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1、1.三角形的有关概念知识考点：理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。精典例题：【例 1】已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且ba， 那么这个三角形的周长L的取值范围是 （）A、bLa33B、aLba2)(2C、abLba262D、baLba23分析： 涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。答案： B 变式与思考： 在 ABC中， AC5，中线 AD7，则 AB边的取值范围是（）A、1AB29 B、4AB24 C、
2、5AB19 D、9AB 19 评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。【例 2】如图，已知ABC中， ABC450， ACB610，延长 BC 至 E，使 CE AC，延长 CB至 D，使 DBAB，求 DAE的度数。分析： 用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出D E的度数，即可求得DAE的度数。略解： ABDB，ACCE D21ABC， E21ACB D E21（ ABC ACB） 530 DAE 1800（ D E） 1270探索与创新：【问题二】如图，已知P是等边 ABC的 BC边上任意
3、一点，过P点分别作AB、AC的垂线 PE 、PD，垂足为 E、D。问： AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？分析与结论：（1）DE是 AED与四边形EBCD的公共边，只须证明AD AE BE BCCD （2）既有等边三角形的条件，就有600的角可以利用；又有垂线，可造成含300角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的边角关系来证明。略解：在等边ABC中， B C600又 PE AB于 E，PDAC于 D BPE CPD 300不妨设等边 ABC 的边长为1，BEx，CDy，那么： BPx2， PCy2，21yx，而 AEx1，ADy1AEAD23)(2yx又 BECDBC231)(y
4、xADAEBEBCCD 从而 ADAEDEBEBCCDDE 即 AED的周长等于四边形EBCD的周长。评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。跟踪训练：一、填空题：例 2 图EDCBA问题二图EDPCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页3、在 ABC中，若 C2（ AB） ，则 C度。6、如图，在 ABC中， A800， ABC和 ACB的外角平分线相交于点D，那么 BDC。10、若 ABC的三边分别为a、b、c，要使整式0)(mcbacba，则整数m应为。第 6 题 图F
5、EDCBA第 7 题图EDCBA第 8题图21CBA4、如图，已知OAa，P是射线 ON 上一动点（即P可在射线ON 上运动）， AON600，填空：（1）当 OP时， AOP为等边三角形；（2）当 OP时， AOP为直角三角形；（3）当 OP满足时， AOP为锐角三角形；（4）当 OP满足时， AOP为钝角三角形。a060第 4 题图NPOA一、填空题：；3、1200；5、 DCB；6、500；10、偶数。4、 （1）a； （2）a2或2a； （3）2aOPa2； （4）0OP2a或 OPa22.全等三角形知识考点：掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三
6、个判定定理来证明三角形全等。精典例题：【例 1】如图，已知AB BC，DCBC，E在 BC上， AE AD，ABBC。求证： CE CD。分析： 作 AFCD的延长线（证明略）评注： 寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：连结某两个已知点；过已知点作某已知直线的平行线；延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；作一角等于已知角。例 1 图FEDCBA例 2 图21EDCBA问题一图PE4321CBA【例 2】如图，已知在ABC中， C2B，1 2，求证： AB ACCD。精选学习资料 - - - - -
7、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页分析： 采用截长补短法，延长AC 至 E，使 AE AB，连结 DE；也可在AB上截取 AE AC，再证明EB CD（证明略） 。探索与创新：【问题一】阅读下题：如图，P是 ABC中 BC边上一点， E是 AP上的一点，若EB EC ， 1 2，求证： APBC。证明：在 ABE和 ACE中， EBEC ，AEAE， 1 2 ABE ACE （第一步）ABAC， 3 4（第二步）APBC（等腰三角形三线合一）上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证
8、明过程。略解： 不正确，错在第一步。正确证法为：BE CE EBC ECB 又 1 2 ABC ACB，ABAC ABE ACE （SAS ） 3 4 又 ABAC APBC 【问题二】 众所周知， 只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？请同学们参照下面的方案（1）导出方案（ 2） （3） （4） 。解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1） ：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。方案（2） ：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案（3） ：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。评注：这是一道典型
9、的开放性试题，答案不是唯一的。如方案（4） ：若此角为钝角， 则这两个三角形全等。 （5） ：若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。跟踪训练：一、填空题：3、如图，在 ABC中， C900，BC40，AD 是 BAC的平分线交BC于 D，且 DCDB35，则点 D 到 AB的距离是。第 3 题图DCBA第 4 题图HEDCBA） 。三、解答题：1、如图， 1 2， 3 4， EC AD。求
10、证： ABE和 BDC是等腰三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页解答题第1 题图D4321ECBA解答题第2 题图DFECBA2、如图， ABAE， ABC AED，BC ED，点 F是 CD的中点。（1）求证： AFCD；（2）在你连结BE后，还能得出什么新结论？请再写出两个。3、 （1）已知，在ABC和 DEF中， ABDE，BCEF ， BAC EDF 1000，求证： ABC DEF ；（2）上问中，若将条件改为ABDE， ，BCEF ， BAC EDF 700，结论是否还成立，为什么？4、如图，已知
11、MON 的边 OM 上有两点A、B，边 ON 上有两点C、D，且 ABCD，P 为 MON 的平分线上一点。问：（1） ABP与 PCD是否全等？请说明理由。（2） ABP与 PCD的面积是否相等？请说明理由。解答题第4 题图DPNMOCBA解答题第5 题图DEFCBA5、如图，已知CE AB，DFAB，点 E、F分别为垂足，且ACBD。（1）根据所给条件，指出ACE和 BDF具有什么关系？请你对结论予以证明。（2）若 ACE和 BDF不全等，请你补充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。参考答案3、15 三、解答题：1、略；2、 （1）略； （2）AFBE ，AF平分 BE等；3、 （1
12、）略； （2）不成立，举一反例即能说明；4、 （1）不一定全等，因ABP与 PCD中，只有 ABCD，而其它角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。 （ 2）面积相等，因为OP为 MON 平分线上一点，故P到边 AB、CD上的距离相等，即ABP中 AB 边上的高与 PCD中 CD边上的高相等，又根据ABCD（即底边也相等）从而ABP与 PCD的面积相等。5、 （1） ACE和 BDF的对应角相等； （2）略4.直角三角形、勾股定理、面积知识考点：了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线
13、段平方关系及与面积有关的问题等方面。精典例题：【例 1】如图，在四边形ABCD中， A 600， B D900，BC2，CD3，则 AB？分析： 通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。答案：338精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页例 1 图32EDCBA例 2 图QPCBA【例 2】如图， P为 ABC边 BC上一点， PC2PB，已知 ABC450， APC 600，求 ACB的度数。分析： 本题不能简单地由角的关系推出ACB 的度数，而应综合运用条件PC 2PB 及 A
14、PC600来构造出含300角的直角三角形。这是解本题的关键。答案： ACB 750（提示：过 C作 CQ AP于 Q，连结 BQ，则 AQBQCQ）探索与创新：【问题一】如图，公路MN 和公路 PQ在点 P处交汇，且 QPN300，点 A处有一所中学，AP160 米，假设汽车行驶时，周围100 米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN 上沿 PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18 千米小时，那么学校受影响的时间为多少秒？略解： 作 ADMN 于 D，在 RtADP 中，易知AD80。所以这所学校会受到噪声的影响。以A 为圆心， 100米为半径作圆交MN 于
15、 E、F，连结 AE、AF，则 AE AF100，根据勾股定理和垂径定理知：EDFD60，EF 120，从而学校受噪声影响的时间为：150118000120t（小时） 24（秒）评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。问 题 一 图FEDAQPNM12 CBA问题二图【问题二】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力如图 12，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220 千米的 B 处有一台风中心，其中心最大风力为12 级，每远离台风中心20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15 千米时的速度沿北偏东300
16、方向往 C 移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长? （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级? 解： （1）如图 1，由点 A 作 ADBC，垂足为D。AB 220， B30 AD110（千米）。由题意知， 当 A 点距台风中心不超过160 千米时， 将会受到台风的影响。故该城市会受到这次台风的影响。（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过160 千米时，将会受到台风的影响。则AE AF160。当台风中心从E处移 到F处 时，该城市 都会受到这次
17、台风的影响。 由勾股定理得 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页1530502701101602222ADAEDE。 EF 6015（千米）。该台风中心以15 千米时的速度移动。这次台风影响该城市的持续时间为154151560（小时）。（3）当台风中心位于D 处时， A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12201106.5（级）。评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A 点距台风中心不超过160 千米时，会受台风影响，若过A 作
18、ADBC 于 D，设 E ，F 分别表示 A 市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AEAF160；当台风中心位于D 处时， A 市受台风影响的风力最大。跟踪训练：一、填空题：第 5 题图DCBA4、等腰 ABC中，一腰上的高为3cm，这条高与底边的夹角为300，则ABCS。5、如图， ABC中，BAC 900，B 2C，D 点在 BC上，AD 平分 BAC，若 AB1，则 BD 的长为。7、如图，等腰梯形ABCD中， ADBC，腰长为8cm， AC、BD 相交于 O 点，且 AOD600，设 E、F 分别为 CO、AB的中点，则EF 。第 7 题图FEODCBA第 8 题图EQPDCB
19、A第 9 题图DCBA8、如图，点D、E 是等边 ABC的 BC、AC 上的点，且CDAE，AD、BE相交于 P 点， BQAD。已知PE 1，PQ3，则 AD。9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形 A、B、C、 D 的面积的和是。第 4 题图OCBA4、如图，已知ABC中， B 900，AB3，BC3，OAOC6，则 OAB 的度数为（）A、100B、150C、200D、250三、解答题：3、如图， ABC中， AD是高， CE是中线， DCBE ， DGCE于 G。（1）求证： G 是 CE的中点；（2） B 2BCE
20、。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页第 3 题图GEDCBA5、已知 ABC的两边 AB、AC 的长是方程023)32(22kkxkx的两个实数根，第三边BC 5。（1）k为何值时，ABC是以 BC为斜边的直角三角形；（2）k为何值时，ABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。参考答案一、填空题：1、 10 或72；2、16.9；3、1350；4、33cm2；5、13；6、5；7、4 8、 7；9、49 二、选择题： BDCB 三、解答题：1、 （1）； （2）略；（3）直角三角形或等腰三角形2、提示：过A
21、 作 ADBC于 D，则 AB23，AC323、提示：连结ED 4、 （1）51 米； （2）若要水渠造价最低，则水渠应与AB 垂直，造价2427 元。5、 （1）2； （2）k4 或 3，当k 4 时，面积为12。5.角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。精典例题：【例题】如图，已知在ABC中， ABAC， B300，AB 的垂直平分线EF交 AB于点 E，交 BC于点 F，求证：CF 2BF。分析一：要证明CF2BF，由于 BF与 CF没有直接联系，联想题设中EF是中垂线，根据其性质可连结AF，则BFAF。问题转化为证CF 2AF，又
22、 B C300，这就等价于要证CAF 900，则根据含300角的直角三角形的性质可得 CF 2AF2BF。分析二：要证明CF2BF，联想 B300，EF是 AB 的中垂线，可过点A 作 AGEF交 FC于 G 后，得到含300角的 RtABG，且 EF是 RtABG的中位线，因此BG2BF2AG，再设法证明AGGC，即有 BF FGGC。例题图 1 FECBA例题图 2 GFECBA分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作ADBC 于 D，则 BD CD，考虑到 B300，不妨设EF 1，再用勾股定理计算便可得证。以上三种分析的证明略。精选学习资料 - - - - - - - - -
23、名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页例题图 3 DFECBA问题图321EDCBA跟踪训练：一、填空题：2、如图，已知ABAC， A440，AB的垂直平分线MN 交 AC于点 D，则 DBC 。第 2 题图NMDCBA第 4 题图EABCD4、如图，在 ABC中， ABAC，DE是 AB 的垂直平分线，BCE的周长为24，BC 10，则 AB。5、如图， EG 、FG 分别是 MEF 和 NFE的角平分线，交点是G，BP、CP分别是 MBC 和 NCB的角平分线，交点是 P，F、 C在 AN 上， B、E在 AM 上，若 G680，那么 P。填空第 5 题图GPME
24、BNCFA选择第 1 题图FEDCBA选择第 2 题图4321DCBA1、如图， RtABC的 A 的平分线与过斜边中点M 的垂线交于点D，求证： MAMD。第 1 题图MDCBA第 2 题图EFDCBA第 3 题 图EFDCBA2、在 ABC中， ABAC，D、E在 BC上，且 DEEC ，过 D 作 DF BA交 AE于点 F，DFAC，求证： AE平分BAC 。3、如图，在ABC中， B22.50， C600，AB的垂直平分线交BC于点 D，BD26，AEBC于点 E，求 EC的长。4、如图，在RtABC中， ACB900，ACBC，D 为 BC的中点， CE AD，垂足为 E，BFAC
25、 交 CE的延长线于点 F，求证 AB垂直平分DF。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页第 4 题图EFDCBA参考答案一、填空题：1、 380；2、240；3、4；4、14；5、680二、选择题： CBCDB 三、解答题：1、过 A 作 ANBC于 N，证 D DAM；2、延长 FE到 G，使 EGEF ，连结 CG ，证 DEF CEG 3、连结 AD，DF为 AB的垂直平分线，ADBD26， B DAB22.50 ADE450，AE22AD26226 又 C600EC 32363AE4、证 ACD CBF 10
26、.三角形的中位线知识考点：掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。精典例题：例 2 图QPMDCBA【例 2】如图， ABC的三边长分别为AB14，BC16， AC26，P为 A的平分线AD 上一点，且BPAD，M 为 BC的中点，求PM 的长。分析： A 的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP交 AC于点 Q，由 ABP AQP 知 ABAQ14，又知 M 是 BC的中点，所以PM 是 BQC的中位线，于是本题得以解决。答案： PM6 。跟踪训练：一、填空题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9
27、 页，共 27 页第 7 题 图GQPFEDCBA7、如图， D、E、F 分别为 ABC三边上的中点，G 为 AE的中点， BE与 DF、DG 分别交于P、Q 两点，则PQBE。3、如图，已知 ABC的周长为1，连结 ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004 个三角形的周长为（）A、20031B、20041C、200321D、200421选择第 3 题图CBA跟踪训练参考答案一、填空题：；7、14 三、解答题：1、 （1）证 MNBC且 MNBC； （2）6cm。2、取 BC的中点构造三角形的中位线。3、解：设上底为x，下底为y，高为
28、h，由题意知EF )(21xy，即axy2，axyh3)(23，aahxy633232，所以：梯形 ABCD的面积为：2333621aaa12.解直角三角形知识考点：本节知识主要考查解直角三角形的四种类型，以及构造直角三角形解非直角三角形的有关问题。精典例题：【例 1】如图，在RtABC中， C 900，sinA52，D 为 AC上一点， BDC 450，DC6，求 AB的长。分析： 由 C900， BDC450，可知 DCBC6，再由 sinAABBC52即可求出 AB 的长。解：在 Rt ABC中， C900， BDC450 BDC DBC 450DCBC6 在 Rt ABC中， C900
29、，sinAABBC52例 1 图DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页AB25615 变式：如图，在ABC中， B900，C是 BD 上一点， DC10， ADB450， ACB 600，求 AB的长。分析： 设 ABx，通过解RtABC和解 RtABD即可。解：设 ABx B900， ACB 600BC060cotxx33又 BDBCDC 1033xx3515x答案： AB的长为3515评注：设关键线段（联系两直角三角形的线段）为x，建立方程是解直角三角形问题的一种常用的方法。【例 2】如图，在 ABC中，
30、 A300，E为 AC上一点， 且 AE EC 3 1，EF AB 于 F，连结 FC，则 cotCFB（）A、361B、321C、334D、341分析： 因为 CFB不是直角三角形的一个内角，故想法构造一个直角三角形，使CFB是它的一个锐角，由EFAB联想到作EF的平行线CD，得到 Rt CDB即可求解。解：过 C作 CDEF交 AB 于点 D 3ECAEFDAFAFAFAEECDF31由43ACAECDEF可得EFEFAEACCD34设 EF x，由 EF AF可知 AEF是 Rt，且 A300 xAE2，xAF3xCD34，xDF31，CDEF ，EF AB CDAB， CFD是直角三角
31、形在 Rt CFD中，4334331cotxxCDDFCFB答案： D 探索与创新：【问题】如图，如果ABC中 C 是锐角， BCa，ACb。证明：CabSABCsin21证明：过A 作 AD BC于 D，则 ADC是直角三角形ACADCsinCbCACADsinsin例 1 变式图DCBA例 2 图FEDCBA问题图DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页又ADBCSABC21CabSABCsin21评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系。同理还可推出：BacAbcCabSAB
32、Csin21sin21sin21（三角形面积公式）跟踪训练：一、填空题：3、在 ABC中， C900， AB2，BC3，则 tan2A。4、已知正方形ABCD的两条对角线相交于O， P是 OA 上一点，且CPD 600，则 POAO。第 5 题图DCBA6、等腰三角形的周长为32，腰长为1，则底角等于。二、选择题：2、在 RtABC中， CD是斜边 AB上的高线，已知ACD的正弦值是32，则ABAC的值是（）A、52B、53C、25D、323、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根 O 的距离为2 米，梯子的顶端B 到地面的距离为7 米。现将梯子的底端A向外移动到A， 使梯子的底端A到
33、墙根 O 的距离等于3 米，同时梯子的顶端B 下降到B， 那么BB（）A、等于 1 米B、大于 1 米C、小于 1 米D、不能确定BA10题图第 3 题图OBA3、如图，已知BCAD 于 C，DFAB 于 F，9EFBAFDSS， BAE 。（1）求cossin的值；（2）若ADEAEBSS， AF6 时，求 cotBAD的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页解答第 3 题图FECDBA跟踪训练参考答案一、填空题：1、23；2、321；3、33； 4、13；5、33；6、 300二、选择题： CDCA 三、解答
34、题：1、22；2、 BC8，CE 5512；3、5102，3414.比例线段知识考点：本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。精典例题：【例 1】已知0543zyx，那么zyxzyx。分析： 此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观点求解，将已知条件转化为zx53，zy54，代入所求式子即可得解；三是设“k”值法求解，这种方法对于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧。答案：31变式 1：已知32fedcba，若032fdb，则322
35、2fdbeca。变式 2：已知3:1:2:zyx，求yxzyx232的值。变式 3：已知aacbbcbaccbak，则k的值为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页答案：（1）32； （ 2）3； （3）1 或 2；【例 2】如图，在 ABC中，点 E、F分别在 AB、AC上，且 AE AF，EF的延长线交BC 的延长线于点D。求证：CDBDCFBE 。分析： 在题设中，没有平行的条件，要证明线段成比例，可考虑添加平行线，观察图形，对照结论，需要变换比 CF BE ，为了变换比CF BE ，可以过点C作 BE的平行
36、线交ED于 G，并设法证明CG CF即可获证。例 2 图 1 GFEDCBA例 2 图 2 GFEDCBA例 2 图 3 GFEDCBA本例为了实现将比CF BE转换成比CD BD 的目的，还有多种不同的添画平行线的方法，它们的共同特征都是构造平行线截得的线段成比例的基本图形，请你们参考图形，自己去构思证明。例 2 图 4 GFEDCBA变式 1 图FEDCBA变式 2 图FEDCBA变式 1：已知如图， D 是 ABC的边 BC的中点，且31BEAE，求FCAF的值。变式 2：如图， BDDC 53，E为 AD 的中点，求BE EF的值。答案：（1）31； （ 2）13 3；【例 3】如图，
37、在 ABC中， P为中线 AM 上任一点， CP的延长线交AB于 D， BP的延长线交AC 于 E ，连结DE。（1）求证： DEBC；（2）如图，在 ABC中， DEBC，DC、BE交于 P，连结 AP并延长交BC于 M，试问： M 是否为 BC的中点？解析： （ 1）延长 AM 至 Q，使 MQMP BMMC，四边形BPCQ是平行四边形CD BQ，BE QC ECAEPQAPDBADDE BC （ 2）过 B作 BQ CD交 AM 的延长线于Q DE BC，ECAEPQAPDBADECAEPQAP， BEQC 四边形BPCQ是平行四边形M 是 BC的中点例 3 图QMPEDCBA精选学习资
38、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，ABC中， AD 是角平分线。求证：ACABDCBD。分析：要证ACABDCBD，一般只要证BD、DC与 AB、 AC或 BD、AB与 DC、 AC所在三角形相似，现在B、D、C 在同一条直线上，ABD 与 ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式ACABDCBD中， AC恰好是 BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C
39、作 CE AD 交 BA的延长线于E ，从而得到BD、CD、AB的第四比例项 AE，这样，证明ACABDCBD就可以转化为证AEAC。证明：过C 作 CE AD 交 BA的延长线于E CE ADE13221E 3 AEAC CE ADAEABDCBDACABDCBD（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（）数形结合思想转化思想分类讨论思想答案：转化思想（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD 是 ABC中 BAC的角平分线，AB5 cm，AC 4 cm，BC7 cm，求 BD的长。
40、答案：935cm 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。跟踪训练：一、填空题：1、若312nnm，则nm；若7:4:2:zyx，且3223zyx，则x，y，z。2、若kyzxxzyzyx，则k。3、已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，则这个数是。4、如图，在ABCD中， E为 BC上一点， BE EC23，AE交 BD 于点 F，则 BFFD。二、选择题：1、已知如图， ABCD，AD与 BC相交于点O，则下列比例式中正确的是（）A、ADOACDABB、BCOBODOAC、OCOBCDABD、ODOBADBC问题图321EDCBA精选学习资料 -
41、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页填空第 4 题图FEDCBA选 择 第 1 题 图ODCBA选择第 2 题图EFGDCBA2、如图，在 ABC中， ADDFFB， AEEGGC，FG4，则（）A、DE1，BC7 B、DE2， BC6 C、 DE3，BC 5 D、DE2，BC8 3、如图， BD、CE是 ABC的中线， P、Q 分别是 BD、 CE的中点，则PQBC（）A、13 B、14 C、1 5 D、16 4、如图，1l2l，FBAF52，BC4CD，若kECAE，则k（）A、35B、2 C、25D、4 选择第 3 题图QP
42、EDCBA2l1l选择第 4 题图GFEDCBA解答第 1 题图KHFEDCBA三、解答题：1、已知如图，ADDEEC ，且 ABDFEH，AH 交 DF 于 K，求KFDK的值。2、如图，ABCD中，EF交 AB的延长线于E，交 BC于 M，交 AC于 P，交 AD 于 N，交 CD的延长线于F。求证：PNPFPMPE。3、如图，在ABC 中， ACBC， F 为底边 AB 上一点，nmBFAF（m、n0） ，取 CF的中点 D，连结 AD，并延长交 BC于 E。（1）求ECBE的值；（2）如果 BE2EC ，那么 CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？并证明你的结论；（3）E点能否为 B
43、C 的中点？如果能，求出相应的nm的值；如果不能，说明理由。4、如图，已知梯形ABCD中， AD BC，ABDC3， P为 BC上一点， PE AB交 AC于 E，PF CD交 BD 于 F，设 PE 、PF的长分别为a、b，bax。那么当点P在 BC边上移动时，x的值是否变化？若变化，求出x的范围；若不变，求出x的值，并说明理由。解答第 2 题图PNMFEDCBA解 答 第 3 题 图FEDCBA解答第 4 题图PFEDCBA跟踪训练参考答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页一、填空题：1、32，4，8，14；
44、2、 2 或 1；3、23或23或 12 等； 4、25；二、选择题： CBBB 三、解答题：1、31；2、证明PMPNPFPE即可；3、 （1）nnmECBE； （ 2）直线 EF垂直平分AB； （3）E不能是 BC的中点；4、x的值不变化，为定值，3x。15.相似三角形（一）知识考点：本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。精典例题：【例 1】如图，点O 是 ABC的两条角平分线的交点，过O 作 AO 的垂线交AB于 D。求证： OBD CBO 。分析： 此题不易得到边的比例关系，但 O 点是三角形的角平分线的交点，有
45、多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。由角平分线及三角形内角和定理知：1 2 DAO900，再由 AODO 可得 5 1 2，而 5 3 4，从而 1 2 3 4，由 1 3可得 2 4，于是结论得证。例 1 图54321ODCBA变式 1 图OEDCBA例 2 图FEDCBA变式 1：已知如图，在ABC中， ADAE， AODE于 O，DE交 AB 于 D，交 AC 于 E，BO 平分 ABC。求证：BCBDBO2。变式 2：已知如图（同变式1 图） ，在 ABC中， O 为两内角平分线的交点，过点O 作直线交AB 于 D，交 AC于 E ，且 ADAE。求证：（1） BDO OEC ； （
46、2）CEBDDO2。【例 2】如图，在 ABC中， BAC 900，ADBC于 D，E为 AC 中点， DE 交 BA 的延长线于F。求证： ABACBFDF。分析： 由于 ABC和 FBD一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。证明： ABAC，ADBC Rt ABD RtCAD， DAC B ADBDACAB又 ADBC，E为 AC中点DEAE ， DAE ADE B ADE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
47、-第 17 页，共 27 页又 F F FAD FDB DFBFADBD由得DFBFACAB变式： 本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？例 2 变式图 1 FEDCBA例 2 变式图 2 FEDCBA例 3 图GFEDCBA【例 3】如图，梯形ABCD中， ADBC，BECD于 E ，且 BCBD，对角线 AC、BD相交于 G，AC、 BE相交于F。求证：FAFGFC2。分析： 由于 FG、FA、 FC三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得BE是 DC的垂直平分线，于是连结FD得 FDFC，再证 FDG FAD即可。探索
48、与创新：【问题一】如图，ACB ADC900，AC6，AD2。问当 AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似？略解： AC6，AD2 CD222ADAC要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当 RtABCRtACD时，有ACABADAC32ADACAB（2）当 RtACBRtCDA时，有ACABCDAC232CDACAB故当 AB的长为 3 或23时，这两个直角三角形相似。【问题二】已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是 CD边的中点，点Q 在线段 BC上，设 BQk，是否存在这样的实数k，使得 Q、C、P为顶点的三角形与ADP相似，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。略解：假设
49、存在满足条件的实数k，则在正方形ABCD中， D C900，由 RtADPRt QCP或 RtADPRtPCQ得：CPDPQCAD或CQDPPCAD问题一图DCBA问题二图QPDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页由此解得： CQ1 或 CQ41，从而0k或43k故当0k或43k时， ADP与 QCP 。跟踪训练：一、填空题：1、如图，在 ABC中， P是边 AB上一点，连结CP ，使 ACP ABC的条件是。2、在直角坐标系中，已知A（3，0） 、B（0， 4） 、C（0，1） ，过 C 点作直线l交x轴于
50、 D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与AOB相似，这样的直线有条。3、如图，在 ABC中， C900，AC8，CB6，在斜边 AB上取一点M，使 MBCB，过 M 作 MNAB交 AC于N，则 MN。第 1 题图PCBA第 3 题图NMCBA第 5 题图EDCBA4、一个钢筋三角架长分别为20cm、50 cm、60 cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm 和 50 cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有种。5、如图，在锐角ABC中， BDAC， DEBC，AB14，AD 4，BEEC 51，则 CD。二、选择题：