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1、第二章直线和圆的方程2.4圆的方程学习目标1.掌握确定圆的几何要素.2.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程和一般方程.3.能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.4.初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法.重点：圆的标准方程、一般方程.难点：圆的方程的应用.知识梳理一、圆的几何要素思考:在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？提示：我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程.二、圆的标准方程【提示】（1）圆的标准方程满足两个条件：
2、 圆上任意一点的坐标都是方程的解； 以方程的解为坐标的点都在圆上.（2）已知圆心坐标和半径，可以直接写出圆的标准方程； 反之，已知圆的标准方程也可以求出圆心坐标和半径.（3）几种特殊位置的圆的标准方程条件方程形式单位圆（圆心在原点，半径长r1）x2+y21过原点（圆心（a，b），半径长r）（x-a）2+（y-b）2a2+b2圆心在原点（即a0，b0，半径长为r，r0） x2+y2r2圆心在x轴上（即b0，半径长为r，r0）（x-a）2+y2r2圆心在y轴上（即a0，半径长为r，r0）x2+（y-b）2r2圆心在x轴上且过原点（即b0，半径长r|a|） （x-a）2+y2a2圆心在y轴上且过原点
3、（即a0，半径长r|b|） x2+（y-b）2b2与x轴相切（圆心（a，b），半径长r|b|）（x-a）2+（y-b）2b2与y轴相切（圆心（a，b），半径长r|a|）（x-a）2+（y-b）2a2三、圆的一般方程思考:我们知道，方程（x-1）2+（y+2）24表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆.可以将此方程变形为x2+y2-2x+4y+10.一般地，圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2r2可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F0（2）的形式.反过来，形如（2）的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？提示：例如，对于方程x2+y2-2x-4y+60，对其进行配方，得（x-1）2+（y-
4、2）2-1，因为任意一个点的坐标（x，y）都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形.所以，形如（2）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明，形如（2）的方程不一定是圆的方程.思考：方程x2+y2+Dx+Ey+F0中的D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？因此，当D2+E2-4F0时，方程（2）表示一个圆.我们把方程（2）叫做圆的一般方程.思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？提示：圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显.四、待定系数法求圆的方程求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：（1）根
5、据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；（3）解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.常考题型一、圆的标准方程及其求法CCA二、圆的一般方程及其求法1、二元二次方程表示圆的条件【方法点拨】1.圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径，而圆的一般方程则体现了圆的方程形式上的特点：（1）x2，y2的系数相等且不为0；（2）没有xy项.2. 二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F0表示圆的条件是D2+E2-4F0.AB【答案】A训练题1.若圆x2+y2+2ax-4ay+5a2-40上所有点都在第二象限，则a的取值范围为（）A.（-，2） B.（-
6、，-1） C.（1，+）D.（2，+）2.2020江苏修远中学高一月考若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k20，则当圆的面积最大时，圆心坐标为 .D3.求圆的一般方程过不共线的三点A，B，C的圆的方程的求法1.待定系数法（代数法）设出圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F0（D2+E2-4F0），把三个点的坐标分别代入该方程，求出待定系数D，E，F，即可求出圆的方程.2.直接法（几何法）因为所求圆为ABC的外接圆，则ABC任意两边的垂直平分线的交点即为外接圆的圆心，顶点到圆心的距离即为外接圆的半径，代入圆的标准方程即可.训练题 2020江西景德镇一中高一月考（1）ABC的三个顶点坐标分别为A
7、（-1，5），B（-2，-2），C（5，5），求其外接圆的方程；（2）圆C过点P（1，2）和点Q（-2，3），且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程.三、点与圆的位置关系例5 2020四川阆中中学高二期中若过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-150相切，则实数k的取值范围是.点与圆的位置关系的两种判断方法1.几何法:利用圆心到该点的距离d与圆的半径r进行比较.（1）dr，则点在圆外；（2）dr，则点在圆上；（3）dr2； b.点在圆上（x0-a）2+（y0-b）2r2； c.点在圆内（x0-a）2+（y0-b）20），若点P的轨迹为一条直线，则；若2，则点P
8、的轨迹方程为.求轨迹方程的常用方法1.直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F（x，y）0.2.待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程.3.定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义写出动点的轨迹方程.4.代入（相关点）法：动点P（x，y）依赖于另一动点Q（x0，y0）的变化而运动，常利用代入法求动点P（x，y）的轨迹方程.训练题 2020河北张家口一中高一期中当点P在圆x2+y21上运动时，它与定点Q（3，0）相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是 （）A.（x-3）2+y21B.（2x-3）2+4y21C.（x+3）2+y24D.（2x+3）2+4y24B小结x2+y2+Dx+Ey+F0(D2+E2-4F0) ，2.圆的一般方程3.求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；（3）解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.