 于 给 植 物 接 种 ， 植 物 因 此获 得暂时的免疫 ， 过了平 均免疫期 1 ， 药物将不再 起免疫的作用 ） ， 因此 类似于 流
26、行病模型14-18, 我们还可以建立植物 病虫害 的 SIRS 模型，而 病虫 害的发生率 0 () ( ) ( ) () St U N I t Nt （其中 () Nt 是指环境中的植物总数） 对模型的研究具有重要意 义 。 在 很 多 模 型 中 ， 人 们 常 常 会 选 取 双 线 性 发 生 率 SI 或 标 准 发 生 率 S I N （see19-24 ）, 但 是 发 生 率 是 随 着 不 同 疾 病 或 病 虫 害 所 处 的 环 境 等 因 素 而 变 化 的，这时候 选择随 时间t 变化的发生 率 () S tI N 与现实生 活中的很多 系统更 为 接 近 （see1
27、7,25,26）。 植物喷洒农药的时候，很多模型将这一行为假定为连续的过程( 27-28) ，但 是实际上这样的假设既不经济也不环保， 例如文献26 中建立的 SEIR 模型分别考 虑连续接种和脉冲接种的两种策略， 并对相关结果进行了比较， 发现在传染率 为 常数的情况下，与连续接种策略相比，脉冲接种策略使用较少的接种量就可以使 得疾病根除。因此，研究脉冲模型（29-31 ） 越来越受到更多研究者的青睐。 在假设总人口为常数时，人们建立了很多能够反映疾病动力学特征的数学模 型32-34 ，这些模型研 究起来比较容易，结果也比较完整，因为这时模型可以降 维为平面系统。但是如果出生率与死亡率不等，
28、种群有人口迁移或有密度制约等 其他种群动力学因素，种群的总数常常就不能保持稳定了，所建立的模型也常常 不能降维，需要在三维空间讨论，但是它对于人类疾病有效防控具有更实际的意 义。 脉冲微分系统兼具连续系统和离散系统的特征，但又超出连续系统和离散系 统的范围。 近三十年来 ， 尽管脉冲微分系统取 得了大量的研究成果35-36， 但 亟 待解决的问题还有很多。对于脉冲微分系统来说，依赖状态的脉冲微分系统比固 _浙江工业大学硕士学位论文 3 定时刻 的脉冲微分系统更具一般性，与现实生活中的很多系统更为接近，但是因 为系统的解曲线与脉冲面的碰撞时刻和碰撞次数的不确定性，研究起来具有一定 的难度，致使目
29、前所得的结果甚少，因此该领域具有广阔的研究背景和很强的挑 战性。 1.3 本文研究的问 题和主要 结果 本 文 借 鉴 传 染 病 动 力 学 中 的 研 究 方 法 ， 建 立 了 一 些 具 有 单 种 群 和 三 种 群 的脉 冲喷洒杀虫剂的植物病虫害模型，并得到了一些有益的结果。 本文的主要研究内容如下： 1、 首先研究脉冲喷洒杀虫剂的植物病虫害模型。 考虑在传染率随时间周期变 化和森林树木总数保持不变的条件下，讨论具有 垂直传播的一类具有单个种群的 脉冲喷洒农药的 SIRS 模型40： ( R) ( ) , ( ) (1 ) , , ( ) (1 ) ( ), ( ) (1 ) (
30、), ,n ( ) ( ) ( ) ( ). dS S I t SI S R dt dI t SI I I I t nT dt dR I mR R dt S t p S t I t q I t t nT R t R t pS t qI t 其中 ( ), ( ), ( ) S t I t R t 分别表示植物无病虫害、 已染病害和喷洒杀虫剂具免疫的数量。 根据单值算子和 Bohl-Brouaser 不动点理论证明了无病周期解存在性，并且利用 单值矩阵，Floquet 理论得到其基本再生数 () Rt ，最后给出了其无病虫害周期解 局部渐近稳定的条件 ( ) 1 Rt 。 2、其次考虑传染率随时
31、间周期变化，森林树木随着时间也是变化的条件下， 讨论具有垂直传播的一类具有单个种群的脉冲喷洒农药的 SIRS 模型： _浙江工业大学硕士学位论文 4 1 1 1 1 2 1 1 () ( ) , () () ( ) (1 ) , () , ( ) (1 ) ( ), ( ) (1 ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). dS t b S R b I SI R d S dt N t d I t SI d d I b I I t nT dt N t dR I d R R dt S t p S t I t q S t t nT R t R t pS t qI t 根据单值算子和 Bohl-B
32、rouwer 不动点理论证明了无病虫害周期解存在性， 并 且利用单值矩阵，Floquet 理论得到其基本再生数并且给出了其无病虫害周期解 41-44局部渐近稳定的条件。 进一步， 利用脉冲微分方程比较理论讨论了病虫害 相对根除和完全根除的周期解的全局稳定性。最后，根据实际意 义选取参数，用 MATLAB 进行数值模拟验证结论的正确性。 3、 最后考虑植物、 害虫 和害虫天敌三种群之间的关系， 在人工喷洒杀 虫剂作 用下，建立一类新的三种群的植物病虫害模型： () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), () ( ) ( ), () ( ) ( ) ( ). dx t a kx t z t x
33、 t y t hx t dt dy t x t y t dt dz t x t z t hz t dt 给出了模型无天敌病虫害平衡点和有天敌病虫害平衡点，利用 Hurwitz 定理 和稳定性第一近似方法讨论了平衡点的稳定性，得到了两类平衡点渐近稳定的充 分条件，并用Matlab 进行了数值模拟，验证了结论的正确性。 _浙江工业大学硕士学位论文 5 第 二章 预 备知识 下面关于脉冲微分方程的定 义、定理等结论主要引 自 于参考文献37-39。 2.1 脉冲微 分系统 首先给出脉冲微分系统的一般定义. 定义 2.1.1 （1）考虑微分系统 ( , ) dx f t x dt （2-1） 其中:,
34、 nn f 为开集， n 为n 维欧式空间， 0, ； （2）对任意t ，存在两个集合 ( ), ( ) M t N t ； （3）算子 ( ) : ( ) ( ), A t M t N t t 。 设 00 ( ) ( , , ) x t x t t x 是系统 （2-1） 满足 00 () x t x 的解.它具有如下特点： 动点 ( , ( ) t p t x t 起始于 00 ( , ) tx 并沿曲线 0 ( , ) | , ( ) t x t t x x t 运动， 在 10 t t t 处， t p 与集合 () Mt 相遇，这时算子 () At 将点 1 11 ( , ( ) t p t x t 作用到 1 1 1 1 ( , ( ) ( ) t p t xt N t ，其中 1 1 1 ( ) ( ) ( ) xt At xt .而点 t p 从 1 11 ( , ( ) t p t x t 出发继续沿解曲线运动， 直到 21 tt 时刻再 次 遇 到 集 合 () Mt ， 算 子 () At 将点 2 22 ( , (