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1、理科数学试卷A 型第1页（共 5 页）2016 年普通高等学校招生全统一考试（全国1 卷）理科数学第卷一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合0342xxxA，032xxB，则BA（A） （3，23） （B） （3，23）（C） （1，23）（D） （23，3）（2）设yixi1)1 (，其中x,y是实数，则yix（A）1 （B）2（C）3（D）2 （3）已知等差数列na前 9 项的和为27，810a，则100a（A）100 （B）99 （C）98 （D）97 （4）某公司的班车在7:30,8:00,8:30 发车，小明在 7
2、:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（A）31（B）21（C）32（D）43（5）已知方程132222nmynmx表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为4，则m的取值范围是（A） （1，3）（ B） （1，3）（C） （0，3）（D） （0，3）（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是328，则它的表面积是（A）17（B）18（C）20（D）28（7）函数xexy22在22，的图象大致为（A）（ B）（C）（D）xxxxyyyyO-221O-221O-221-221O
3、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A 型第2页（共 5 页）是否nyynxx,213622yx输入nyx,输出yx,开始结束1nn（8）若1ba，10c，则（A）ccba（B）ccbaab（C）cbcaabloglog（ D）ccbaloglog（9）执行右图的程序框图，如果输入的0 x,1y,1n，则输出yx,的值满足（A）xy2（ B）xy3（C）xy4（D）xy5（10） 以抛物线C的顶点为圆心
4、的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点已知24AB，52DE，则C的焦点到准线的距离为（A）2 （B）4 （C）6 （D）8 （11） 平面过正方体1111DCBAABCD的顶点A，平面11DCB，平面mABCD，平面nAABB11，则nm,所成角的正弦值为（A）23（ B）22（C）33（D）31（12） 已知函数)sin()(xxf)2, 0(，4x为)(xf的零点，4x为)(xfy图象的对称轴，且)(xf在)365,18(单调，则的最大值为（A）11 （ B）9 （C）7 （D）5 第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13) (21) 题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)
5、(24) 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分。（13） 设向量) 1 ,(ma，)2, 1(b，且222baba，则m（14）5)2(xx的展开式中，3x的系数是 （用数字填写答案）（15） 设等比数列na满足1031aa，542aa，则naaa21的最大值为（16） 某高科技企业生产产品A和产品 B需要甲、 乙两种新型材料. 生产一件A需要甲材料1.5kg, 乙材料1kg，用 5 个工时； 生产一件B需要甲材料0.5kg, 乙材料 0.3kg ，用 3 个工时 . 生产一件A产品的利名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
6、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A 型第3页（共 5 页）FEABCD910118频数更换的易损零件数4020O润为 2100 元，生产一件B产品的利润为900 元. 该企业现有甲材料150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 工时的条件下，生产产品A、产品 B的利润之和的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分12 分）ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，已知cAbBaC)coscos(cos2. （）求C；（）若7
7、c，ABC的面积为233. 求ABC的周长 . （18） （本小题满分12 分）如图，在以FEDCBA,为顶点的五面体中， 面ABEF为正方形，FDAF2，90AFD，且二面角EAFD与二面角FBEC都是 60. （）证明：平面ABEF平面EFDC；（）求二面角ABCE的余弦值 . （19） （本小题满分12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后被淘汰. 机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个 200 元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种三年使用期内更换的易
8、损零件，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的频率，记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数. （）求X的分布列；（）若要求5 .0）（nXP，确定n的最小值；（）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在19n与20n之中选其一，应选用哪个？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A 型第4页（共 5
9、页）（20） （本小题满分12 分）设圆015222xyx的圆心为A， 直线l过点)0, 1(B且与x轴不重合，l交圆A于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （）证明EBEA为定值，并写出点E的轨迹方程；（）设点E的轨迹为曲线1C， 直线l交1C于NM ,两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于QP,两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. （21） （本小题满分12 分）已知函数2)1()2()(xaexxfx有两个零点 . （）求a的取值范围；（）设21,xx是)(xf的两个零点，证明：221xx. 请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
10、一题计分。（22） （本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲如图，OAB是等腰三角形，120AOB. 以O为圆心，OA21为半径作圆 . （）证明：直线AB与O相切；（）点DC,在O上，且DCBA,四点共圆，证明：CDAB. （23） （本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为,sin1,costaytax(t为参数，0a). 在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C：cos4. CBAOD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
11、- - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A 型第5页（共 5 页）（）说明1C是哪一种曲线，并将1C的方程化为极坐标方程；（） 直线3C的极坐标方程为0，其中0满足2tan0，若曲线1C与2C的公共点都在3C上，求a. （24） （本小题满分10 分）选修4-5 ：不等式选讲已知函数321)(xxxf. （）在答题卡第（24）题图中画出)(xfy的图像；（）求不等式1)(xf的解集 . xy11o名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
12、 - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A 型第6页（共 5 页）2016 年全国卷高考数学（理科）答案与解析一、选择题【答案】（1）D（2）B （3）C （ 4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）C （10）B （11）A （12）B【解析】（1）310342xxxxxA，23032xxxxB，323xxBA（2）yixi1)1(即yixix1yxx1， 解得：11yx， 222yxyix（3）2792292)(955919aaaaS35a，810a1510510aad，989010100daa（4）如图所示，画出时间轴：小
13、明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟，根据几何概型，所求概率21401010p（5）132222nmynmx表示双曲线，则0)3)(22nmnm，223mnm，22224)3()(42mnmnmcc解得12m，31n（6）原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的1/8 后的三视图，表面积是7/8 的球面面积和三个扇形面积之和，8:208:107:507:408:308:007:30BACD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
14、整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A 型第7页（共 5 页）172413248722S（7）08.288)2(22ef，排除 A；17.288)2(22ef，排除 B；0 x时，xexxf22)(，xexxf4)(，当)41,0(x时，0441)(0exf)(xf在)41,0(单调递减，排除C；故选 D（8）对 A：由于01c，函数cyx 在R上单调递增，因此1ccabab，A 错误；对 B：由于110c，函数1cyx在 1,上单调递减，111ccccababbaab，B 错误对 C：要比较logbac和logabc，只
15、需比较lnlnacb和lnlnbca，只需比较lnlncbb和lnlncaa，只需lnbb和lnaa构造函数ln1fxxx x，则ln110fxx，fx在1,上单调递增，因此110lnln0lnlnf af baabbaabb又由01c得ln0c，lnlnlogloglnlnabccbcacaabb，C 正确对 D：要比较logac和logbc，只需比较lnlnca和lnlncb而函数lnyx在 1,上单调递增，故111lnln0lnlnababab又由01c得ln0c，lnlnlogloglnlnabccccab，D 错误故选 C【2用特殊值法，令21,2,3cba得212123，排除A；2
16、1213223，排除B；2log221log332，C 正确；21log21log23，排除 D；选 C】（9）如下表：循环节运行次数12nx xxyyny判断2236xy是否输出1n nn运行前0 1 / / 1 第一次01否否2第二次122否否3第三次326是是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A 型第8页（共 5 页）输出23x，6y，满足4yx，故选 C（10）以开口向右的抛物线为例来解答，其
17、他开口同理设抛物线为22ypx0p，设圆的方程为222xyr，题目条件翻译如图：设0,22A x，,52pD，点0,22A x在抛物线22ypx 上，082px点, 52pD在圆222xyr 上，2252pr点0,22A x在圆222xyr 上，2208xr 联立解得：4p，焦点到准线的距离为4p2【如图，设抛物线方程为22ypx，圆的半径为r,AB DE交x轴于,C F点，则2 2AC，即A点纵坐标为2 2，则A点横坐标为4p，即4OCp，由勾股定理知2222DFOFDOr，2222ACOCAOr，即22224(5)()(22)()2pp，解得4p，即C的焦点到准线的距离为4】（11）如图所
18、示：11CB D平面，若设平面11CB D I平面1ABCDm，则1mm又平面ABCD平面1111ABC D，结合平面11B D C I平面111111A BC DB D111B Dm，故11B Dm同理可得：1CDn故m、n的所成角的大小与11B D、1CD所成角的大小相等，即11CDB的大小F AA1BB1DCC1D1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A 型第9页（共 5 页）而1111B CB
19、DCD（均为面对交线） ，因此113CDB，即113sin2CD B（12）由题意知：12+4+ +42kk则21k，其中kZ( )f xQ在 5,18 36单调，5,123618122T接下来用排除法若11,4，此时( )sin 114f xx，( )f x 在 3,18 44递增，在35,44 36递减，不满足( )fx 在 5,18 36单调；若9,4，此时( )sin 94f xx，满足( )f x 在 5,18 36单调递减名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9
20、 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A 型第10页（共 5 页）二、填空题【答案】（13）-2 （14）10 （15）64 （16）216 000 【解析】（13） 由已知得)3 ,1(mba, 2222222222113)1(mmbaba，解得2m2222baba得ba，0211m，解得2m（14）5(2)xx的展开式的通项为555255C (2 )()2Crrrrrrxxx(0r， 1， 2， ， 5)， 令532r得4r，所以3x的系数是452C10（15） 设等比数列na的公比为)0(qq，5105103112114231qaqaqaaaaaa，解得21
21、81qa，故421nna，4492721)7(214)2()3(212212121nnnnnaaa）（当43或n时，naaa21取得最大值6426（16） 设生产 A 产品x件， B 产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为*1.50.51500.3905360000 xyxyxyxyxNyN目标函数2100900zxy作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100) (0,200) (0,0) (90,0)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
22、- - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A 型第11页（共 5 页）在(60,100)处取得最大值，210060900 100216000z三、解答题（17）解：（I）由已知及正弦定理的，CABBACsin)cossincos(sincos2，即CBACsin)sin(cos2，故CCCsincossin2，可得21cosC，3C（II）由已知，233sin21Cab，又3C，6ab，由已知及余弦定理得，7cos222Cabba，故1322ba，从而25)(2ba，ABC的周长为75（18）解：（I）由已知可得AFDF，AFFE， AF平面 EF
23、DC 又 AF平面 ABEF，故平面ABEF平面 EFDC （II）过 D 作 DGEF， 垂足为 G， 由( ) 知 DG平面 ABEF，以 G 为坐标原点， ? ? ? ? ? 的方向为x 轴正方向，|? ? ? ? ? |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A 型第12页（共 5 页）由( ) 知 DFE 为二面角 ?- ? - ? 的平面角，故?
24、=60 ，则|? | = 2，|? | = 3，可得 ?(1,4,0)，?(-3,4,0) ，?(-3,0,0) ，?(0,0,3)，由已知， ABEF， AB平面 EFDC ，又平面 ABCD ? 平面 EFDC =CD，故 AB CD，CDEF，由 BEAF，可得 BE平面 EFDC ， CEF 为二面角C-BE-F 的平面角， CEF=60，从而可得 C(-2,0, 3), ? ? ? ? ? = (1,0, 3) ，? ? = ( 0,4,0)，? ? ? ? ? = (-3,-4, 3)，? = (-4,0,0)，设?= (?,?, ?) 是平面 BCE 的法向量，则? ? ? ?
25、? = 0，? ? ? = 0，即x+ 3z=04y=0 , 可取 ?= (3,0, -3) ，设?是平面 ABCD 的法向量，则 ? ? ? ? ? = 0，? ? = 0，同理可取 ? = (0, 3,4)，则cos? ，?=?|? |? |?|= -21919，故二面角E- BC-A 的余弦值为 -21919 . （19）解：（I）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数位8,9,10,11的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2，从而P(X=16)=0.2 0.2=0.04 ，P( X=17)=2 0.2 0.4=0.16 ，P( X=18)=2 0.2 0
26、.2+0.4 0.4=0.24 ，P( X=19)=2 0.2 0.2+2 0.4 0.2=0.24 ，P( X=20)=2 0.2 0.4+0.2 0.2=0.2 ，P( X=21)=2 0.2 0.2=0.08 ，P( X=22)= 0.2 0.2=0.04 ，所以 X 的分布列为（II）由 ( )知 P( X18)=0.44 ，P( X19)=0.68 ，故 n 的最小值为19（III ）记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），当 n=19 时， EY=19 2000.68+(19 200+500) 0.2+(19 200+2500) 0.08+(19 200+3
27、500) 0.04=4040 当 n=20 时， EY=20 2000.88+(20 200+500) 0.08+(20 200+2500) 0.04=4080 可知当 n=19 时所需费用的期望值小于n=20 时所需费用的期望值，故应选n=19X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A
28、型第13页（共 5 页）（20）解：（I） |AD| = |AC|，EBAC ，故 EBD =ACD =ADC |EB| = |ED|，故 |EA| + |EB| = |EA| + |ED|又圆 A 的标准方程为16)1(22yx, 从而 |AD| = 4， |EA| + |EB| = 4由题设得 A(-1,0)， B(1,0) ， |AB| = 2， 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：）（013422yyx（II ）当 l 与 x轴不垂直时，设l 的方程为）（0)1(kxky，),(11yxM，),(22yxN由134) 1(22yxxky，得01248)34(2222kxkxk则348222
29、1kkxx，341242221kkxx；34) 1(12122212kkxxkMN过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线m：)1(1xky，A 到 m 的距离为122k，1344)12(4222222kkkPQ故四边形MPNQ 的面积341112212kPQMPS可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)3812(，当 l 与 x 轴垂直时，其方程为8, 3, 1PQMNx，四边形MPNQ 的面积为12综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为），3812（21）解：（I）)2)(1()1(2)1()(aexxaexxfxx（i）设0a，则xexxf)2()(，)(xf只有
30、一个零点（ii ）设0a，则当)1(，x时，0)(xf；当)1( ，x时，0)(xf)(xf在)1(，单调递减，在)1 ( ，单调递增又afef)2()1 (，取 b 满足0b且2lnab，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A 型第14页（共 5 页）0)23()1()2(2)(22bbabababf，故)(xf存在两个零点（iii ）设0a，由0)(xf得1x或)2ln(ax若2ea，则1)2l
31、n(a，故当)1( ，x时，0)(xf，因此)(xf在)1 ( ，单调递增又当1x时，0)(xf，)(xf不存在两个零点；若2ea，则1)2ln(a，故当)2ln(1 (ax，时，0)(xf；当)2(ln(，ax时，0)(xf 因此)(xf在)2ln(1 (a，单调递减，在)2(ln(，a单调递增又当1x时，0)(xf，)(xf不存在两点零点综上，a的取值范围为)0( ，（II ）不妨设21xx，由( ) 知，)1(1，x，)1(2，x，) 1(22，x，)(xf在)1(，单调递减，)2()(22121xfxfxx，即0)2(2xf22222)1()2(2xaexxfx，而0)1()2()(2
32、2222xaexxfx，22)2()2(2222xxexexxf设xxexxexg)2()(2，则)()1()(2xxeexxg当1x时，0)(xg，而0)1(g，故当1x时0)(xg从而0)2()(22xfxg，故221xx（22）解：（I）设 E 是 AB 的中点，连结OEOA =OB， AOB =120， OEAB ， AOE =60在 RtAOE 中， OE=12AO，即 O 到直线 AB 的距离等于O 的半径， AB 与 O 相切（II ）OA=2OD，O 不是 A, B, C, D 四点所在圆的圆心设O是 A,B,C,D 四点所在圆的圆心，作直线OO由已知得O 在线段 AB 的垂直
33、平分线上，又O在线段 AB 的垂直平分线上，OO AB 同理可证， OO CD AB CDEODCOBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 理科数学试卷A 型第15页（共 5 页）（23）解：（I）消去参数t得到1C的普通方程222) 1(ayx1C是以（ 0,1）为圆心， a 为半径的圆将sincosyx，代入1C的普通方程中，得到1C的极坐标方程为01sin222a（II ）曲线21,CC的公共点的极坐标满足
34、方程组cos401sin222a，若0，由方程组得01cossin8cos1622a，由已知2tan，可得0cossin8cos162，从而012a，解得1a（舍去），1a1a时，极点也为21,CC的公共点，在3C上1a（24）解：（I）2342312314)(xxxxxxxf，)(xfy的图像如图所示（II ）由)(xf得表达式及图像，当1)(xf时，可得1x或3x；当1)(xf时，可得31x或5x；故1)(xf的解集为31xx；1)(xf的解集为531xxx或丨1)(xf的解集为53131xxxx或或丨xy11o名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -