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1、guan高一数学必修一复习_(1) Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date集合结构图集合结构图集合集合集合含义与表示集合含义与表示集合间关系集合间关系集合基本运算集合基本
2、运算列举法列举法 描述法描述法 图示法图示法子集子集真子集真子集补集补集并集并集交集交集1.集合集合中中元素的性质元素的性质:自然数集（非负整数集）：记作自然数集（非负整数集）：记作 N 正整数集：记作正整数集：记作N* *或或N+ + 整数集：记作整数集：记作 Z有理数集：记作有理数集：记作 Q实数集：记作实数集：记作 R2.常用的数集及其记法常用的数集及其记法子集：子集：A B任意任意xA xB.真子集：真子集： A B xA，xB，但存在，但存在x0B且且x0 A.集合相等：集合相等：AB A B且且B A.空集：空集：.性质：性质：A，若，若A非空，非空， 则则A. A A. A B，
3、B CA C. 3.集合集合间的关系间的关系:子集、真子集个数：子集、真子集个数： 一般地，集合一般地，集合A含有含有n个元素，个元素，A的的非空真子集非空真子集 个个.则则A的子集共有的子集共有 个个;A的真子集共有的真子集共有 个个;A的的非空子集非空子集 个个;2n2n12n-12n-24.并集并集: B A |BxAxxBA，或BA5.交集交集:|BxAxxBA，且 B A BA6.全集全集:一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的涉及的元素元素,那么就称这个集合为那么就称这个集合为7.补集补集:UAUAUA=x|x U，且x AUAUAU
4、ABBA:1AAA:2AA:3ABABA:4ABAAB:5BABBAA,:6)()( :7CBACBA类比并集的相关性质类比并集的相关性质ABBA:1AAA:2A:3ABABA:4ABAAB:5BABBAA,:6)()( :7CBACBABABA:9ABABAABA:8BAABABAA:8并集的性质并集的性质交集的性质交集的性质211-，M421，MxxyyN2练习练习变式：变式：xyxNRxyyMx3log1|,2|D总结例已知集合例已知集合Ax |2x5， 集合集合Bx | m1x2m1， 若若 ，求，求m的取值范围的取值范围.AB 主要分为以下两种：进行分类讨论，时，我们会对当BAB 适
5、用范围：两种情况和、,1BB已知已知B B和和A A是一个连续的数集，且是一个连续的数集，且A A是一个是一个已知的数集，已知的数集，B B是一个带有参数的数集是一个带有参数的数集设集合设集合 A = x | 1 x 2 ，B = x | x a ，若，若 AB ，则，则a 的取值范围是的取值范围是 A，a2 B，a2 C，a1 D，1a2 12ABBB由图看出由图看出 a 1 思考：思考：1、改、改A = 1，2 )2、改、改 A = x | x 2 x 2 0 3、改、改 A = x | 0 21 xx4、改、改 AB =5、改、改 AB =A6、改、改 B = x | 1 x a a 1
6、a 2 12AB1a当当 a 1 时时 B = ，不满足题意，不满足题意当当 a 1 时，时，B = ( 1 , a )，满足题意，满足题意故故 a 1已知集合已知集合A = a | 二次方程二次方程 x 2 2x + a = 0 有实根，有实根，a R ，B = a | 二次方程二次方程 ax 2 x + 2 = 0 无实根，无实根，a R ，求，求 AB，AB。解：由解：由 x 2 2x + a = 0 有实根有实根 0 即即 4 4a 0 a 1 A = ( , 1 由由 ax 2 x + 2 = 0 无实根无实根 0 即即 18a 0 81 a),81( B811 AB = R故故 A
7、B = 1,81( 5.设设 , ,其中其中 , ,如果如果 ，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围 22240,2(1)1 0Ax xxBx xax a xRABB,:4:3:2:1baBbBaBB此时方程无根，0k0a10a 0,a1)对数函数yx aalog其中且 a 011、定义域、定义域 .2、值域、值域 R3、图象、图象a10a1时，时，f(x)=ag(x)的单调性与的单调性与g(x)相同相同; 当当0a1时，时，f(x)=logag(x)的单调性与的单调性与g(x)相同相同; 当当0a0,2a)+f(-a)0,求实数求实数a a的取值范围的取值范围已知已知 f ( x ) 是
8、奇函数，当是奇函数，当 x 0 时，时， f ( x ) = x 2 2x，求当，求当 x 0 时，时，f ( x ) 的解析式，并画出此函数的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。的图象。xyo解：解： f ( x ) 是奇函数是奇函数 f (x ) = f ( x )即即 f ( x ) = f ( x )当当 x 0 时，时， f ( x ) = x 2 2x 当当 x 0 时，时， f ( x ) = f ( x )= (x ) 2 2(x ) = ( x 2 + 2x ) xxxxy2222故故00 xx 1)1(1)1(22xx00 xx例例1 判断函数判断函数 的奇偶性。
9、的奇偶性。1( )121xf x 变：变： 若函数若函数 为奇函数，求为奇函数，求a。1( )21xf xa例例2 若若f(x)在在R上是奇函数，当上是奇函数，当x(0,+)时为增函数，时为增函数，且且f(1)=0，则不等式，则不等式f(x)0的解集为的解集为例例3 若若f(x)是定义在是定义在-1,1上的奇函数，且在上的奇函数，且在-1,1是单调是单调增函数，求不等式增函数，求不等式f(x-1)+f(2x)0的解集的解集.抽象函数的奇偶性：1、已知函数、已知函数f(x)的定义域是的定义域是x0的一切的一切实数，对定义域内的任意实数，对定义域内的任意x1、x2都都f(x1x2)=f(x1)+f
10、(x2)，求证：，求证：f(x)是偶函数是偶函数1,( )( )();( ).x yRf xf yf xyf x、任意，都有明：的奇偶性已知函数已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x 3，作出下列函数的图象：，作出下列函数的图象：1）y = f ( x ) 2）y = f ( | x | ) 3）y = | f ( x ) | xyo31xyoxyo3131141414 4)1(4)1()222xxy00 xx 4)1(4)1()322xxy1313 xxx或或4)()(axfxfaxfxf)()(|)(|)(xfxf| )(|)(xfxf|)1(|)(xfxf)()(xfxf左右平移
11、上下平移轴对称的图象做其关于轴右边图象，在左边保留yy轴下方对称到上方x|)1(|)(|xfxf再先)1()(xfxf再先) 1()(xfxf轴对称的图象图象关于做原y)(xf图象的变换图象的变换： 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I，如果存，如果存在实数在实数M满足：满足：（1 1）对于）对于任意任意的的 , , 都有都有 ；（2 2）存在存在 ，使得，使得 . . 那么那么，称称M是函数是函数 的的最大值最大值. .xIf(x)My=f(x)x0If(x0)= =My=f(x)最值最值：几何意义：几何意义：函数函数 的最大值是的最大值是图象最高点的纵坐标图象最高点的纵坐标
12、. .y=f(x) 一般地，设函数一般地，设函数 的定义域为的定义域为I，如果存，如果存在实数在实数M满足：满足：（1 1）对于）对于任意任意的的 , , 都有都有 ；（2 2）存在）存在 ，使得，使得 . . 那么那么，称称M是函数是函数 的的最最小小值值. .xIf(x)My=f(x)x0If(x0)= =My=f(x)最值最值：几何意义：几何意义：函数函数 的最小值是的最小值是图象最低点的纵坐标图象最低点的纵坐标. .y=f(x)函数的最值与值域、单调性之间的关系：函数的最值与值域、单调性之间的关系：若函数在闭区间a,b上是减函数，则f(x)在a,b上的最大值是，最小值是，其值域是.若函
13、数在闭区间a,b上是增函数，则f(x)在a,b上的最大值是，最小值是,其值域是.f(a)f(a)f(b)f(b)函数在某个区间上具有单调性，该函数的最函数在某个区间上具有单调性，该函数的最值在值在端点端点处取得处取得. .f(b),f(a)f(a),f(b)解：设解：设x x1 1，x x 2 2是区间是区间22，66上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且x x1 1xx2 2，则，则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) ) 2 2= = - -x x1 1-1-12 2x x2 2-1-12(x2(x2 2-1)-(x-1)-(x1 1-1)-1)(x(x1 1-1)(x-1)(
14、x2 2-1)-1)= =(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)-1)2(x2(x2 2-x-x1 1) )= =例例2 2. .已知函数已知函数y= y= （x2x2，66），求函数），求函数的最大值和最小值。的最大值和最小值。 2 2x-1x-12x2x2 2x0 ,0 , (x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)0-1)0于是于是f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0)0，即：，即：f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )所以函数所以函数y= y= 在区间在区间22，66上是减函数。上是减函数。 2 2x-1x-1因此函数在因此函数在 时取得最大值，最大值是
15、时取得最大值，最大值是 在在 时取得最小值，最小值是时取得最小值，最小值是 。x=2x=22 2x=x=6 60.40.4例题例题：利用单调性求最值利用单调性求最值例题例题：例例3.求函数求函数y=|x+1|-|x-2|的最大值和最小值的最大值和最小值. 1, 321, 122, 3xxxxy解：解： 2-2-45xyO作出函数的图象，由作出函数的图象，由图可知，图可知，y-3，3.所以函数的最大值为所以函数的最大值为3，最小值为最小值为-3.利用图象利用图象求最值求最值例题例题：例例4.求函数求函数 的最大值及最小值的最大值及最小值. 22xxy令令u=-x+x+2，则，则u0，49)21(
16、2xuu0，y0，即，即ymin=0.23,49,21maxmaxyux则时当函数的最大值为函数的最大值为 ，最小值为，最小值为0.23配方法求函数最值配方法求函数最值解：函数的定义域为解：函数的定义域为-1,2例例5.求求f(x)=x-2ax-1在区间在区间0，2上的最大、小值上的最大、小值. 例题例题：提示提示：求出函数的对称轴：求出函数的对称轴x=a； 就就a与区间与区间0,2的关系进行讨论；的关系进行讨论； 可分对称轴在区间左边、中间、右边可分对称轴在区间左边、中间、右边 几种位置关系来考虑；几种位置关系来考虑； 注意数形结合，借助图象帮助解题注意数形结合，借助图象帮助解题.基本初等函
17、数基本初等函数基本初等函数基本初等函数指数函数指数函数对数函数对数函数幂函数幂函数 aras=ar+s (a0,r,sQ)； (ar)s=ars (a0,r,sQ)； (ab)r=ar br (a0,b0,rQ).(5) ()(0,Z )nnnaabnbb 指数幂的运算._, 3133221aaaaaa，则已知？ba，ba的值求已知2, 210,50100222,10010, 2105010,50100.22bababaa又解718logloglogaaaMNMN（）logloglogaaaMMNN(2)loglog()naaMnMnR(3)如果如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：有：
18、 log4 loglogcacNNa 5 loglog1abba 6 loglogmnaanNNmmbamba求例：已知, 211,53指数函数与对数函数指数函数与对数函数函数函数y = ax ( a0 且且 a1 )y = log a x ( a0 且且 a1 )图图象象a 10 a 1a 10 a 1性性质质定义域定义域定义域定义域值域值域值域值域定点定点定点定点xy01xy011xyo1xyo在在R上是上是增增函数函数在在R上是上是减减函数函数在在上是上是增增函数函数在在上是上是减减函数函数RR(0,)(0,)(1, 0)(0, 1)单调性单调性相同相同指数函数与对数函数指数函数与对数函
19、数(1),(2),(3),(4), , ,1.xxxxyaybycyda b c d如图是指数函数的图象 则与 的大小关系是（ ）.1.cdbaDdcbaA1.cdabB1.dbaC1 .B(1)(2)(3)(4)OXy总结：在第一象限，越靠近y轴，底数就越大指数函数与对数函数指数函数与对数函数若图象若图象C1，C2，C3，C4对应对应 y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,则（则（ ） A.0ab1cd B.0ba1dc C.0dc1ba D.0cd1abxyC1C2C3C4o1D规律：在规律：在x轴轴上方图象自左上方图象自左向右底数越来向右底数越来越大！越大
20、！12()0 4(log)fxfx已 知 函 数的 定 义 域 为， ，则的 定 义 域 为 1/16,1） 2log(24).4xyx求 函 数的 值 域 1,022log (21)log (5)xx 解不等式指数函数与对数函数指数函数与对数函数21139xy求函数的定义域,21所求函数的定义域为1(0,1).xyaaa求函数的定义域 其中且分类讨论1 log 42(0,a1)aaa、且求实数 的取值范围？指数函数与对数函数指数函数与对数函数21.21xxy求函数的奇偶性、单调性、值域奇偶性：奇函数单调性：减函数 分离常数法21212121xxxy 由212:12121xxxy 解法一 由2
21、202,202121xx 即120,211,0121xxx 又) 1 , 1(y:21,2 (1)121xxxyyy 解法二11y ) 1 , 1(所求函数的值域为求值域的方法指数函数与对数函数指数函数与对数函数21 20.5.x xy求函数的定义域和值域1,.4值域为.:R函数的定义域为解22) 1(2122xxx.5 . 0上是减函数在而Ryu21 2210.50.54x xy指数函数与对数函数指数函数与对数函数22( )3,.xxf x讨论函数的单调性 并求值域1( )lg1xf xx的奇偶性和单调性三、幂函数的性质三、幂函数的性质: :.所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)(0,+)
22、都有定义都有定义, ,并且函并且函数图象都通过点数图象都通过点(1,1(1,1);幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中中的不同而各异的不同而各异. .如果如果 0,0,则幂函数则幂函数在在(0,+)(0,+)上为减函数。上为减函数。 0,0,则幂函数则幂函数 在在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数; ;1012.2.当当为奇数时为奇数时, ,幂函数为奇函数幂函数为奇函数, , 当当为偶数时为偶数时, ,幂函数为偶函数幂函数为偶函数. .X y110y=x-1y=x-2a 0yx323211)(:xxxf解;0 xx此函数的定义域为)(1)(1
23、)(3232xfxxxf.故此函数为偶函数 试写出函数试写出函数 的定义域的定义域,并指出其奇并指出其奇偶性偶性. 32 xxf)( 对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0f(x)=0的实数的实数x x叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的零点。的零点。零点是一个点吗?）至少有一个根在（baxfbfaf,)(0)()( )( )0( ),f af bf xa b在（）根的个数无法判断若f(x)是单调函数( )( )0( ),f af bf xa b在（）有唯一一个根( )( )0( ),f af bf xa b在（）无实数根将下表填充完整将下表填充完整:y
24、xO x2x1yxO x1=x2yxO2|abxx 没没有有实实数数根根21| x x xx x或 1212,( )x x x x有两相异实根122bxxa 有两相等实根12| xx x x R二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系函数与方程？函数在区间（a,b）上有零点，则f(a)f(b)0？函数在区间（a,b）上有f(a)f(b)0，则在区间（a,b）上有零点例：关于例：关于 x 的方程的方程 x 2 ( k + 1 )x + 2k = 0 的两根异号，则实数的两根异号，则实数 k 的取值的取值范围是范围是 _解：解： 令令 f ( x )
25、 = x 2 ( k + 1 )x + 2k xyo 00:21xx由由图图可可知知 0208)1(2kkk 00162kkk0 k( , 0 )由图可知：由图可知： f ( 0 ) 00 k 023562356kkk或或作业：1.(1)()_ABUUUU设设全全集集U=0,1,2,3,4,U=0,1,2,3,4,集集合合A=0,1,2,3,B=2,3,4A=0,1,2,3,B=2,3,4, , 则则(CC(CC2(2)|02,|230,_.MxxEx xxME设设集集合合则则2212.( ),1,),( ).2xxaf xxaf xx已已知知函函数数求求时时 函函数数的的最最小小值值23.|
26、3100,|121,Ax xxBx mxmABA已已知知集集合合若若.m求求实实数数 的的取取值值范范围围()4.( )0,()( )( )xf xff xf yy已已知知是是定定义义在在上上的的增增函函数数 且且(1)(1).f求求的的值值1(2)(6)1,(3)()2ff xfx若若解解不不等等式式1.1.已知集合已知集合A A x x | |22x x55，集合，集合B B x x | | m m11x x22m m11，若，若A AB BA A，求，求m m的取值范围的取值范围. .2(21)1,5 ,(25 )fxfx、已知的定义域求的定义域5x|x0,( )( )();1,( )0,( )(0,).Ix yIf xf yf xyxf xf x、定义域，对任意，都有证明：在上单调递增3、 求下列函数求下列函数yx22(3x1)的值域的值域