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1、第第1717章章 一元二次方程一元二次方程 单元复习单元复习一、知识结构图一、知识结构图一一元元二二次次方方程程概念、一般形式概念、一般形式根的判别式根的判别式根与系数的关系根与系数的关系解法解法应用应用开平方法开平方法配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法分式方程（续）分式方程（续）列方程解应用题列方程解应用题二、主要知识回顾二、主要知识回顾（一）、概念、形式（一）、概念、形式概念：只含有一个未知数，并且未知数概念：只含有一个未知数，并且未知数 的最高次数是的最高次数是2的整式方程叫做的整式方程叫做 一元二次方程一元二次方程. .一般形式：一般形式：y= =ax2+ +bx+ +c （
2、a0）练一练：练一练：1.下列方程中，是一元二次方程的是（下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x2+ = =0 B. ax2+ +bx+ +c C. ( (x- -1)()(x+ +2)=)=1 D. 3x2- -2xy= =02.已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程( (a- -1) )x2+ +x+ +a2- -1= =0的常数项为的常数项为0，则，则a的值为的值为 （ ） A. 1 B. - -1 C. 1或或- -1 D. 0.5CB21x3.一元二次方程一元二次方程x2= =5x- -6的一次项系数是的一次项系数是 _. .4.已知关于已知关于x的方程的方程x2+
3、+bx+ +a的一个根是的一个根是- -a（a0），则），则a- -b= =_. .5.我市政府广场准备修建一个面积为我市政府广场准备修建一个面积为200m2 的长方形草坪，它的长比宽多的长方形草坪，它的长比宽多10m， 设草坪的宽为设草坪的宽为xm，则可列方程，则可列方程为为 _. .- -1x( (x+ +10)=)=200- -5（二）、解法（二）、解法1.直接开平方法：符合直接开平方法：符合x2= =a（a0）的形）的形 式的一元二次方程都可式的一元二次方程都可 用直接开平方法用直接开平方法2.配方法：配方法： 二次项系数化为二次项系数化为1 配一次项系数一半的平方配一次项系数一半的平
4、方 用直接开平方法求解用直接开平方法求解3.公式法：公式法： 原方程整理成一般形式原方程整理成一般形式 确定确定b2- -4ac0 运用求根公式运用求根公式 （b2- -4ac0）求解求解4.因式分解法：因式分解法： 先因式分解先因式分解 再转化为两个一元一再转化为两个一元一 次方程求解次方程求解242bbacxa 做一做：做一做：1. .若若9x2-(-(k+ +2) )x+ +4是完全平方式，则是完全平方式，则k= =（ ） A. .10 B.10.10或或14 14 C.-10.-10或或14 14 D.10.10或或-14-142. .一元二次方程一元二次方程( (x+ +6) )2=
5、 =16可转化为两个一元可转化为两个一元一次方程，其中一个是一次方程，其中一个是x+ +6= =4，则另一个是，则另一个是（ ） A. .x- -6=-=-4 B. .x- -6= =4 C. .x+ +6= =4 D. .x+ +6=-=-4DD3. .方程方程4x2- -x=-=-5化成一般形式后，化成一般形式后，b2- -4ac的的值是（值是（ ） A. . 81 B. . 79 C.-.-79 D. . - -814. .一球以一球以15m/s的速度竖直向上弹出，它在的速度竖直向上弹出，它在空中的高度空中的高度h（m）与时间）与时间t（s）近似地满）近似地满足关系式：足关系式：h= =
6、15t- -5t2，则小球回到地面的，则小球回到地面的时间为（时间为（ ） A. . 0s B. . 3s C. . 0s或或3s D. . 5sCB5. .将代数式将代数式x2+ +6x+ +2化成化成( (x+ +p) )2+ +q的形式是的形式是 _. .6. .已知关于已知关于x的方程的方程x2-(-(m+ +2) )x+ +1= =0中，中， b2- -4ac= =5，则，则m的值为的值为_. .7. .已知三角形两边长为已知三角形两边长为2和和6，第三边长是，第三边长是 方程方程x2- -10 x+ +21= =0的解，则这个三角形的的解，则这个三角形的 第三边长为第三边长为_.
7、.( (x+ +3) )2- -771或或- -58. .解下列方程：解下列方程：（1）x2- -6x+ +9=(=(5- -2x) )2（直接开平方法）；（直接开平方法）；（2）2x2- -3x- -6= =0（配方法）；（配方法）；（3）( (x- -3)()(x- -4)=)=5x（公式法）；（公式法）；（4）2( (5x- -1) )2= =3( (1- -5x) )（因式分解法）（因式分解法）. .（1）x1= = ，x2= =2 （2）x= =（3）x= =6 （4）x1= = ，x2= =8335742 615110（三）、根的判别式（三）、根的判别式 一元二次方程一元二次方程a
8、x2+ +bx+ +c= =0（a0）的根）的根的判别式：的判别式：= =b2- -4ac0 0 方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根 = =0 方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根 0 方程没有实数根方程没有实数根想一想：想一想：1.下列方程中，有两不等实根的是下列方程中，有两不等实根的是 （ ） A. . x2- -2x- -1= =0 B. .x2- -2x+ +3= =0 C. . x2= =2 x- -3 D. .x2- -4x+ +4= =02.方程方程x2- -4mx= =2- -m( (m为常数为常数) )根的情况是（根的情况是（ ） A. .有两不等实根有
9、两不等实根 B. .有两等实根有两等实根 C. .没有实数根没有实数根 D. .无法判断无法判断 AA33. .方程方程x2+ + x+ =+ =0的根的判别式的根的判别式 = =_. .4. .在一元二次方程在一元二次方程ax2+ +bx+ +c= =0中，若中，若ac 0，则它的根的情况是，则它的根的情况是_. .5. .关于关于x的方程的方程( (a- -5) )x2- -4x- -1= =0有实数根，有实数根， 则则a满足的条件是满足的条件是_. .有两不等实根有两不等实根21323a1（四）、根与系数的关系（四）、根与系数的关系 如果一元二次方程如果一元二次方程ax2+ +bx+ +
10、c= =0（a0）的两个根为）的两个根为x1、x2，那么，那么x1+ +x2=- =- ，x1x2= = 注意：隐含条件注意：隐含条件0baca1. .已知一元二次方程已知一元二次方程x2- -3x- -1= =0的两个根的两个根 分别为分别为x1，x2则则x12x2+ +x1x22的值为（的值为（ ） A.-.-3 B. .3 C.-.-6 D. .62. .若方程若方程x2- -x+ +k= =0的两根之比为的两根之比为2，则，则k 的值为（的值为（ ） A. . B. . - - C. . D.-.-13132929BC试一试：试一试：3. .两数和为两数和为5，积为，积为6，则这两个数
11、是，则这两个数是 _. .4. .点点P( (a，b) )是直线是直线y=-=-x+ +5上的点，且上的点，且 a，b是方程是方程x2+ +px+ +6= =0的两个实根，的两个实根， 则则p= =_. .5. .已知已知x1，x2是方程是方程x2+ +3x+ +1= =0的两个的两个 根，则根，则x12- -3x2+ +20= =_. .2和和3- -5281. .可化为一元一次方程的分式方程可化为一元一次方程的分式方程 注意：验根注意：验根2. .列方程解应用题：列方程解应用题： 步骤：审、设、列、求、验、答步骤：审、设、列、求、验、答注意：关键是找出等量关系列出方程；注意：关键是找出等量
12、关系列出方程； 验根时既要检验是否是原方程验根时既要检验是否是原方程 的根，又要检验是否符合题意的根，又要检验是否符合题意. .（五）、应用（五）、应用考考你：考考你：1. .若两个连续整数的积是若两个连续整数的积是20，则这两个数是，则这两个数是（ ） A. .4和和5 B.-.-5和和- -4 C. .4和和5或或- -5和和- -4 D. . 4和和 52. .某药品经过两次降价，每瓶零售价由某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元元降为降为128元，已知两次降价的百分率相同，每元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为次降价的百分率为x，由题意可列方程为，由题意可列方程为（ ）
13、A. .168( (1+ +x) )2= =128 B. .168( (1- -x) )2= =128 C. .168( (1- -2x) )2= =128 D. .168( (1- -x2)=)=128CB3. .一个两位数等于它个位数字的平方，一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大且个位数字比十位数字大3，则这个两位，则这个两位数数是是_. .4. .在同一平面内有在同一平面内有n条直线两两相交，条直线两两相交，共有共有28个交点，则个交点，则n= =_. .5. .某人在银行存了某人在银行存了400元钱，两年后连本元钱，两年后连本带息一共取款带息一共取款484元，则这种存
14、款的年利元，则这种存款的年利率是率是_（不计利息税）（不计利息税）. .25或或36810%1. .化归方法化归方法：将待解决的问题化归成先前：将待解决的问题化归成先前 已解决的问题的一种数学思想方法已解决的问题的一种数学思想方法2. .配方法配方法：将一元二次方程通过配方化归：将一元二次方程通过配方化归 为可直接用开平方法来解方程的方法为可直接用开平方法来解方程的方法3. .换元法换元法：通过整体设元、换元，把不可：通过整体设元、换元，把不可 解或难解的分式方程化归为可解的解或难解的分式方程化归为可解的 方程的一种重要的数学思想方法方程的一种重要的数学思想方法. .（六）、思想方法（六）、思
15、想方法易错题解析易错题解析 已知关于已知关于x的方程的方程kx2- -( (2k+ +1) )x+ +k= =0有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实数根，则k的取值范的取值范围是围是_. .错解：错解：k- -14正解：正解：k- - 且且k014注意条件：注意条件： a0典例讲解典例讲解1解下列方程：（解下列方程：（1）x2+ +x- -1= =0； （2）( (x- -3) )2+ +2x( (x- -3)=)=0. .解析：（解析：（1）方程为一般形式，不适合用）方程为一般形式，不适合用特殊的解法，可用公式法或配方法来解；特殊的解法，可用公式法或配方法来解；（2）方程左边两项中有公因
16、式）方程左边两项中有公因式( (x- -3) )，可，可用因式分解法来解用因式分解法来解. .解：（解：（1）（公式法）（公式法） x2+ +x- -1= =0 a= =1，b b= =1，c=-=-1 b2- -4ac= =1+ +4= =50 x= = x1= = ，x2= =152 1 152 152 解：（解：（1）（配方法）（配方法） x2+ +x- -1= =0 x2+ +x+ + = =1+ + ( (x+ + ) )2= = x+ + = = x1= = ，x2= =（2）( (x- -3) )2+ +2x( (x- -3)=)=0 ( (x- -3)()(x- -3+ +2x
17、)=)=0 ( (x- -3)()(3x- -3)=)=0 x1= =3，x2= =1141412541252152 152 典例讲解典例讲解2 若关于若关于x的方程的方程( (m2- -1) )x2- -2( (m+ +2) )x+ +1= =0有实数根，求有实数根，求m的取值范围的取值范围. .解析：本题易认为所给方程是一元二次解析：本题易认为所给方程是一元二次方程，而用方程，而用b2- -4ac0且且m2- -10来解来解. .事事实上，题目中没有指明方程的次数，也实上，题目中没有指明方程的次数，也没有指明根的个数，因此应考虑方程为没有指明根的个数，因此应考虑方程为二次方程和一次方程两种
18、情况二次方程和一次方程两种情况. .解：（解：（1）若方程是一元二次方程，）若方程是一元二次方程， 且有实数根，则必有且有实数根，则必有b2- -4ac=-=-2( (m+ +2)2- -4( (m2- -1) )0且且m2- -10解得解得 m- - 且且m 154（2）若方程为一元一次方程，则有）若方程为一元一次方程，则有 m2- -1= =0且且- -2( (m+ +2) )0，解得，解得m= = 1 当当m= =1时，原方程为时，原方程为- -6x+ +1= =0，解得，解得x= = 当当m=-=-1时，原方程为时，原方程为- -2x+ +1= =0，解得，解得x= = 综合综合( (
19、1)()(2) )可得，当可得，当m- - 时，原方程有时，原方程有实数根实数根.161254典例讲解典例讲解3 我校团委准备举办学生绘画展览，为美化我校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为画面，在长为30cm、宽为、宽为20cm的矩形画面四的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面积相等，求彩纸的宽度与原画面积相等，求彩纸的宽度. .解析：已知矩形长、宽可求出矩形面积解析：已知矩形长、宽可求出矩形面积和镶边面积，设彩纸的宽度为和镶边面积，设彩纸的宽度为xcm，然，然后用后用x分别表示新矩形的长、宽，根据彩分别表示新矩形的长、宽
20、，根据彩纸面积与原画面的面积相等，列出方程纸面积与原画面的面积相等，列出方程求解即可求解即可. .解：设彩纸的宽度为解：设彩纸的宽度为xcm， 由题意，得由题意，得 ( (30+ +2x)()(20+ +2x)=)=23020 化简得化简得 ( (x+ +30)()(x- -5)=)=0 解得解得 x1= =5， x2=-=-30( (不合题意，舍去不合题意，舍去) ) 答：彩纸的宽为答：彩纸的宽为5cm. .解题方法总结解题方法总结1. .注意一元二次方程一般形式中的条件：注意一元二次方程一般形式中的条件：a0. .2. .灵活运用一元二次方程的四种解法解方程：灵活运用一元二次方程的四种解法
21、解方程： 直接开平方法直接开平方法 配方法配方法 公式法公式法 因式分解法因式分解法3. .列方程解应用题时的关键：列方程解应用题时的关键： 准确分析题中的等量关系，正确列出方程准确分析题中的等量关系，正确列出方程. .能力小测试：能力小测试：1.不论不论x取何值时，取何值时，2x- -x2- -3的值的值 （ ） A.不小于不小于- -2 B.不大于不大于- -2 C.有最小值有最小值- -2 D.有可能大于零有可能大于零2.下列方程中，无论下列方程中，无论a取何值，总是关于取何值，总是关于x的一的一 元二次方程的是（元二次方程的是（ ） A.( (2x- -1)()(x2+ +3)=)=2
22、x2- -a B.ax2- -3x+ +9= =0 C.ax2+ +x= =x2- -1 D.( (3a2+ +4) )x2- -2= =0BD3. 已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程kx2- -4kx+ +k- -5= =0 有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则k= =_. .4. .在解方程在解方程x2+ +px+ +q时，小张看错了时，小张看错了p， 解得方程的根为解得方程的根为1和和- -3, ,；小王看错了；小王看错了 q，解得方程的根为，解得方程的根为4和和- -2. .则这个方则这个方 程是程是_. .x2- -2x- -3= =0- -535. .用适当的方
23、法用适当的方法解下列方程：解下列方程： （1）3x( (x- -1)=)=1- -x； （2）x2- -2x- -11= =0； （3）2x2- -5x- -1= =0. .（1）x1= =1 x2=-=-13（2）x1= =1+ +2 x2= =1- -2（3）x1= = x2=-=-33533453346.A、B两地相距两地相距18km，甲工程队要，甲工程队要在在A、B两地间铺一条输送天然气管道，两地间铺一条输送天然气管道，乙工程队要在乙工程队要在A、B两地间铺设一条输两地间铺设一条输油管道油管道.已知甲工程队每周比乙工程队已知甲工程队每周比乙工程队少铺设少铺设1km，甲工程队提前，甲工程
24、队提前3周开工，周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙工结果两队同时完成任务，求甲、乙工程队每周各铺设多少千米？程队每周各铺设多少千米？甲工程队每周铺设甲工程队每周铺设2km乙工程队每周铺设乙工程队每周铺设3km能力拓展能力拓展用换元法解方程：用换元法解方程： x1= =1, ,x2= =2提示：设提示：设y= 则原方程为则原方程为2y2- -3y- -2= =01312xxxx1xx归纳小结归纳小结1. .你能把本章的内容作一个书面整理吗？你能把本章的内容作一个书面整理吗？2. .利用方程（组）解决实际利用方程（组）解决实际问题的关键是什么？问题的关键是什么？3. .本章有哪些地方用到了本章有哪些地方用到了“化归方法化归方法”这这一重要数学思想方法是最简一重要数学思想方法是最简二次根式、同二次根式、同类二次根式？类二次根式？作业：作业：P4748A组复习题组复习题 4、6、8