《2022年高考数学理一轮复习教案第八篇立体几何第讲空间向量及其运算 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学理一轮复习教案第八篇立体几何第讲空间向量及其运算 .pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 6 讲空间向量及其运算【2013 年高考会这样考】1考查空间向量的线性运算及其数量积2利用向量的数量积判断向量的关系与垂直3考查空间向量基本定理及其意义【复习指导】空间向量的运算类似于平面向量的运算，复习时又对比论证，重点掌握空间向量共线与垂直的条件，及空间向量基本定理的应用基础梳理1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量(2)相等向量：方向相同且模相等的向量(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量(4)共面向量：平行于同一个平面的向量2空间向量的线性运算及运算律(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运
2、算，如下：OBOAABab；BAOAOBab；OP a( R)(2)运算律： (1)加法交换律： abba. (3)加法结合律： (ab)ca(bc)(4)数乘分配律： (ab) a b. 3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则 AOB 叫做名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 向量 a 与 b 的夹角，记作 a，b，其范围是0a，b
3、 ，若 a，b2，则称 a 与 b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b 则|a|b| cosa，b叫做向量 a，b 的数量积，即a b|a|b| cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律： ( a) b (a b)；交换律： a bb a；分配律： a (bc)a ba c. 4基本定理(1)共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使 a b. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b 不共线， p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在实数 x，y 使 pxayb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c 不共面，那么对空
4、间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 pxaybzc. 一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：(1)适当的选取基底 a，b，c；(2)用 a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题两个理解(1)共线向量定理还可以有以下几种形式：a b? ab；空间任意两个向量，共线的充要条件是存在 ， R 使 a b. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 若OA，OB不共线，则 P，A，B
5、三点共线的充要条件是 OP OA OB且 1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”四种运算空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全一致可类比学习学生要特别注意共面向量的概念而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习双基自测1已知向量 a平面 ，向量 a 所在直线为 a，则()AaBa? Ca 交 于一点Da或 a? 答
6、案D 2(人教 A 版教材习题改编 )下列命题：若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有 ABBCCDDA0；|a|b|ab|是 a、b 共线的充要条件；若 a、b共线，则 a 与 b所在直线平行；对空间任意一点O 与不共线的三点A、B、C，若OPxOAyOBzOC(其中x、y、zR)，则 P、A、B、C 四点共面其中不正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4 解析中四点恰好围成一封闭图形，正确；中当 a、b同向时，应有 |a|b|ab|；中 a、b所在直线可能重合；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
7、 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 中需满足 xyz1，才有 P、A、B、C 四点共面答案C 3(2012 福州质检 )a b( 是实数 )是 a 与 b共线的 ()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析a b? ab但b0，a0，则 ab，a b. 答案A 4(2012 舟山月考 )平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量 AB、AD、AA1两两的夹角均为60 ，且 |AB|1，|AD|2， |AA1|3，则 |AC1|等于()A5 B6 C4 D8 解析设ABa，ADb，AA1c，则AC1abc，AC
8、12a2b2c22a b2b c2ca25，因此|AC1|5. 答案A 5在四面体O-ABC 中，OAa，OBb，OCc，D 为 BC的中点， E 为 AD 的中点，则 OE_(用 a，b，c表示)解析如图， OE12OA12OD12OA14OB14OC12a14b14c. 答案12a14b14c考向一空间向量的线性运算名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 【例 1】?如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中 G
9、 为A1BD 的重心，设 ABa，ADb，AA1c，试用 a，b，c表示AC1，AG. 审题视点 正确运用空间向量的加法运算用已知向量表示出未知向量解AC1ABBCCC1ABADAA1abc. AGAA1A1GAA113(A1DA1B) AA113(ADAA1)13(ABAA1) 13AA113AD13AB13a13b13c. (1)通过以上表示可以看出 AC13AG即证明： A、G、C1三点共线 G 为AC1的三分之一分点(2)解决几何问题的难点是作辅助线，而利用向量解决几何问题恰好回避了这一难点问题，把证明转化为运算【训练 1】 如右图，已知M、N 分别为四面体ABCD 的面 BCD 与面
10、 ACD 的重心，且 G 为 AM 上一点，且GMGA13.设ABa，ACb，ADc，试用a，b，c 表示BG，BN. 解BGBAAGBA34AMa14(abc)34a14b14c，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - BNBAANBA13(ACAD)a13b13c. 说明此问题事实上解决了B、G、N 三点共线问题，同学们可以通过此题想象正四面体外接球和内切球的球心位置考向二共线共面定理的应用【 例2 】 ? 如 右
11、 图 ， 已 知 平 行 六 面 体ABCD-ABCD ， E 、 F 、 G 、 H分 别 是 棱AD、DC、CC 和 AB 的中点，求证E、F、G、H 四点共面审题视点 四点共点，考虑构造有关向量，然后利用共面向量定理证明证明取EDa、EFb、EHc，则 HGHBBCCGDF2ED12AAba2a12(AHHEEA)ba12(baca)32b12c，H G与 b、c共面即 E、F、G、H 四点共面证明 E、F、G、H 四点共线，只须证明HG EF EH即可，即证HG、EF、EH三个向量共面此种方法也是证明直线与平面平行的方法【训练 2】 如图在三棱柱 ABC-A1B1C1中，D 为 BC
12、边上的中点，试证 A1B平面 AC1D. 证明设BAa，BB1c，BCb，则BA1BAAA1BABB1ac，ADABBDAB12BCa12b，AC1ACCC1BCBABB1bac，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - BA1AC12AD，AB?平面 AC1D，因此 A1B平面 AC1D. 考向三空间向量数量积的应用【例 3】?如图，在四面体 S-ABC 中，若 SABC，SBAC，试证 SCAB. 审题视点 可通过证
13、明两直线的方向向量的数量积为0 来证明两直线垂直证明取SAa，SBb，SCc，由已知 SABC，SBAC，即a cb 0b ca 0 得 c (ba)0，则 SCAB. 利用空间向量的基本定理适当的选取基底，将立体几何问题转化为已知a cb 0，b ca 0，求证 c (ba)0 回避了传统几何法中作辅助线这一难题以上证法同时也证明了平面几何中“三角形的三条高线交于同一点”这一命题【训练 3】 已知如右图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，且 C1CDC1CBBCD60 . (1)求证： C1CBD；(2)当CDCC1的值是多少时，能使A1C平面 C1BD？请给
14、出证明(1)证明取CDa，CBb，CC1c，由已知 |a|b|，且 a，b b，c c，a60 ，BDCDCBab，CC1 BDc (ab)c ac b12|c|a|12|c|b|0，C1CBD，即 C1CBD. (2)若 A1C平面 C1BD，则 A1CC1D，CA1abc，C1Dac. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - CA1 C1D0，即(abc) (ac)0. 整理得： 3a2|a|c| 2c20，(3|
15、a|2|c|)(|a|c|)0，|a|c|0，即|a|c|.即当CDCC1|a|c|1 时，A1C平面 C1BD. 规范解答 14利用空间向量证明平行或垂直问题【问题研究】从近几年高考试题的命题情况来看，高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行，线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几何知识，常和角与距离的求解 .体积的计算等综合命题，同时考查判定定理、性质定理、定义以及对符号语言的识别和转化，难度以中低档题目为主. 【解决方案】建立空间直角坐标系，用坐标或基底表示相关的向量，把线面关系的逻辑推理转化为相应直线的方向向量和平面的法向量之间的运算，用代数运算代替空间线面关系的逻辑推理，使证明和运
16、算过程具有程序化. 【示例】? (本题满分 12 分)(2011 全国改编 )如图，四棱锥 SABCD 中，ABCD，BCCD，侧面 SAB为等边三角形 ABBC2，CDSD1. (1)证明： SD平面 SAB；(2)求 AB 与平面 SBC所成的角的正弦值(1)本题可以通过计算边边关系证明SD平面 SAB，第 2 问也可作出 AB与平面 SBC 所成的角，利用解三角形来计算，但这种方法必须加辅助线，且易找错角，故考虑用向量法，建立恰当的空间直角坐标系是解题关键解答示范 以 C 为坐标原点，射线CD 为 x 正半轴，建立如图所示的空间直角名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
17、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 坐标系 Cxyz. 设 D(1,0,0)，则 A(2,2,0)、B(0,2,0)又设 S(x，y，z)，则 x0，y0，z0. (1)证明A S(x2，y2，z)，BS(x，y2，z)，DS(x1，y，z)，由 |AS|BS|得x22 y22z2x2 y22z2，故 x1. 由|DS|1 得 y2z21，又由|BS|2 得 x2(y2)2z24，即 y2z24y10，故 y12，z32. 于 是S1，12，32， AS1，32，32，
18、 BS1，32，32， DS0，12，32，DS AS0，DS BS0，故 DSAS，DSBS，又 ASBSS，所以SD平面 SAB.(6 分) (2)解设平面SBC 的法向量a(m，n，p)，则 aBS，aCB，a BS0，a CB0. 又BS1，32，32，CB(0,2,0)，故m32n32p0，2n0.(9 分) 取 p2 得 a(3，0,2)又AB(2,0,0)，cosAB，aAB a|AB| |a|217. 故 AB 与平面 SBC所成角的正弦值为217.(12 分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名
19、师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 直线和平面的位置关系可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系来判断证明的主要思路是：(1)证明线线平行：可证两条直线的方向向量共线；(2)证明线面平行： 证明直线的方向向量和平面的法向量垂直，证明直线的方向向量可用平面内的两个不共线向量线性表示；(3)证明面面平行：可证两个平面的法向量共线； (4)证明线线垂直：可证两条直线的方向向量垂直；(5)证明线面垂直： 证明直线的方向向量和平面内的两个不共线向量垂直，证明直线的方向向量与平面的法向量共线； (6)证明面面垂直：可证两个平面的法向量
20、互相垂直【试一试】设 p：方程 x22mx10 有两个不相等的正根； q：方程 x22(m2)x3m100 无实根求使 pq 为真， pq 为假的实数 m的取值范围尝试解答 由14m240，x1x22m0，得 m1. p：m1；由 24(m2)24(3m10)0，知2m3，q：2m3. 由 pq 为真， pq 为假可知，命题 p，q 一真一假，当 p 真 q 假时，m1，m3或m2，此时 m2；当 p 假 q 真时，m1，2m3，此时 1m3. m 的取值范围是 m|m2，或 1m3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -