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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考 试 ( 全国卷3）理科数学2018 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 全国卷3）理科数学一、选择 题：本题共12 小题， 每小题5 分，共60 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A x | x 1 0 ，B 0，1，2 ，则A B A0 B1 C1，2 D 0 ，1，2 21 i 2 i A3 i B3 i C 3 i D 3 i 3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边 的 小 长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯
2、视图可以是4若 sin 1 3 ，则 cos 2 A89 B79 C79 D89 52 2 x x 5 的展开式中4 x 的系数为A 10 B 20 C40 D 80 2 2 6直线xy 2 0 分别与x 轴，y 轴交于A，B两点，点P 在圆x y 上，则ABP 面积的取值 范围2 2 是A2 ，6 B4，8 C2 ，3 2 D2 2 ，3 2 7函数4 2 2 y x x 的图像大致 为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - -
3、 - - 1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2018 年普通高等学校招生全国统一考试( 全国卷3）理科数学8某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10 位成员中使用移动支付的人数，DX 2.4 ，P X 4 P X 6 ，则p A 0.7 B 0.6 C0.4 D 0.3 9 ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ， c ，若 ABC 的面积为2
4、 2 2 a b c 4 ，则 C A2 B3 C4 D6 10设A，B ，C ，D 是同一个半径为4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为9 3 ，则三棱锥D ABC 体积的最大值为A 12 3 B 18 3 C 24 3 D 54 3 11设 F1 ，F2 是双曲线2 2 x y C：2 2 1（ a 0，b 0 ）的左，右焦点，O 是坐标原点过F2 作 C 的一条渐近线的a b 垂线，垂足为P若PF1 6 OP ，则 C 的离心率为A 5 B 2 C3 D2 12设 a log 0.2 0.3 ， b log2 0.3，则A a b ab 0 B ab a b 0 C a
5、b 0 ab D ab 0 a b 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2018 年普通高等学校招生全国统一考试( 全国卷3）理科数学13已知向量a= 1,2 ，b= 2, 2 ，c= 1,若c2a + b，则_x 14曲线y ax 1 e 在点0 ，1 处的切线的斜率为2 ，则 a _15函数f x cos 3x 在0 ，的零点个数为_6 16已知点M 1，
6、1 和抛物线2 4 C：y x ，过 C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A，B两点 若AMB 90 ，则 k _三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（12 分）等比数列an 中， a1 1，a5 4a3 （ 1）求a的通项公式；n （ 2）记 S 为n a 的前n项和若Sm 63 ，求m n 18（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分
7、成两组，每组20 人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（ 1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（ 2）求40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过m 第一种生产方式第二种生产方式（ 3）根据（2）中的列联表，能否有99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异？2 2 n ad bc 附：K ， a b c d a c b d 3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
8、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 全国卷3）理科数学2P K k0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819（12 分）如图，边 长为2 的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M是 CD 上异于C ，D的点（ 1）证明：平面AMD 平面 BMC ；（ 2）当三棱锥 MABC 体积最大时，求面MAB与面 MCD 所成二面角的正弦值20（12 分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22xyC：1交于A，B两点
9、，线段AB的中点为M 1，mm043（ 1）证明：1k；2（ 2）设F为 C 的右焦点，P为 C 上一点，且FPFAFB0 证明：FA ， FP ， FB 成等差数列，并求该数列的公差21（12 分）已知函数2fx2xaxln 1x2x（ 1）若 a0 ，证明：当1x0 时，fx0；当 x0 时，fx0；（ 2）若 x0 是fx的极大值点，求a （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修4 4：坐标系与参数方程（ 10 分）在平面直角坐标系xOy 中， O 的参数方程为xycossin，（为参数），过点0 ，2且倾斜角为的直
10、线 l 与 O 交于 A ，B 两点（ 1）求的取值范围 ；（ 2）求AB中点P的轨迹的参数方程23选修4 5：不等式选讲 （ 10 分）设函数fx2x1x14名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 全国卷3）理科数学（ 1）画出y f x 的图像；（ 2）当x0 ，f x ax b ，求 a b 的最小值参考答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C
11、D A B C A D B C B C B 13. 1 2 14. 3 15. 3 16.2 17.(12 分 ) 解：（1）设 an 的公比为q，由题设 得n 1 a q . n 由已知得4 4 2q q ，解得q 0（舍去），q 2 或q 2 . 故n 1 a ( 2) 或n n 1 a 2 . n （ 2）若n 1 ( 2) n 1 m a ( 2) ，则S.由S 63得( 2) 188 ，此方程没有正整数解. n n m 3 若n 1 n m a 2 ，则21 S .由S 63得2 64 n n m ，解得m 6 . 综上，m 6 . 18.（ 12 分）解：（1）第二种生产方式的效率
12、更高. 理由如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - （ i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75% 的工人完成生产任务所需时间至少80 分钟，用第5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2018 年普通高等学校招生全国统一考试
13、( 全国卷3）理科数学二种生产方式的工人中，有 75% 的工人完成生产任务所需时间至多79 分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （ ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （ iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高. （ iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8 上的最多，关于茎
14、8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7 上的最多，关于茎7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.学科 * 网以上给出了4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （ 2）由茎叶图知79 81 m 80 . 2 列联表如下：超过m 不超过m 第一种生产方式15 5 第二种生产方式5 15 （ 3）由于2 2 40(15 15 5 5) K 10 6.635，所以有99% 的把握认为两种生产
15、方式的效率有差异. 20 20 20 20 15.（ 12 分）解：（1）由题设知,平面CMD 平面ABCD , 交线为CD .因为BC CD ,BC 平面ABCD ,所以BC平面CMD , 故 BCDM . 因为M 为CD 上异于C， D 的点,且 DC 为直径，所以DM CM. 又BC CM =C, 所以 DM 平面BMC . 而 DM 平面AMD ,故平面AMD 平面BMC . （ 2）以 D 为坐标原点, DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D- xyz. 6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -
16、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2018 年普通高等学校招生全国统一考试( 全国卷3）理科数学当三棱锥M- ABC 体积最大时，M 为CD 的中点.由题设得D (0,0,0), A(2,0,0), B (2,2,0), C (0,2,0), M (0,1,1) ，AM ( 2,1,1), AB (0,2,0), DA (2,0,0) 设n(x, y, z) 是平面MAB 的法向量,则nnAM AB 0, 即16.2x y z 0, 2y 0. 可取n(1,0, 2) . DA 是平面MCD 的法向量,因此cos n,
17、DA n DA |n | DA | 5 5 ，2 5 sin n, DA ，5 所以面MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是25 5 . 19.（ 12 分）解：（1）设A(x , y ), B(x , y ) ，则1 1 2 2 2 2 2 2 x y x y 1 1, 2 1 1 2 4 3 4 3 . 两式相减，并由y1 x 1 y 2 x 2 k 得x x y y 1 2 1 2 0 k 4 3 . 由题设知xx y y 1 2 1, 1 2 2 2 m ，于是k 3 4m .由题设得0 3 m ，故2 1 k . 2 （ 2）由题意得F (1,0) ，设P(x , y ) ，则3
18、 3 (x 1, y ) ( x 1, y ) (x 1, y ) (0,0) . 3 3 1 1 2 2 由（ 1）及题设得x3 3 (x1 x2) 1, y3 ( y1 y2 ) 2m 0 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 7名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页
19、 - - - - - - - - - 2018 年普通高等学校招生全国统一考试( 全国卷3）理科数学又点P 在 C 上，所以3 m ，从而4 3 P (1, ) ，2 3 | FP | . 2 于是2 x x 2 2 2 1 1 | FA| ( x 1) y (x 1) 3(1 ) 2 . 1 1 1 4 2 同理x 2 | FB | 2 . 2 1 所以| FA | |FB | 4 (x1 x2 ) 3. 2 故2| FP | | FA| | FB |，即| FA |,| FP |,| FB |成等差数列. 设该数列的公差为d，则1 1 2 2 |d | | FB | | FA | | x
20、x | (xx ) 4x x .1 2 1 2 1 2 2 2 将3 m 代入得k 1. 4 所以l 的方程为7 y x ，代入C 的方程，并整理得4 2 1 7 x14 x 0 . 4 1 x x 2, x x ，代入 解得故1 2 1 2 28 3 21 |d | . 28 所以该数列的公差为321 28 或321 28 . 17.(12 分 ) x 解：（1）当a 0 时，f (x) (2 x)ln(1 x) 2x ，( ) ln(1 ) f x x . 1 x 设函数( ) ( ) ln(1 ) g x f x x x 1 x ，则g ( x) x 2 (1 x) . 当1 x 0时，
21、g (x) 0；当x 0时，g (x) 0.故当x 1时，g (x) g(0) 0，且仅当x 0 时，g( x) 0 ，从而f (x) 0 ，且仅当x 0时，f (x) 0 . 所以f (x) 在( 1, )单调递增.学 .科网又f (0) 0，故当1 x 0时，f (x) 0；当x 0 时，f (x) 0 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - （ 2）（i）若a 0，由（ 1）知，当x 0 时，f (x) (
22、2 x)ln(1 x) 2 x 0 f (0) ，这与x 0 是f (x) 的极大值点矛盾. 8名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2018 年普通高等学校招生全国统一考试( 全国卷3）理科数学（ ii）若a 0 ，设函数f ( x) 2x h( x) ln(1 x) 2 2 2 x ax 2 x ax . 由于当1 | x| min1, | a| 时，2 2 x ax 0，故h( x) 与f (x) 符号相同.
23、 又h(0) f (0) 0 ，故x 0 是f (x) 的极大值点当且仅当x 0 是h(x) 的极大值点. h (x) 2 2 2 2 1 2(2 x ax ) 2x(1 2ax) x (a x 4ax 6a 1) 2 2 2 2 1 x (2 x ax ) (x 1)(ax x 2) . 如果6a 1 0，则当0 x 6a 1 4a ，且1 | x|min 1, | a| 时，h (x) 0 ，故x 0 不是h( x) 的极大值点 . 如果6a 1 0，则2 2 4 6 1 0 a x ax a 存在根x1 0 ，故当x ( x1 , 0)，且1 | x | min1, 时，| a| h (
24、x) 0，所以x 0 不是h( x) 的极大值点. 如果6a 1 0 ，则h (x) 3 x (x 24) 2 2 (x 1)(x 6x 12) .则当x ( 1,0) 时，h (x) 0；当x ( 0, 1)时，h (x) 0所以x 0 是h( x) 的极大值点，从而x 0 是f ( x) 的极大值点综上，1 a . 6 22选修 4 4：坐标系与参数方程（ 10 分）【解析】（ 1）O 的直角坐标方程为x2 y2 1当时，l 与O 交于两点2 当2 时，记tan k ，则l 的方程为y kx 2 l与O 交于两点当且仅当2 | | 1 2 1 k ，解得k 1或k 1，即( , ) 4 2
25、 或( , ) 2 4 综上，的取值范围是( , ) 4 4 （ 2）l 的参数方程为xt cos , y 2 t sin (t 为参数，4 4 ) 设A ，B ，P 对应的参数分别为t ，tB ，tP ，则A t t A B t ，且tA ，tB 满足t2 2 2t sin 1 0P 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 于是t t 2 2sin ，tP 2sin 又点P 的坐标(x, y)满足A B x t
26、 cos , P y 2 t sin . P 9名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2018 年普通高等学校招生全国统一考试( 全国卷3）理科数学所以点P 的轨迹的参数方程是x y 2 2 22 22 sin 2 , cos2 ( 为参数，4 4 ) 23选修 4 5：不等式选讲（ 10 分）1 3x, x , 2 【解析】（ 1）1 f (x) x 2, x 1, 2 3x, x 1. y f (x) 的图像如
27、图所示（ 2）由（1）知，y f (x) 的图像与y 轴交点的纵坐标为2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a 3且b 2时，f (x) ax b 在0, ) 成立，因此a b 的最小值为5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 10 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -