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1、直线与直线垂直学习目标学习目标1.1.借助正方体，通过直观感知，借助正方体，通过直观感知，类比相交直线所成角，归纳出异类比相交直线所成角，归纳出异面直线所成角的概念，面直线所成角的概念，培养数学抽象能力；培养数学抽象能力；2.2.利用异面直线所成角的定义，利用异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成角，并找出或作出异面直线所成角，并在三角形中求出角在三角形中求出角，培养数学运算能力；，培养数学运算能力；3.3.会用异面直线所成角会用异面直线所成角证明异面直线垂直证明异面直线垂直，培养逻辑推理能力，培养逻辑推理能力. .一一. .温故知新温故知新问题问题1 1 空间中两直线的位置关系有哪几种
2、？空间中两直线的位置关系有哪几种？答：答：有相交、平行、异面三种有相交、平行、异面三种ab问题问题2 2 平面内两相交直线的相对位置是怎么刻画的呢？平面内两相交直线的相对位置是怎么刻画的呢？abab 平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90的角称为这两条直线所成的角（或夹角），图中的角即为直线a与直线b的夹角，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度二二. .探究新知探究新知问题问题3 3 直线直线A A1 1C C1 1与与A A1 1D D1 1相对于相对于直线直线ABAB的位置关系相同吗？若不的位置关系相同吗？若不同，如何来刻画这种差异？同，如何来刻画这种差异？答：答：由图可知直线
3、由图可知直线A A1 1C C1 1与与A A1 1D D1 1相对于直线相对于直线ABAB的倾斜程度的倾斜程度不一样不一样. .我们可以类比相交直线所成角引入我们可以类比相交直线所成角引入“ “异面直线所异面直线所成角成角” ”来刻画这种差异来刻画这种差异. .问题问题4 4 两条异面直线没有交点，它们所成角没有办法直接度量，两条异面直线没有交点，它们所成角没有办法直接度量，你能解决这个问题吗？你能解决这个问题吗？答：答：由相交直线所成角得到启发，通过在空间中任由相交直线所成角得到启发，通过在空间中任取一点取一点O O，过点，过点O O分别作两条异面直线的分别作两条异面直线的平行线平行线.
4、.O 如图，如图，已知两条异面直线已知两条异面直线a，b，经过空间任一点，经过空间任一点O分别作直线分别作直线aa，bb，我们把直线我们把直线a，b所成的角叫做所成的角叫做异面直线异面直线a与与b所成的角所成的角(或夹角或夹角)abOab 如果两条异面直线夹角为夹角为90，那我们就说这两条异面直线互相垂直两条异面直线互相垂直直线a与b垂直，记作ab 三三. .概念形成概念形成异面直线所成的角：问题问题5 5 你知道在度量异面直线所成角的时候蕴含了什么样的数学思想吗？你知道在度量异面直线所成角的时候蕴含了什么样的数学思想吗？答：答：主要是通过主要是通过平移平移把异面直线把异面直线转化为相交直线，
5、体现的是转化为相交直线，体现的是空间问题平面化空间问题平面化的思想，的思想，在平移过程中异面直线的倾斜程度没有发生改变，所以它们所成角没有变在平移过程中异面直线的倾斜程度没有发生改变，所以它们所成角没有变.O2O1babaO3a问题问题6 6 异面异面直线直线a与与b所成的角会随着点所成的角会随着点O的位置变化而变化的位置变化而变化吗？吗？为简便，为简便，O点常取在点常取在两异面直线中的一条上两异面直线中的一条上答：答：由等角定理知，不会！由等角定理知，不会！等角定理等角定理：如果空间中两个角的两：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补等或
6、互补思考：思考：1.1.两直线垂直，它们一定相交吗？两直线垂直，它们一定相交吗？ 2 2. .垂直于同一条直线的两条直线垂直于同一条直线的两条直线一定一定平行平行吗？吗？（正方体模型）四四. .新知运用新知运用111111111,.解：(1)与直线垂直的棱有：DA BB CC DAD AB BC CD A AA平面内成立的结论不一定能推广到空间平面内成立的结论不一定能推广到空间答：不一定答：不一定答：不一定答：不一定（正方体模型）解解:(2)平移法平移法分析：分析：（2）由图知直线）由图知直线BA1与与CC1为异面直线，要求异面直线所成角应先将为异面直线，要求异面直线所成角应先将空间角转化为平
7、面角，转化的途径通常是：选其中一条直线的某个特殊点，空间角转化为平面角，转化的途径通常是：选其中一条直线的某个特殊点，然后过这个特殊点找然后过这个特殊点找(或作或作)另一条直线的平行线另一条直线的平行线.如本题中我们可以选直线如本题中我们可以选直线BA1上的点上的点B，由正方体的性质我们可以找出，由正方体的性质我们可以找出BB1/CC1，因此，因此A1BB1是异是异面直线面直线BA1与与CC1所成角，然后再在所成角，然后再在A1BB1中求出角中求出角.（正方体模型）1.作角2.证角3.求角4.结论（放在三角形中，解三角形放在三角形中，解三角形）1解解:(3)分析：分析：（3）根据第二）根据第二
8、问的思路，我们重点问的思路，我们重点关注作出异面直线所关注作出异面直线所成角的过程，在这里成角的过程，在这里选选直线直线BA1上的特殊点上的特殊点A1，过，过A1连接连接A1C1,易易证证AC/A1C1, 因此因此BA1C1是异面直线是异面直线BA1与与AC所成角，然所成角，然后再在后再在A1BC1中求出中求出角角.当然也可以考虑连当然也可以考虑连接接CD1用同样的思维方用同样的思维方式解决本题式解决本题.求两条异面直线所成的角的一般步骤：求两条异面直线所成的角的一般步骤：1 1作角：作角：恰当地选择一个点恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点）（经常在其中一条线上取一点），作出，作出（常
9、（常 用用平移法平移法) )异面直线所成的角异面直线所成的角( () )；2 2证角：证角：证明证明(1)(1)中所作出的角中所作出的角( () )就是所求异面直线所成的角；就是所求异面直线所成的角； （注：证明线线平行）（注：证明线线平行）3 3求角：求角：通过解三角形或其他方法，求出通过解三角形或其他方法，求出(1)(1)中所构造的角的大小；中所构造的角的大小； 4 4结论：结论： 假如所构造的角的大小为假如所构造的角的大小为，若若090,则则即为所求异面即为所求异面 直线所成角的大小直线所成角的大小；若若90180,则则180即为所求即为所求 简单地说，就是选择简单地说，就是选择“特殊点
10、特殊点”作异面直线的平行线，构造作异面直线的平行线，构造含含异面异面直线所成角直线所成角( (或其补角或其补角) )的三角形，再求之的三角形，再求之. .分析：分析：由图可知直线由图可知直线AO1与与BD是异面直线，要证是异面直线，要证AO1BD，即证两异面直线所成角为，即证两异面直线所成角为90,故应先构故应先构造直线造直线AO1与与BD所成角，过直线所成角，过直线AO1上的特殊点上的特殊点O1，通过连接通过连接B1D1知直线知直线B1D1过点过点O1，且易证，且易证BD/B1D1，这样这样AO1D1即为异面直线即为异面直线AO1与与BD所成角，然后再所成角，然后再联想等腰三角形的性质即可证
11、明联想等腰三角形的性质即可证明AO1B1D1.1.作角2.证角3.求角4.结论转化的思想转化的思想证明：证明：1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC1所成的角的余弦值是.课堂练习课堂练习分析：如图所示,连接AB1,交A1B于点D,取B1C1的中点E,连接DE,A1E,则DEAC1,A1DE为异面直线A1B与AC1所成角或其补角.D10302.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，D为棱AC的中点，AB=BB=2，求证BDAC.课堂练习课堂练习E分析分析：因为因为ABC-ABC是正三棱柱，所以底面是正三棱柱，所以底面ABCABC是正三角
12、形，是正三角形，由于由于BDBD与与AC是异面直线，应先构造异面直线所成角是异面直线，应先构造异面直线所成角,又又D D为棱为棱ACAC的中点，的中点，所以所以DEDE为为ACACC的中位线的中位线, ,所以所以DE/DE/AC在BDE中：，所以222BEDEBDDEBD 故ACBD 所以所以所以BDE是异面直线是异面直线BD与与AC所成角所成角 如图，如图，已知两条异面直线已知两条异面直线a，b，经过空间任一点，经过空间任一点O分别作直线分别作直线aa，bb，我们把直线我们把直线a，b所成的角叫做所成的角叫做异面直线异面直线a与与b所成的角所成的角(或夹角或夹角)abOab一.异面直线所成角
13、的概念：五五. .课堂小结课堂小结二.异面直线所成角的求法：一作角（通常用平移法），二证角，三求角（构造三角形），四结论一作角（通常用平移法），二证角，三求角（构造三角形），四结论异面直线异面直线所成的角所成的角定义定义范围范围异面垂直相交垂直类型一：抓住异面直线上的已知点类型一：抓住异面直线上的已知点 抓住直线抓住直线BABA1 1上的已知点上的已知点A A1 1，过，过A A1 1连接连接A A1 1C C1 1, ,后后证证AC/AC/A A1 1C C1 1, ,找出异面直线所成角的找出异面直线所成角的. . 抓住抓住直线直线AOAO1 1上的已知点上的已知点O O1 1，通过连接，通
14、过连接B B1 1D D1 1可知直线可知直线B B1 1D D1 1过点过点O O1 1，再再证证BD/BBD/B1 1D D1 1, ,即可找出即可找出异面直线所成角的异面直线所成角的. .分析：分析：本题若使用类型一的方法：过两异面直线本题若使用类型一的方法：过两异面直线AD,BC上的已上的已知点作另一直线的平行线比较难做到，我们可以抓住题目给出知点作另一直线的平行线比较难做到，我们可以抓住题目给出的特殊点（中点的特殊点（中点E,F），我们取），我们取BD的中点的中点G，连接，连接EG,FG,可以可以发现发现EG为为ABD的中位线，因此的中位线，因此EG/AD，同理，同理FG/BC所以所以EGF为异面直线为异面直线AD,BCAD,BC所成角（或其补角）所成角（或其补角）G类型二：抓住空间图形的已知点，特别是中点类型二：抓住空间图形的已知点，特别是中点60类型三：平移（或构造）几何体类型三：平移（或构造）几何体平移几何体平移几何体类型三：平移（或构造）几何体类型三：平移（或构造）几何体构造几何体构造几何体