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1、2.4.1 圆的标准方程高二人教A版数学选择性必修第一册第二章一、学习目标 1会用圆的定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征培养直观想象能力和逻辑推理能力；2能根据已知条件求圆的标准方程，掌握待定系数法和几何法培养数学运算素养、渗透方程思想；3能判断点与圆的位置关系并能解决相关问题体会如何用代数方法去解决几何问题1引入 同学们，初中我们学习过的圆的定义。圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。二、圆的标准方程在前几节课我们也学习了直线与直线的方程，我们从“方程”的角度研究了直线那么，今天在直角坐标系中，我们如何刻画圆呢？2探究 思考1：圆是否也可以用一个方程来表示？你能推导出圆心为A
2、(a,b),半径为r 的圆的方程吗？下面，我们一起来探究一下二、圆的标准方程二、圆的标准方程追问：方程(1)(1)一定表示圆的方程吗？设M(x,y)是圆A上任意一点,根据定义,点M到圆心A的距离等于r,所以圆A上所有点的集合为：P M|MA|r.由两点间的距离公式可知,点M(x,y)满足的条件可表示rMxA(a,b)Oy(x,y)由上述过程可知，若点M(x,y)在圆A上，点M的坐标就满足方程(1)(1)；反过来，若点M的坐标(x,y)满足方程(1)(1)，就说明点M与圆心A间的距离为r，点M就在圆A上。这时我们就把方程(1)(1)称为圆心为A(a,b)，半径为r 的圆的标准方程 二、圆的标准方
3、程 这种一一对应反映了数量关系与空间形式之间的关系。有了这种关系，我们可以用方程表示曲线，并对曲线进行运算二、圆的标准方程1.是关于x,y的二元二次方程；2.确定圆的方程必须具备三个独立条件,即 a，b，r；方程的特征:4.要注意r 的取值，r0 思考2：圆的标准方程 有什么特征?3.特别地，若圆心在坐标原点，则圆方程为 三、典型例题解：解：将圆心A(2,-3)，半径为5代入圆的标准方程，可得所求圆的方程为例1.求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)，M(2,3)是否在这个圆上三、典型例题已经求出圆的标准方程，下面判断点M1(5,-7)，M
4、2(-2,-1)，M(2,3)是否在这个圆上要解决这个问题，我们先来进行一个探究。例1.求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)，M(2,3)是否在这个圆上探究 点与圆的位置关系很明显，从几何角度看点与圆的位置关系有三种设点到圆心的距离为d，半径为r，则有（1）若dr，则点在圆外思考1：结合下图，思考点与圆的位置关系有几种，如何判断？我们如果用代数方法，将点M坐标代入圆的方程左边，会发现这个格式恰好是MA两点距离d的平方，然后我们将其与r2作大小比较：思考：在直角坐标系中，已知点M(x0,y0)与圆A：(xa)2(yb)2r2 如何判断点M与
5、圆A的位置关系？三、典型例题现在，我们把点M1(5,-7)的坐标带入方程的左边，得到，左右两边相等，点M1坐标满足圆的方程，所以M1在这个圆上例1.求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)，M(2,3)是否在这个圆上三、典型例题 我们再把点M2(-2,-1)的坐标带入方程的左边，得到，左边小于右边，点M2坐标不满足圆的方程，M2在圆内例1.求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)，M(2,3)是否在这个圆上三、典型例题 最后，我们把点M(2,3)的坐标带入方程的左边，得到，左边大于右边，点M
6、坐标不满足圆的方程，M在圆外例1.求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)，M(2,3)是否在这个圆上 点M(x0,y0)与圆A：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法归纳小结 点与圆的位置关系及判断方法我们一般应用方法2，这也是解析几何中一个有趣的思路，就是运用代数方法解决几何问题代数方法解决几何问题。三、典型例题 分析分析 今天我们学习了圆的标准方程，本题条件中“三点共圆”我们不妨设圆的标准方程，代入点坐标，联立方程，待定系数；把问题转化为方程组问题，解出a、b、r即可 例2.ABC 的三个顶点分别是A(5,1),B(7,-3),C
7、(2,-8),求ABC的外接圆的标准方程.ABC的外接圆的圆心是的外接圆的圆心是ABC的的外心外心,即即ABC三边垂直平分线的交点三边垂直平分线的交点.解解 例2.ABC 的三个顶点分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求ABC的外接圆的标准方程.xOyA(5,1)C(2,-8)B(7,-3)M例例2 ABC 的三个顶点分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求ABC的外接圆的标准方程.xOyA(5,1)C(2,-8)B(7,-3)rM解解2 2：ABC的外接圆的圆心是的外接圆的圆心是ABC外心外心,即即ABC三边垂直平分线的三边垂直平分线的交点交点.规律方法规律方法
8、 圆的标准方程的两种主要求法圆的标准方程的两种主要求法1 1几何法几何法 它是利用圆的几何性质，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的方程四、规律方法2 2待定系数法待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：设设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2；列根据条件，建立关于a，b，r的方程组；解解方程组，求出a，b，r；代将a，b，r代入所设方程，得所求圆的标准方程 分析分析 解答本题可以用待定系数法求解；也可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程；也可以利用几何性质求出圆心和半径五、例
9、题变式 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)两点,且圆心C在直线l：xy 10上，求此圆的标准方程解解1 1：(待定系数法)由已知条件可得设圆C的方程为 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l：xy 10上，求此圆的标准方程解解2 2：xOyA(1,1)B(2,-2)l 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l：x y 10上，求此圆的标准方程c解解3 3：xOyA(1,1)B(2,-2)l 例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C在直线l：x y 10上，求此圆的标准方程c2.能力方面：能够用所学知识解决与圆有关的一些实际问题六、课堂小结1.知识方面：（1）掌握了圆的标准方程及点与圆的位置关系；（2）能够利用待定系数法、几何法和直接法求圆的标准方程3.思想方面：提升了数学运算素养和应用的能力，体会了用代数方法去解决几何问题 通过三个例题的学习，我们基本掌握了圆的标准方程的一些基本知识和技能，下面我们来进行一下课堂小结。