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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2022 中考数学压轴题函数平行四边形问题 二 例 3 如图 1,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过（1）求抛物线的解析式；A4,0 、B0,4 、C2,0 三点（2）如点 M 为第三象限内抛物线上一动点,点 M 的横坐标为 m, MAB 的面积为 S,求 S关于 m 的函数关系式,并求出 S的最大值；（3）如点 P 是抛物线上的动点,点 Q 是直线 y x 上的动点, 判定有几个位置能使以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点图 2 Q 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“10 河南 23
2、” ,拖动点 M 在第三象限内抛物线上运动,观察 S随 m 变化的图像,可以体验到,当 D 是 AB 的中点时, S取得最大值拖动点 Q 在直线 y x 上运动,可以体验到,以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形有 3 个时刻可以成为平行四边形,双击按钮可以精确显示思路点拨1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载1求抛物线的解析式,设交点式比较简便2把 MAB 分割为共底 MD 的两个三角形,高的和为定值 OA3当 PQ与 OB 平行且相等时,以点P、Q、B、O 为顶点的四边形是平行四边形,根据 P、
3、Q 的上下位置关系,分两种情形列方程满分解答1 由于抛物线与 x 轴交于 A4,0 、C2,0 两点,设 yax4 x2代入点B0, 4,求得 a 1所以抛物线的解析式为 y 1 x 4 x 2 1 x 2 x 42 2 22 如图 2,直线 AB 的解析式为 y x4过点 M 作 x 轴的垂线交 AB 于 D,那么 MD m 4 1m 2m 4 1m 22 m所以2 21 2 2S S MDA S MDB MD OA m 4 m m 2 42因此当 m 2 时, S取得最大值,最大值为 43 假如以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形是平行四边形,那么 PQ/ OB,PQOB4设点 Q 的坐标
4、为 ,x ,点 P 的坐标为 ,1x2x422 52当点 P 在点 Q 上方时,1x2x4x4解得x2此时点 Q 的坐标为 22 5, 22 5 （如图 3）,或 22 5, 22 5 （如图4）当点 Q 在点 P 上方时, x 1x 2x 4 42解得 x 4 或 x 0（与点 O 重合,舍去） 此时点 Q 的坐标为 4,4 （如图 5）2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 3 学习好资料欢迎下载图 5 图 4 考点舒展在此题情境下,以点P、Q、 B、O 为顶点的四边形能成为直角梯形吗？如图 6,Q2, 2；如
5、图 7, Q2,2 ；如图 8,Q4,4图 6 图 7 图 8 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载例 4 在直角梯形 OABC中, CB/ OA,COA90 , CB3,OA6,BA 3 5 分别以 OA、OC边所在直线为x 轴、 y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系（1）求点 B 的坐标；（2）已知 D、E 分别为线段 于点 F求直线 DE 的解析式；OC、OB 上的点, OD5,OE2EB,直线 DE 交 x 轴（3）点 M 是（ 2）中直线 DE 上的一个动点,在 x 轴上方的平面内
6、是否存在另一点N,使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？如存在,请说明理由恳求出点 N 的坐标； 如不存在,图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“10 山西 26” ,拖动点 M 可以在直线 DE 上运动分别双击按钮“DO、DM 为邻边” 、“DO、DN 为邻边” 和“DO 为对角线” 可以精确显示菱形思路点拨4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载3）题争论菱形提1第（ 1）题和第（ 2）题包蕴了OB与 DF 垂直的结论,为第（供了运算基础2争论菱形要进行两次（两级）分类,先根据 级分
7、类, DO 与 DM、DO 与 DN 为邻边满分解答1 如图 2,作 BHx 轴,垂足为 H,那么四边形DO 为边和对角线分类,再进行二BCOH为矩形, OHCB3在 Rt ABH 中, AH3,BA 3 5 ,所以 BH6因此点 B 的坐标为 3,6 b2 由于 OE2EB,所以xE2xB2,y E2yB4,E2,4 1,33设直线 DE 的解析式为ykxb,代入 D0,5 ,E2,4 ,得b5,4.解得k2 kb25所以直线DE 的解析式为y1x523 由y1x5,知直线 DE 与 x 轴交于点 F10,0 ,OF10,DF 5 5 2如图 3,当 DO 为菱形的对角线时, MN 与 DO
8、 相互垂直平分,点 M 是 DF 的中点此时点 M 的坐标为 5,5 2,点 N 的坐标为 5,5 2N 的如图 4,当 DO、 DN 为菱形的邻边时,点N 与点 O 关于点 E 对称,此时点坐标为 4,8 如图 5,当 DO、 DM 为菱形的邻边时,NO5,延长 MN 交 x 轴于 PPO由 NPO DOF,得NP DOPO OFNO DF,即NPPO5解得NP5,5105 52 5此时点 N 的坐标为 2 5,5 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 3 学习好资料欢迎下载图 4 考点舒展假如第（ 3）题没有限定点N 在 x 轴上方的平面内,那么菱形仍有如图6 的情形图 5 图 6 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页