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1、综合检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题正确的是()A若acbcabB若a2b2abC若ab D若a3b3解析：选项A，当c0时，acbcab，故A错误；选项B，令a2，b0，a2b2ab，故B错误；选项C，令a1，b1，ab，故C错误答案：D2在ABC中，已知a，b2，B45，则角A()A30或150 B60或120C60 D30解析：由正弦定理得，sin Asin Bsin 45，又因为ba，故A30.答案：D3已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1C
2、. D.解析：设等比数列an的公比为q，a1，a3a54(a41)，由题可知q1，则a1q2a1q44(a1q31)，q64(q31)，q616q3640，(q38)20，q38，q2，a2.故选C.答案：C4若ab，则下列各式正确的是()Aalg xblg x Bax2bx2Ca2b2 Da2xb2x解析：已知ab，选项A，由已知不等式两边同乘lg x得到，由不等式的性质可知，当lg x0时，alg xblg x；当lg x0时，alg xblg x；当lg x0时，alg xblg x故该选项不正确选项B，由已知不等式两边同乘x2得到，由不等式的性质可知，当x20时，ax2bx2；当x20
3、时，ax2bx2.故该选项不正确选项C，由已知不等式两边平方得到，由不等式的性质可知，当ab0时，a2b2；当a0b且|a|b|时，a2b2.故该选项不正确选项D，由已知不等式两边同乘2x得到，且2x0，所以a2xb2x.故该选项正确答案：D5已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A. BC. D.解析：由S55a3及S515得a33，d1，a11，ann，所以数列的前100项和T10011，故选A.答案：A6已知ABC的面积为5，A，AB5，则BC()A2 B2C3 D.解析：因为A，AB5，ABC的面积为5ABACsin A5AC，所以解得：AC4，
4、所以BC.答案：D7设集合Pm|1m0，QmR|mx24mx40对任意实数x恒成立，则下列关系式中成立的是()APQ BQPCPQ DPQ解析：当m0时，40对任意实数xR恒成立；当m0时，由mx24mx40对任意实数xR恒成立可得解得1m0，综上所述，Qm|1m0，所以PQ.答案：A8已知an(nN*)，数列an的前n项和为Sn，则使Sn0的n的最小值为()A99 B100C101 D102解析：由通项公式得a1a100a2a99a3a98a50a510，a1010，故选C.答案：C9.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测A，B分别在D处的北偏西15，北偏东45方向，再往正东
5、方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A20海里 B40海里C20(1)海里 D40海里解析：连接AB，由题意可知CD40，ADC105，BDC45，BCD90，ACD30，所以CAD45，ADB60，在ACD中，由正弦定理得，所以AD20，在RtBCD中，因为BDC45，BCD90，所以BDCD40.在ABD中，由余弦定理得AB20.答案：A10ABC的三内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若直线bx(ac)y10与直线(ab)x(ac)y10垂直，则角C的大小为()A. BC. D.解析：由已知条件得b(ab)(ac)
6、(ac)0，即a2b2c2ab，所以cos C.又0C，所以C.答案：B11设实数x，y满足约束条件则2x的最小值为()A. BC2 D2解析：由约束条件可知，x，y(0，)，yx，2x2x22.(当且仅当x时等号成立)，即2x的最小值为2，故选C.答案：C12已知数列an满足an2an1an1an，nN*，且a5，若函数f(x)sin 2x2cos2 ，记ynf(an)，则数列yn的前9项和为()A0 B9C9 D1解析：由已知可得，数列an为等差数列，f(x)sin 2xcos x1，f1.f(x)sin(22x)cos(x)1sin 2xcos x1，f(x)f(x)2.a1a9a2a8
7、2a5，f(a1)f(a9)2419，即数列yn的前9项和为9.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13若x，y满足约束条件则zx2y的最小值为_解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由zx2y得yxz，作直线yx并平移，观察可知，当直线经过点A(3,4)时，zmin3245.答案：514若a0，b0，且ln(ab)0，则的最小值是_解析：因为ln(ab)0，所以ab1所以(ab)2224.当且仅当ab时取等号即的最小值为4.答案：415已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，则S2 016_.解析：数列an满足a11，an1an2n，n1
8、时，a22，n2时，anan12n1.得2，数列an的奇数项、偶数项分别成等比数列，S2 016321 0083.答案：321 008316有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线的地方有一个已知条件看不清，具体如下：在ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知角B45，a，_.求角A.若已知正确答案为A60，且必须使用所有条件才能解得，请写出一个符合要求的已知条件解析：在ABC中，若已知B45，a，A60，则C180456075.由正弦定理得AB，所以已知条件可填AB，另外，若填C75则未使用所有条件，若填AC的长度，求出A60或120，不合题意答案：AB三、解答题(本大题共6小
9、题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足acos Ccsin A0.(1)求角C的大小(2)已知b4，ABC的面积为6，求边长c的值解析：(1)在ABC中，由正弦定理得：sin Acos Csin Csin A0.因为0A，所以sin A0，从而cos Csin C，又cos C0，所以tan C.所以C.(2)在ABC中，SABC4asin 6，得a6，由余弦定理得：c26242264cos 28，所以c2.18(12分)已知f(x)x22ax2(aR)，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围
10、解析：法一：f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.当a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；当a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1a1.综上所述，所求a的取值范围为3a1.法二：令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3a1.19(12分)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解析：(1)方程x25x60的两根为2,3，由题意得a22
11、，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而a1，所以an的通项公式为ann1.(2)设的前n项和为Sn，由(1)知，Sn，Sn，两式相减得Sn.所以Sn2.20(12分)已知二次函数f(x)x2axa(xR)同时满足：不等式f(x)0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0x1x2，使得不等式f(x1)f(x2)成立设数列an的前n项和Snf(n)(1)求f(x)的表达式；(2)求数列an的通项公式解析：(1)f(x)0的解集有且只有一个元素，a24a0，a0或a4.当a4时，函数f(x)x24x4在(0,2)上递减，故存在0x1x2，使f(x1)f(x2)成立；而当a0时，f
12、(x)x2在(0，)上递增，不合题意故a4，f(x)x24x4.(2)由(1)知，Snn24n4.当n2时，anSnSn1(n24n4)(n1)24(n1)42n5，当n1时，a1S11不适合上式，故an21(12分)设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S2 0150.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使其满足anSn.解析：(1)设公差为d，则由S2 01502 015a1d0a11 007d0，da1，a1ana1，所以Sn(a1an)a1(2 015nn2)因为a10，nN*，所以当n1 007或1 008时，Sn取最小值504a1.(2)ana1，Snan(
13、2 015nn2)a1.因为a10，所以n22 017n2 0160，即(n1)(n2 016)0，解得1n2 016.故所求n的取值集合为n|1n2 016，nN*22(12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2(bc)2(2)bc，sin Asin Bcos2 .(1)求角B的大小；(2)若等差数列an的公差不为零，且a1cos 2B1，a2，a4，a8是等比数列，求数列的前n项和Sn.并证明：Sn1.解析：(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，cos A.0A，A.由sin Asin Bcos2 ，得sin B，sin B1cos C，cos C0，则C.又BCA，sin1cos C，cos1.解得C.故BAC.(2)设数列an的公差为d.由已知得a12.a2，a4，a8是等比数列，aa2a8，(a13d)2(a1d)(a17d)，整理，得d(d2)0.d0，d2，an2n，Sn1.nn11又Sn1是关于n的增函数n1SminS1Sn1.