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1、学习必备欢迎下载2012中考数学压轴题函数平行四边形问题(一) 例 1 已知平面直角坐标系xOy（如图 1），一次函数334yx的图像与 y 轴交于点 A，点 M 在正比例函数32yx的图像上，且MOMA二次函数yx2bxc的图像经过点A、M（1）求线段 AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点 B 在 y 轴上，且位于点A 下方，点 C在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334yx的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点 C的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“11 上海 24”，拖动点 B 在 y 轴上点 A 下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的
2、顶点C有一次机会落在抛物线上思路点拨1本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数2根据 MOMA 确定点 M 在 OA的垂直平分线上， 并且求得点M 的坐标， 是整个题目成败的一个决定性步骤3第（ 3）题求点 C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m 表示点 C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载满分解答（1）当 x0 时，3334yx，所以点 A 的坐标为 (0，3)，OA3如图 2，因为
3、 MOMA，所以点 M 在 OA的垂直平分线上，点M 的纵坐标为32将32y代入32yx，得 x1所以点 M 的坐标为3(1, )2因此132AM（2） 因为抛物线 yx2bxc 经过 A(0， 3)、 M3(1, )2， 所以3,31.2cbc解得52b，3c所以二次函数的解析式为2532yxx（3）如图 3，设四边形 ABCD 为菱形，过点A 作 AECD，垂足为 E在 RtADE中，设 AE4m，DE3m，那么 AD5m因此点 C的坐标可以表示为(4m，32m)将点 C(4m，32m)代入2532yxx，得23216103mmm解得12m或者 m0（舍去）因此点 C的坐标为（ 2，2）图
4、 2 图 3 考点伸展精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载如果第（ 3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图 4，点 C的坐标为7 27(,)4 16图 4 例 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载将抛物线 c1：233yx沿 x 轴翻折，得到抛物线c2，如图 1 所示（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移 m 个
5、单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与 x 轴的交点从左到右依次为D、E当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求m 的值；在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“11 江西 24”，拖动点 M 向左平移，可以体验到，四边形ANEM 可以成为矩形， 此时 B、D 重合在原点观察B、D 的位置关系，可以体验到，B、D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况思路点拨1把 A、B、
6、D、E、M、N 六个点起始位置的坐标罗列出来，用m 的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来2B、D 是线段 AE 的三等分点，分两种情况讨论，按照AB 与 AE的大小写出等量关系列关于m 的方程3根据矩形的对角线相等列方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载满分解答（1）抛物线 c2的表达式为233yx（2） 抛物线 c1：233yx与 x 轴的两个交点为 (1， 0) 、 (1， 0)， 顶点为(0,3)抛物线 c2：233yx与 x 轴的两个交点也为(1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)抛物线
7、c1向左平移 m 个单位长度后，顶点M 的坐标为(,3)m，与 x 轴的两个交点为( 1,0)Am、(1,0)Bm，AB2抛物线 c2向右平移 m 个单位长度后，顶点N 的坐标为(,3)m，与 x 轴的两个交点为( 1,0)Dm、(1,0)Em所以 AE(1m)(1m)2(1 m)B、D 是线段 AE的三等分点，存在两种情况：情形一，如图 2，B 在 D 的左侧，此时123ABAE，AE6所以 2(1 m)6解得 m2情形二，如图 3，B 在 D 的右侧，此时223ABAE，AE3所以 2(1 m)3解得12m图 2 图 3 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载如果以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形，那么AEMN2OM而 OM2m23，所以 4(1m)24(m23) 解得 m1（如图 4）考点伸展第（ 2）题，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM 中，因为 AB2，AB 边上的高为3，所以 ABM 是等边三角形同理 DEN 是等边三角形当四边形ANEM 是矩形时， B、D 两点重合因为起始位置时BD2，所以平移的距离m1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页