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1、学习必备欢迎下载二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f xaxbxc a( )()20，求fx( )在xmn，上的最大值与最小值。分析：将fx( )配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba2当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上f x( )的最值：（1） 当bamn2，时，fx( )的最小值是fbaacbafx2442， ( )的最大值是f mf n( )( )、中的较大者。（2）当bamn2，时若bam2，由f x( )在mn，
2、上是增函数则fx( )的最小值是f m()，最大值是f n( )若nba2，由f x( )在mn，上是减函数则fx( )的最大值是fm()，最小值是fn( )当a0时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定； （2）轴定，区间变； （3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“ 定二次函数在定区间上的最值 ” 。例 1. 函数yxx242在区间 0，3上的最大值是_
3、，最小值是 _。练习 . 已知232xx，求函数fxxx( )21的最值。2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“ 定函数在动区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载上的最值 ” 。例 2. 如果函数fxx( )() 112定义在区间tt，1上，求fx( )的最值。例 3. 已知2( )43f xxx，当1()xtttR，时，求( )f x的最值对二次函数的区间最值结合函数图象总结 如下：当a0时)(212)()(212)()(21max如图如图，nmabnf
4、nmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载当a0时)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxff xf mbam nf nbam n( )( )()()( )()()min，如图如图2122129103、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“ 动二次函数在定区间上的最值” 。例 4
5、. 已知x21，且a20，求函数fxxax( )23的最值。例 5. (1) 求2f( x )x2ax1在区间 -1,2 上的最大值。(2) 求函数)(axxy在 1,1x上的最大值。4. 轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“ 动二次函数在动区间上的最值 ” 。例 6. 已知24 ()(0),ya xa a，求22(3)uxy的最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例 7. 已知函数2
6、( )21f xaxax在区间 3,2上的最大值为4，求实数a 的值。例 8.已知函数2( )2xf xx在区间, m n上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。例 9. 已知二次函数2f ( x )ax(2a1)x1在区间3,22上的最大值为3，求实数a 的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载二次函数在闭区间上的最值专题演练1函数y12xx在1 , 1上的最小值和最大值分别是（）)(A1 ,3 )(B43,3（ C）21,3 （D）41, 32函数242xxy在区间4, 1上的最小值是（）)(
7、A7)(B4)(C2)(D2 3函数5482xxy的最值为（）)(A最大值为8，最小值为0)(B不存在最小值，最大值为8（C）最小值为0, 不存在最大值)(D不存在最小值，也不存在最大值4若函数 4, 0,422xxxy的取值范围是_ 5已知函数fxaxaxa( )()()22130322在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为_. 6已知函数322xxy在闭区间,0m上有最大值3，最小值 2，则m的取值范围是（）(A) ), 1(B) 2,0(C) 2 ,1 (D) 2 ,(7设),(1, 44)(2Rtttxxxxf求函数)(xf的最小值 . 8. 已知函数2( )48f xxkx在5,2
8、0上具有单调性，求实数k 的取值范围。9. 若函数2( )(2)2(2)40f xaxaxxR对一切恒成立，则a的取值范围（）A.(,2B. 2,2C.( 2,2D.(, 2)10. 已知函数2( )442f xxax在(-,0内单调递减，则a 取（）A.3aB.3aC.a-3 D.a311. 已知函数2( )f xxkx在2,4上是单调函数，求k 的取值范围。12. 已知函数2( )23f xxx在0,m上有最大值是3，最小值是2，求 m 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载13. 已知函
9、数2( )34f xx的最大值为M，最小值为m，则 M+m=_. 14. 已知函数22( )44f xxaxa -2a+2 在0,2上的最小值为3，求 a 的值。15.求函数2( )2f xxx +3的单调区间。16. 已知函数2( )26f xxx在下列定义域上的值域：（1）定义域为 xZ03x（2）定义域为 -2,1. 17. 已知函数2( )3,f xxaxa若 2,2x，有( )2f x恒成立，求a 的取值范围。18. 已知函数2( )f xx，2,xa其中2a，求该函数的最大值与最小值。19 已知二次函数2( )6fxxxa的函数值总为负数，求a 的取值范围。20. 已知二次函数2(
10、 )(6)2(1)1f xmxmxm的图像与x 轴总有交点，求m 的取值范围。21. 已知二次函数2( )(1)3f xxmxm顶点在 y 轴上，求m 的值。22. 已知函数22( )()2f xmxmm x的图像关于y 轴对称，求m 的值。23. 已知函数2( )(2)2(2)40f xaxax对一切 x 恒成立，求m 的取值范围。24. 已知函数2( )4,(13)f xxaxx是单调增函数，求实数a 的取值范围。25. 已知函数2( )1f xxax有负值，求a的取值范围。26. 已知函数2( )(2)32f xmxm的图像在x 轴下方，求m 的值。27. 已知函数2( )10f xxa
11、x对于一切1(0,2x成立，求a 的取值范围。28. 已知函数2( )23f xxmx，当(,1x时是减函数，求m 的取值范围。29 已知函数2( )2f xxaxa的定义域是R，求 a 的取值范围。30.已知函数2( )426()f xxaxaxR的值域为 0,，求 a 的值。31. . 已知函数2( )4f xxxm对于(0,1x恒成立，求 m 的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载32. . 已知函数2( )f xxbxc在0,)上是单调函数，则b 的取值范围。33.已知函数2( )2(
12、2)2 (2)f xxa xa a，求在0,2上的最小值。34. .已知函数2( )2(2)2f xxa xa，在0,2上是单调函数，求a 的取值范围。35.已知函数2( )2(2)2f xxa xa，在 ,2t t上是偶函数，求a 的取值范围。36.当 a=-2 时，求 .函数2( )2(2)2fxxa xa在 ,2t t上的最小值。37. 已知函数2( )2(2)2f xxa xa的定义域为R，求 a 的取值范围。38. 已知函数2( )21f xxax，求 2,1x上的最值。39. 已知函数2( )21f xxx，求,1xm m上的最值。40. 已知函数2( )21f xxaxa，0,1
13、x上的最值为2，求 a 的值。41. 已知函数2( )22f xxx：（1）若xR，求 f(x)的最小值。（2）若1,3x，求 f(x) 的最小值。（3）若 ,2,xa aaR，求 f(x)的最小值。42. 已知函数2( )23f xxkx，求 1,2x上的最大值。43. 已知函数2( )21f xkxkx，求 3,2x上的最值。44. 已知函数221( )334f xxxb，求, ,(0)xb bb上的最值。45. 已知函数( )()1f xx xt，求 1,1x上的最值。46. 已知函数2( )(21)3f xaxax，求3,22x上的最大值。47. 已知函数2( )3f xxax，求0,
14、1x上的最值。48. 已知函数( )()f xx xa，求 1, xa上的最大值。49. 已知函数2( )21f xxax，在 1,2x上的最大值为4，求 a的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载50. 若不等式2296260 xaxaa在1133x内恒成立，求a的取值范围。51. 已知函数2( )23f xxx，求 ,1xt t上的最值。52. 已知函数2( )25f xaxax，求0,3x上的最值。53. 已知函数2( )23f xxax，求 3,1x上的最值。54. 已知函数2( )38f x
15、axx，求 2,x上的最值。55. 已知函数2( )(43 )2f xa xxa，求0,1x上的最值。56. 已知函数22( )(21)1f xxtxt，当 t 取何值时，函数的最小值为0. 57. 已知函数2( )21f xxtx，求 1,1x上的最大值。58. 已知函数2( )4f xxxa，在0,6x上的最大值为13，求 a 的值。59. 已知函数2( )24f xxax，在0,3x上的最小值为1，求 a 的值。60. 已知函数2( )24f xxax，在1,3x上的最大值为13，求 a的值。61. 已知函数2( )24f xxax，在1,3x上的值域。62. 已知函数2( )1030f xxx，在 ,3xa a上的最小值为6，求 a的值。63. 已知函数2( )1030f xxx，求在 ,3xa a上的最小值。64已知)(xf22aaxx，在区间 1 ,0上的最大值为)(ag，求)(ag的最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页