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1、3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程整体设计教学分析 直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kxb(k0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手. 在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.三维目标1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点
2、斜式的特例；培养学生思维的严谨性和相互合作意识，注意学生语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.重点难点教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.方程y=kxb与直线l之间存在着什么样的关系？让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系
3、,即（1）直线l上任意一点P(x1,y1)的坐标是方程y=kxb的解.(2)(x1,y1)是方程y=kx+b的解点P(x1,y1)在直线l上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题直线的方程(宣布课题).思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾： 一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).推进新课新知探究提出问题如果把直线当做
4、结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？已知直线l的斜率k且l经过点P1(x1,y1)，如何求直线l的方程?方程导出的条件是什么？若直线的斜率k不存在，则直线方程怎样表示？k=与y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗？已知直线l的斜率k且l经过点（，），如何求直线l的方程？讨论结果:确定一条直线需要两个条件:a.确定一条直线只需知道k、b即可；b.确定一条直线只需知道直线l上两个不同的已知点.设P(x，y)为l上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=,化简,得yy1=k(xx1).方程导出的条件是直线l的斜率k存在.a.x=0；b.x=x1.启发学生回答:方程
5、k=表示的直线l缺少一个点P1(x1,y1),而方程yy1=k(xx1)表示的直线l才是整条直线.y=kx+b.应用示例思路1例1 一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角=45,求这条直线方程,并画出图形.图1解:这条直线经过点P1(-2,3),斜率是k=tan45=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0,这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力.变式训练 求直线y=-(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程.解：设直线y=-(x-2)的倾斜角为，则tan=-，又0,180)，=120.所求
6、的直线的倾斜角为120-30=90.直线方程为x=2.例2 如果设两条直线l1和l2的方程分别是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2，试讨论:（1）当l1l2时，两条直线在y轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？（2）l1l2的条件是什么？活动:学生思考：如果1=2，则tan1=tan2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l1l2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b1b2且k1=k2，则l1与l2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明1=2得出tan1=tan2的依据.解:（1）当直线l1与l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,
7、l2:y=k2x+b2时，直线l1l2k1=k2且b1b2.(2)l1l2k1k2=-1.变式训练 判断下列直线的位置关系:(1)l1:y=x+3,l2:y=x-2;(2)l1:y=x,l2:y=-x.答案：(1)平行；(2)垂直.思路2例1 已知直线l1：y=4x和点P(6，4)，过点P引一直线l与l1交于点Q，与x轴正半轴交于点R，当OQR的面积最小时，求直线l的方程.活动:因为直线l过定点P(6，4)，所以只要求出点Q的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l的方程.解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y4=k(x6),当l的方程为x=6时，OQR的面积为S=72；当l的方程为y4
8、=k(x6)时，有R(,0)，Q（,)，此时OQR的面积为S=.变形为(S72)k2(964S)k32=0(S72).因为上述方程根的判别式0，所以得S40.当且仅当k=1时，S有最小值40.因此，直线l的方程为y4=(x6)，即xy10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练 如图2，要在土地ABCDE上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m2）（单位：m）.图2解：建立如图直角坐标系，在线段AB
9、上任取一点P分别向CD、DE作垂线，划得一矩形土地.AB方程为=1,则设P(x,20-)(0x30),则S矩形=(100-x)80-(20-)=-(x-5)2+6 000+(0x30),当x=5时，y=，即P（5，）时，(S矩形)max=6 017(m2).例2 设ABC的顶点A(1，3)，边AB、AC上的中线所在直线的方程分别为x2y1=0，y=1，求ABC中AB、AC各边所在直线的方程.活动:为了搞清ABC中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题.解:如图3,设AC的中点为F，AC边上的中线BF：y=1.图3AB边的中点为E，AB边上中线CE：x2y1=0.设
10、C点坐标为(m，n),则F().又F在AC中线上,则=1,n=-1.又C点在中线CE上，应当满足CE的方程，则m2n1=0.m=3.C点为(3，1).设B点为(a,1),则AB中点E(),即E(,2).又E在AB中线上,则-4+1=0.a=5.B点为(5，1).由两点式,得到AB，AC所在直线的方程AC：xy2=0,AB：x2y7=0.点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来.变式训练 已知点M（1，0），N（1，0）,点P为直线2x-y-1=0上的动点，则|PM|2+
11、|PN|2的最小值为何？解：P点在直线2x-y-1=0上,设P（x0,2x0-1）.|PM|2+|PN|2=10(x0-)2+.最小值为.知能训练课本本节练习1、.拓展提升已知直线y=kxk2与以A(0，3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k的取值范围.图4活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kxk2，我们发现它可以变为y2=k(x1)，这就可以看出，这是过(1，2)点的一组直线.设这个定点为P(1，2).解：我们设PA的倾斜角为1，PC的倾斜角为，PB的倾斜角为2，且12.则k1=tan1kk2=tan2.又k1=-5，k2=-，则实数k的取值范围是-5k-.
12、课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.作业习题3.2 A组2、3、5.设计感想 直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线的方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从初中代数中的一次函数y=kxb(k0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特
13、征入手.下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物
14、可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：
15、我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话
16、内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，
17、我想采访一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于
18、保护我们人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增
19、多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，
20、没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水
21、，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？